数概-第一章7习题课

第一章

概率论的基本概念习

题

课一、重点与难点二、主要内容三、典型例题一、重点与难点重点随机事件之间的关系和运算概率的性质古典概型的概率计算方法

条件概率和乘法公式的应用全概率公式和 公式的应用难点古典概型的概率计算 全概率公式的应用二、主要内容随机现象随机试验事件的独立性随机事件概率古典概型几何概率乘法定理事件的关系和运算全概率公式与公式性质定义条件概率复合事件基

必

不*

然

可事

事

能事件

件

件对立事件可以在相同的条件下重复地进行;每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;3o

进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.在概率论中，把具有以下三个特征的试验称为随机试验.随机试验1o2o样本空间的元素,即试验E

的每一个结果,称为基本事件.随机试验E的所有可能结果组成的集合称为样本空间,记为S.随机试验E

的样本空间S

的子集称为E的随机事件,简称事件.随机事件1o2o3o基本事件

由一个样本点组成的单点集.必然事件

随机试验中必然会出现的结果.

不可能事件

随机试验中不可能出现的结果.必然事件的对立面是不可能事件,不可能事件的对立面是必然事件,它们互称为对立事件.重要的随机事件事件的关系和运算设试验E的样本空间为S,而A,B,Ak

(k

1,2,)是S

的子集.(1)包含关系若事件A

出现，必然导致事件B

出现，则称事件B

包含事件A，记作B

A

或A

B.图示

B

包含

A

.SBAA等于B若事件A

包含事件B

,而且事件B

包含事件A,则称事件A

与事件B

相等,记作A=B.事件A与B的并(和事件)事件A

B

{xx

A或x

B}称为事件A与事件B的和事件.图示事件

A与

B的并.SBA(5)

事件A与B互不相容(互斥)若事件A

的出现必然导致事件B

不出现,B出现也必然导致A

不出现,则称事件A

与B互不相容,即A

B

AB

.图示A

与B

互不相容（互斥）

.SAB(6)

事件A与B的差由事件A出现而事件B不出现所组成的事件称为事件A与B的差.记作A-B.图示A

与B

的差.SBAA

BSBA

BB

AB

A设A表示“事件A出现”,则“事件A不出现”称为事件A的对立事件或逆事件.记A.作图示

A

与

B的对立

.B

AS若A

与B互逆,则有A

B

S

且AB

.A(7)事件A的对立事件说明

对立事件与互斥事件的区别A，B

互斥

A，B

对立SAB

AB

A

SA

B

S

且AB

.对立AB

互斥事件运算的性质A

B

B

A,

AB

BA.(

A

B)

C

A

(B

C

),(

AB)C

A(BC

).1o

交换律2o

结合律3o

分配律(

A

B)

C

(

A

C

)

(B

C

)

AC

BC

,(

A

B)

C

(

A

C

)

(B

C

)

(

A

C

)(B

C

).4o

德

律:

A

B

A

B,

A

B

A

B.设

A,

B,

C

为事件,

则有设

E

是随机试验,

S

是它的样本空间.对于E的每一事件

A

赋予一个实数,

记为

P(

A),

称为事件

A的概率,

如果集合函数

P()

满足下列条件

:概率的定义对于每一个事件

A,

有

P(

A)

0;对于必然事件S,有P(S

)

1;10

非负性:20

规范性:30

可列可加性

:

设

A

,

A

,是两两胡不相容的1

2事件,即对于i

j,

Ai

Aj

,

i,

j

1,2,,则有P(

A1

A2

)

P(

A1

)

P(

A2

)

概率的可列可加性P()

0.1020

若A

,

A

,,

A

是两两互不相容的事件,则有1

2

nP(

A1

A2

An

)

P(

A1

)

P(

A2

)

P(

An

).概率的有限可加性30

设A,B

为两个事件,且A

B,则P(

A)

P(B),

P(B

A)

P(B)

P(

A).40

对于任一事件

A,

P(

A)

1.概率的性质0

设

A

是

A

的对立事件,

则

P(

A)

1

P(

A).0

(加法公式)

对于任意两事件

A,

B

有P(

A

B)

P(

A)

P(B)

P(

AB).n

个事件和的情况nP(

A1

A2

An

)

P(

Ai

)

i

11

2

ni

j

kP(

A

A

A

).

P(

Ai

Aj

)1i

jnn11i

jkn

P(

A

A

A

)

(1)定义试验的样本空间只包含有限个元素;试验中每个基本事件发生的可能性相同.具有以上两个特点的试验称为等可能概型或古典概型.等可能概型(古典概型)设试验E

的样本空间由n

个样本点构成,A为E

的任意一个事件,且包含m

个样本点,则事件A出现的概率记为:古典概型中事件概率的计算公式.P(A)

m

A

所包含样本点的个数n

样本点总数称此为概率的古典定义.P(

A)

SA

.S(其中

S

是样本空间的度量,

SA

是构成事件

A的子区域的度量).

这样借助于几何上的度量来合理规定的概率称为几何概型.几何概型当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量(长度,面积,体积)相同的子区域是等可能的,则事件A的概率可定义为条件概率P(B)同理可得

P(

AB)

P(

AB)

,为在事件B

发生的条件下事件A

发生的条件概率.为在事件

A

发生的条件下事件

B

发生的条件概率.P(

A)P(B

A)

P(

AB)(1)条件概率的定义设A,B

是两个事件,且P(A)

0,称P(

A

B)40则有50

可加可列性

:

设

B

,

B

,是两两不相容的事件,1

2

i

1

i

1

P

Bi

A

P(Bi

A).10

非负性:

P(B

A)

0;20

规范性:

P(S

B)

1,

P(

B)

0;30

P(

A

A

B)

P(

A

B)

P(

A

B)

P(

A

A

B);1

2

1

2

1

2(2)条件概率的性质设

P(

A)

0,

则有

P(

AB)

P(B

A)P(

A).设

A,

B,C

为事件,且

P(

AB)

0,

则有P(

ABC

)

P(

A)P(B

A)P(C

AB).推广

设

A1

,

A2

,,

An

为n

个事件,

n

2,且P(A1

A2

An1

)

0,则有P(

A1

A2

An

)

P(

An

A1

A2

An1

)

P(

An1

A1

A2

An2

)

P(

A2

A1

)P(

A1

).乘法定理1020为E

的一组事件,若BBn

B为样本空间S

的一个划分.21,,,,

BBn则称定义

设 为试验ES的样本空间ij

,1,,2,,;

iBnjB

21

n

SB.

BB21,,,样本空间的划分全概率公式与公式B2

B1B3Bn1nB称为全概率公式.定理设试验E的样本空间为S

,A为E

的事件,B1

,B2

,,Bn为S的一个划分,且P(Bi

)

0(i

1,

2,,n),则P(

A)

P(

A

B1

)P(B1

)

P(

A

B2

)P(B2

)

P(

A

Bn

)P(Bn

)全概率公式AB12BB3n1

BBn说明全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.B1B2B3nBA

Bn1公式称此为,

i

1,2,,

n.定理

设试验

E

的样本空间为

S

.

A为E

的事件,

B1

,B2

,,

Bn

为

S

的一个划分,且

P(

A)

0,

P(Bi

)

0

(i

1,2,,

n),

则nP(

A

Bi

)P(Bi

)

P(

A

Bj

)P(Bj

)j1公式.iP(B A)

(1)两事件相互独立设A,B

是两事件,如果满足等式P(

AB)

P(

A)

P(B).则称事件A,B

相互独立,简称A,B

独立.说明事件A

与B

相互独立是指事件A

的概率与事件B是否出现无关.事件的相互独立性(2)三事件两两独立设A,B,C

是三个事件,如果满足等式

P(

AB)

P(

A)P(B),

P(BC

)

P(B)P(C

),

P(

AC

)

P(

A)P(C

),则称事件A,B,C

两两独立.P(

ABC

)

P(

A)P(B)P(C

),则称事件

A,

B,C

相互独立

.注意三个事件相互独立 三个事件两两独立(3)三事件相互独立P(

AC

)

P(

A)P(C

),设A,B,C

是三个事件,如果满足等式P(

AB)

P(

A)P(B),P(BC

)

P(B)P(C

),kii

i

P(

A

),)

P(

A)P(

A

)

P(

Ai

Ai

Ai1

2

k

1

2则称A1

,A2

,,An

为相互独立的事件.n

个事件相互独立

n个事件两两独立推广

设意有等式

i具21

,,,n

是nA个A事A

件,如果对于任21

knkk任意1)1,(

重要定理及结论定理一设A,B

是两事件,且P(A)

0.若A,B相互独立,则P(B

A)

P(B).反之亦然.定理二若A,B是相互独立的两个事件,则下列各对事件,A

与B,A

与B

,A

与B

也相互独立.两个结论若事件A1

,A2

,,An

(n

2)相互独立,则其中任意k

(2

k

n)个事件也是相互独立.若n

个事件

A1

,A2

,,An

(n

2)相互独立,则将A1

,A2

,,An中任意多个事件换成它们的对立事件,所得的

n

个事件仍相互独立.三、典型例题一个工人生产了3个零件,以事件Ai

表示他例1生产的第

i

个零件是合格品

(i

1,2,3)

,

试用

Ai(i

1,2,3)表示下列事件:只有第一个零件是合格品(B1

);B1

A1

A2

A3

;三个零件中只有一个零件是合格品(B2

);(2)

B2

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3

;B3

A1

(

A2

A3

);三个零件中最多只有两个合格品(B4

);B4

A1

A2

A3

,或

B4

A1

A2

A3

;三个零件都是次品

(B5

).(5)

B5

A1

A2

A3

,

或

B5

A1

A2

A3

.说明

一个事件往往有多个等价的表达方式.(3)第一个是合格品,但后两个零件中至少有一个次品(B3

);例2

设随机事件

A,

B,C

满足

C

AB,

C

AB.证明:AC

CB

AB.证明由于

C

AB,

故

C

A

B,从而

C

B

(A

B)B

AB,CAB

CB

AB

CB,ACB

C

AB

AB,故

AC

AC

(B

B)

ACB

AC

B

CB

AB.射击命中目标的概率为0.6,试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率.假设目标出现在射程之内的概率为0.7,这时[思路]引进事件A

{目标进Bi

{第i次射击命中目标},i

1,2.故所求概率为事件B

B1

B2

的概率,由于目标不在射程之内是不可能命中目标的,因此,可利用全概率公式来求解.例3解由题意知(

i

1,

2

)P(

A)

0.7,

P(Bi

A)

0.6,因此由全概率公式,有P(B)

P(

AB)

P(

AB)

P(

AB)

P(

A)P(B

A)

P(

A)P(B1

B2

A),由题意知

B1

与

B2

相互独立,从而

P(B1

B2

A)

P(B1

A)P(B2

A)

0.6

0.6

0.36.由加法公式得P(B1

B2

A)

P(B1

A)

P(B2

A)

P(B1

B2

A)

0.6

0.6

0.36

0.84.故

P(B)

P(

A)

P(B1

B2

A)

0.7

0.84

0.588.生的报名表,其中 的报名表分别份为、73份和份,5随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份.求先抽到的一份是 表的概率

p;已知后抽到的一份表是男生表,求先抽到的一份是[思路]

由于抽到的表与来自哪个地区有关,故此题要用全概率公式来

.名、名和25名15考10例4

设有来自三个地区的各解记

Hi

{抽到i地区考生的报名表},

i

1,

2,

3;Aj

{第

j

次抽到报名表是男生的},

j

1,

2,3

10i

1

1则有

P(H

)

1

(i

1,2,3);

P(

A

H

)

7

;15

251

31

2P(

A

H

)

20

.P(

A

H

)

8

;3i

1(1)由全概率公式知p

P(

A1

)

P(

Hi

)P(

A1

Hi

)15 25

3

10

1

3

7

5

.9029,(2)

q

P(

A1

A2

)

21

2P(

A

)P(

A

A

)由全概率公式得3i

1P(

Hi

)P(

A1

A2

Hi

)1

2P(

A

A

)

P(

A1

A2

Hi

),133i

110

9

301

2

1又因为

P(

A

A

H

)

3

7

7

,15

14

301

2

2P(

A

A

H

)

7

8

8

,25

24

301

2

3P(

A

A

H

)

5

20

5

.

81

23

30

30

5

2

,30

9所以

P(

A

A

)

1

73i

1而

P(

A2

)

P(

Hi

)P(

A