容斥问题公式及运用

容斥问题公式及运用容斥问题公式及运用容斥问题公式及运用资料仅供参考文件编号：2022年4月容斥问题公式及运用版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：容斥问题公式及运用在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，研究出一种新的计数方法。这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。一、容斥原理1：两个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。如下图所示。【示例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人解：数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。二、容斥原理2：三个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。如下图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到：【示例2】某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人解：参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B∩C。三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩A=45-25-22-24+12+9+8=3人。例1在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个不能被3或5整除的数共有多少个分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数，5的倍数）。我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数，即“既是A类又是B类的元素”。求的是“A类或B类元素个数”。我们还不能直接计算，必须先求出所需条件。1000÷3=333……1，能被3整除的数有333个（想一想，这是为什么）同理，可以求出其他的条件。例2某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：短跑游泳投掷短跑游泳短跑投掷游泳投掷短跑游泳投掷1718156652求这个班的学生共有多少人分析：这个班的学生数，应包括达到优秀和没有达到优秀的。4+17+18+15-6-6-5+2=39（人）例3在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段分析：很显然，要计算木棍被锯成多少段，只需要计算出木棍上共有多少条不同的刻度线，在此基础上加1就是段数了。若按将木棍分成10等份的刻度线锯开，木棍有9条刻度线。在此木棍上加上将木棍分成12等份的11条刻度线，显然刻度线有重复的，如5/10和6/12都是1/2。同样再加上将木棍分成15等份的刻度线，也是如此。所以，我们应该按容斥原理的方法来解决此问题。用容斥原理的那一个呢想一想，被计数的事物有那几类每一类的元素个数是多少解答：解一：[10，12，15]=60，设木棍60厘米60÷10=6厘米，60÷12=5厘米，60÷15=4(厘米10等分的为第一种刻度线，共10－1=9(条)12等分的为第二种刻度线，共12－1=11(条)15等分的为第三种刻度线，过15－1=14(条)第一种与第二种刻度线重合的[6，5]=30，60÷30－1=2－1=1(条)第一种与第三种刻度线重合的[6，4]=12，60÷12－1=5－1=4(条)第二种与第三种刻度线重合的[5，4]=20，60÷20－1=3－1=2(条)三种刻度线重合的没有，[6、5、4]=60因此，共有刻度线9+11+14－1－4－2=27条，木棍总共被锯成27+1=28段。解二：总长看成单位1分别分成10、12、15段。1/10与1/12的最小公倍数1/2，1/10与1/15的最小公倍数1/5，1/12与1/15的最小公倍数1/3，1/10，1/12和1/15的最小公倍数为1，有10+12+15-（2+5+3）+1=28解三：10、12、15的最小公倍数是60，假设木棍就是长60，1、那么，分成10等份的每份6，刻度就是0，6，12，18，24，30，36，42，48，54，602、分成12等分的每份就是5，0，5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，603、分成15等分的每份就是4，0，4，8，12，16，20，24，