五年级奥数a第五章 等差数列求和课件

金杯数学（5a）天津科学技术出版社第五章等差数列求和金杯数学（5a）嗨！知道我们今天学习什么吗？听说老师今天要给我们讲解梯子。呵呵，不可能吧，梯子有什么好学的。这其中大有学问，不信去看看……嗨！知道我们今天学习什么吗？听说老师今天要给我们讲解梯子。呵梯子梯子床梯形建筑这些物体都与梯子有关系，那同学们知道梯子的特点吗？梯子梯子床梯形建筑这些物体都与梯子有关系，那同学们知道梯子的梯田其实生活中有很多类似梯子的物体。梯田其实生活中有很多类似梯子的物体。蜂窝如绿线段所示：每次蜂窝向右延伸相同的距离，同时也向右下延伸相同的距离。那就是等差咯！猪猪侠真聪明啊！梯子，就是利用等差原理制作成的。今天我们要学习的新课就是等差数列。蜂窝跟梯子有什么关系？大有关系，听老师说给你听！蜂窝如绿线段所示：每次蜂窝向右延伸相同的距离，同时也向右下延【知识领航】

这一节我们研究求等差数列前n项的和。数学家高斯在10岁时计算1＋2＋3＋4＋……＋99＋100就想到了一种简便方法：1＋100=101，2＋99=101，……，这样这个数列中共有100÷2=50个101，因此这个等差数列的和是(1＋100)×100÷2=5050。其实等差数列前n项的和Sn等于这个等差数列的首项a1和末项an的和乘以项数n除以2。即：

Sn=(a1＋an)×n÷2(S表示等差数列前n项的和)

这就是等差数列的求和公式。今天我们就利用这个公式来解决一些实际问题。【知识领航】这一节我们研究求等差数列前n项的和。数学家高【方法点拨

】求和公式要记牢，解决问题用处大。首项末项乘项数，一定别忘除以2。【方法点拨】求和公式要记牢，【技巧感悟】例1：计算1＋2＋3＋……＋19＋20分析：在计算这个项数是偶数，公差是1的等差数列的和，就可以把1＋20=21；2＋19=21；3＋18=21；……；10＋11=21，一共有20÷2个21。所以这个算式的和等于10×21=210。解：1＋2＋3＋……＋19＋20=（1＋20）×（20÷2）=21×10=210【技巧感悟】例1：计算1＋2＋3＋……＋19＋20【热身演练】1＋2＋3＋……＋47＋48＋49＋501、【热身演练】1＋2＋3＋……＋47＋48＋49＋501、例2、计算3＋7＋11＋15＋19＋23＋27＋31＋35。【技巧感悟】分析：在计算项数是奇数的等差数列的和，可以先添上一个和原题相等的算式，按照相反的方向排列，3＋7＋11＋15＋19＋23＋27＋31＋35＋35＋31＋27＋23＋19＋15＋11＋7＋3，就可以利用配对的方法进行计算了，3＋35=7＋31=11＋27=15＋23=19＋19=38，一共9个38。因此原算式的和：38×9÷2=171。解：

3＋7＋11＋15＋19＋23＋27＋31＋35=（3＋35）×9÷2=38×9÷2=171

小结：观察例1、例2、，不管项数是偶数还是奇数，等差数列的求和都可以用求和公式：Sn=(a1＋an)×n÷2进行计算，所以在以后等差数列求和的过程中只有知道首项、末项、项数就可以直接利用求和公式进行计算。例2、计算3＋7＋11＋15＋19＋23＋27＋31＋3【热身演练】11＋14＋17＋……＋101＋1042、【热身演练】11＋14＋17＋……＋101＋1042、【技巧感悟】例3、求等差数列：9，11，13，……，205，207的和。分析：根据等差数列求和公式，要求出这个等差数列的和就必须知道首项、末项以及项数。显然项数这个条件没有直接给出，需要首先把它计算出来，根据项数公式：n=(a－a)÷d＋1就可算出项数是100（也可以用通项公式）；再根据等差数列求和公式S=(a＋a)×n÷2求出和。解：（第一步）n=(an－a1)÷d＋1n=(207－9)÷2＋1n=198÷2＋1n=100(第二步)Sn=(an＋a1)×n÷2S100

=(9＋207)×100÷2

=216×100÷2=10800答：这个等差数列的和是10800。【技巧感悟】例3、求等差数列：9，11，13，……，205【热身演练】100＋99－98＋97－96＋……＋3－2＋13、【热身演练】100＋99－98＋97－96＋……＋3－2【技巧感悟】例4、在100到200之间，所有个位数是7的自然数之和是多少？

分析：首先要找出这些自然数，根据题意可知它们是：107，117，127，……，197，一共有10个。如果把它们一个一个加起来比较麻烦，仔细观察就可以发现这10个数其实就是一个等差数列，因此利用等差数列求和公式进行计算就十分简单。等差数列：107、117、127、137、147、157、167、177、187、197

Sn=(a1＋an)×n÷2=(107＋197)×10÷2=304×10÷2=1520解：答：满足条件的自然数之和是1520。【技巧感悟】例4、在100到200之间，所有个位数是7【热身演练】4、求所有除以4余1的两位数的和。【热身演练】4、求所有除以4余1的两位数的和。【技巧感悟】例5、求数列：1，3，4，6，7，9，10，12，13，……，66，67，69，70的和。分析：粗略的看这个数列好象没什么规律。但如果仔细观察，我们就可以把这个数列分成两个等差数列：（1）1，4，7，10，13，……，67，70；（2）3，6，9，12，15，……，63，66，69。这样利用项数公式求出两个等差数列的项数之后，再根据等差数列求和公式就能容易的算出这个数列的和是1680。解：求项数：(1)n=(an－a1)÷d＋1=(70－1)÷3＋1=69÷3＋1=24

求数列的和：

(1＋70)×24÷2＋(3＋69)×23÷2=71×12＋36×23=1680答：这个数列的和是1680。(2)n=(an－a1)÷d＋1=(69－3)÷3＋1=66÷3＋1=23

【技巧感悟】例5、求数列：1，3，4，6，7，9，10【热身演练】5、求首项是5、末项是93、公差是4的等差数列的和。【热身演练】5、求首项是5、末项是93、公差是4的等差数列小朋友们，今天学习怎样，知识点掌握了没有?小朋友们，今天学习怎样，知识点掌握了没有?金杯数学（5a）天津科学技术出版社第五章等差数列求和金杯数学（5a）嗨！知道我们今天学习什么吗？听说老师今天要给我们讲解梯子。呵呵，不可能吧，梯子有什么好学的。这其中大有学问，不信去看看……嗨！知道我们今天学习什么吗？听说老师今天要给我们讲解梯子。呵梯子梯子床梯形建筑这些物体都与梯子有关系，那同学们知道梯子的特点吗？梯子梯子床梯形建筑这些物体都与梯子有关系，那同学们知道梯子的梯田其实生活中有很多类似梯子的物体。梯田其实生活中有很多类似梯子的物体。蜂窝如绿线段所示：每次蜂窝向右延伸相同的距离，同时也向右下延伸相同的距离。那就是等差咯！猪猪侠真聪明啊！梯子，就是利用等差原理制作成的。今天我们要学习的新课就是等差数列。蜂窝跟梯子有什么关系？大有关系，听老师说给你听！蜂窝如绿线段所示：每次蜂窝向右延伸相同的距离，同时也向右下延【知识领航】

这一节我们研究求等差数列前n项的和。数学家高斯在10岁时计算1＋2＋3＋4＋……＋99＋100就想到了一种简便方法：1＋100=101，2＋99=101，……，这样这个数列中共有100÷2=50个101，因此这个等差数列的和是(1＋100)×100÷2=5050。其实等差数列前n项的和Sn等于这个等差数列的首项a1和末项an的和乘以项数n除以2。即：

Sn=(a1＋an)×n÷2(S表示等差数列前n项的和)

这就是等差数列的求和公式。今天我们就利用这个公式来解决一些实际问题。【知识领航】这一节我们研究求等差数列前n项的和。数学家高【方法点拨

】求和公式要记牢，解决问题用处大。首项末项乘项数，一定别忘除以2。【方法点拨】求和公式要记牢，【技巧感悟】例1：计算1＋2＋3＋……＋19＋20分析：在计算这个项数是偶数，公差是1的等差数列的和，就可以把1＋20=21；2＋19=21；3＋18=21；……；10＋11=21，一共有20÷2个21。所以这个算式的和等于10×21=210。解：1＋2＋3＋……＋19＋20=（1＋20）×（20÷2）=21×10=210【技巧感悟】例1：计算1＋2＋3＋……＋19＋20【热身演练】1＋2＋3＋……＋47＋48＋49＋501、【热身演练】1＋2＋3＋……＋47＋48＋49＋501、例2、计算3＋7＋11＋15＋19＋23＋27＋31＋35。【技巧感悟】分析：在计算项数是奇数的等差数列的和，可以先添上一个和原题相等的算式，按照相反的方向排列，3＋7＋11＋15＋19＋23＋27＋31＋35＋35＋31＋27＋23＋19＋15＋11＋7＋3，就可以利用配对的方法进行计算了，3＋35=7＋31=11＋27=15＋23=19＋19=38，一共9个38。因此原算式的和：38×9÷2=171。解：

3＋7＋11＋15＋19＋23＋27＋31＋35=（3＋35）×9÷2=38×9÷2=171

小结：观察例1、例2、，不管项数是偶数还是奇数，等差数列的求和都可以用求和公式：Sn=(a1＋an)×n÷2进行计算，所以在以后等差数列求和的过程中只有知道首项、末项、项数就可以直接利用求和公式进行计算。例2、计算3＋7＋11＋15＋19＋23＋27＋31＋3【热身演练】11＋14＋17＋……＋101＋1042、【热身演练】11＋14＋17＋……＋101＋1042、【技巧感悟】例3、求等差数列：9，11，13，……，205，207的和。分析：根据等差数列求和公式，要求出这个等差数列的和就必须知道首项、末项以及项数。显然项数这个条件没有直接给出，需要首先把它计算出来，根据项数公式：n=(a－a)÷d＋1就可算出项数是100（也可以用通项公式）；再根据等差数列求和公式S=(a＋a)×n÷2求出和。解：（第一步）n=(an－a1)÷d＋1n=(207－9)÷2＋1n=198÷2＋1n=100(第二步)Sn=(an＋a1)×n÷2S100

=(9＋207)×100÷2

=216×100÷2=10800答：这个等差数列的和是10800。【技巧感悟】例3、求等差数列：9，11，13，……，205【热身演练】100＋99－98＋97－96＋……＋3－2＋13、【热身演练】100＋99－98＋97－96＋……＋3－2【技巧感悟】例4、在100到200之间，所有个位数是7的自然数之和是多少？

分析：首先要找出这些自然数，根据题意可知它们是：107，117，127，……，197，一共有10个。如果把它们一个一个加起来比较麻烦，仔细观察就可以发现这10个数其实就是一个等差数列，因此利用等差数列求和公式进行计算就十分简单。等差数列：107、117、127、137、147、157、167、177、187、197

Sn=(a1＋an)×n÷2=(107＋197)×10÷2=304×10÷2=1520解：答：满足条件的自然数之和是1520。【技巧感悟】例4、在100到200之间，所有个位数是7【热身演练】4、求所有除以4余1的两位数的和。【热身演练】4、求所有除以4余1的两位数的和。【技巧感悟】例5、求数列：1，3，4，6，7，9，10，12，13，……，66，67，69，70的和。分析：粗