第四章 固有频率的实用计算方法课件

第4章固有频率的实用计算方法4-1单自由度系统一．列方程法单自由度无阻尼自由振动系统运动只要列出单自由度无阻尼自由振动系统的运动微分方程，就可以得到振动系统的固有频率第4章固有频率的实用计算方法4-1单自由度系统单自由度无第4章固有频率的实用计算方法4-1单自由度系统一．列方程法例4-1-1：建立图4-1-1(a)所示的均质杆绕O点作微幅转动振动系统的运动微分方程。解：单自由度系统，取均质杆为研究对象，画其受力图如图(b)。根据动量矩定理

第4章固有频率的实用计算方法4-1单自由度系统例4-1-第4章固有频率的实用计算方法4-1单自由度系统一．列方程法即解：单自由度系统，取均质杆为研究对象，画其受力图如图(b)。根据动量矩定理

振动系统固有频率：

第4章固有频率的实用计算方法4-1单自由度系统即解：单自第4章固有频率的实用计算方法4-1单自由度系统二．能量法原理：对于单自由度无阻尼自由振动系统，其响应为简谐振动，系统

或

。在静平衡位置，势能为0，动能达到最大，即：

。在最大位移处，动能为0，势能达到最大，即：

。所以有：例：对图4-1-1所示的振动系统，系统的动能系统的势能第4章固有频率的实用计算方法4-1单自由度系统原理：例：第4章固有频率的实用计算方法4-1单自由度系统二．能量法令例：对图4-1-1所示的振动系统，系统的动能系统的势能则有：最大动能最大势能：由得：系统的固有频率第4章固有频率的实用计算方法4-1单自由度系统令例：对图第4章固有频率的实用计算方法4-2多自由度系统4-2-1求特征值法令对于多自由度振动系统，其无阻尼自由振动运动微分方带入方程4-2-1并消去

项得欲使方程有非0解，令方程的系数行列式等于0可得到特征方程的n个特征根

，即振动系统的固有频率4-2-1特征方程，又称振幅方程第4章固有频率的实用计算方法4-2多自由度系统令对于多自第4章固有频率的实用计算方法4-2多自由度系统4-2-1求特征值法例4-2-1：2个自由度振动系统，其运动微分方程为：

令其特征方程的系数行列式等于0得即：可得固有频率第4章固有频率的实用计算方法4-2多自由度系统例4-2-第4章固有频率的实用计算方法4-2多自由度系统4-2-2计算固有频率的近似法一、瑞利法（Rayleigh法）瑞利法从单自由度振动系统固有频率计算的能量方法出发，对于多自由度振动系统，在作无阻尼自由振动时，

响应为同步振动。系统的动能可表示为：系统的势能设带入得最大动能最大势能第4章固有频率的实用计算方法4-2多自由度系统一、瑞利法第4章固有频率的实用计算方法4-2多自由度系统4-2-2计算固有频率的近似法一、瑞利法（Rayleigh法）带入公式

得：利用4-2-7精确计算多自由度振动系统的固有频率，前提条件是需要已知系统的振型，这是无法做到的。但振动系统的一阶振型的近似值一般可以预测，大都数情况下与其静载荷作用下产生的静变形十分接近。例如例4-2-1所给出的振动问题，若取代入式4-2-7进行试算：4-2-7第4章固有频率的实用计算方法4-2多自由度系统一、瑞利法第4章固有频率的实用计算方法一、瑞利法（Rayleigh法）若取若取与精确解相比，一阶固有频率的相对计算误差代入式4-2-7进行试算二阶固有频率的相对计算误差瑞利法的计算精度决定于对振型的假设。计算一阶固有频率精度较高但数值偏大第4章固有频率的实用计算方法一、瑞利法（Rayleigh法第4章固有频率的实用计算方法二、邓克利法（Dunkenley法）对于二个自由度系统：展开整理对于多自由度振动系统，若用柔度法建立的运动微分方程可表示为：

4-2-8同样地令特征方程(a)第4章固有频率的实用计算方法二、邓克利法（Dunkenle第4章固有频率的实用计算方法二、邓克利法（Dunkenley法）一般有

，即

因此有设

为方程的两个根，则有比较（a）（b）两式，可得（b）第4章固有频率的实用计算方法二、邓克利法（Dunkenle第4章固有频率的实用计算方法二、邓克利法（Dunkenley法）用Dunkenley法求解上例一般地，对于具有n个自由度的振动系统即Dunkenley法计算自由度的振动系统一阶固有频率的计算公式。Dunkenley法计算结果偏小第4章固有频率的实用计算方法二、邓克利法（Dunkenle第4章固有频率的实用计算方法4-3传递矩阵法（TransferMatrixMethod）传递矩阵法属于一种半解析数值解法，其基本思路：将系统离散成若干单元，每一个单元与邻近单元界面上用位移协调条件和力的平衡条件予以联系；每一单元可以用牛顿第二定律建立运动方程，从而建立单元两端之间的传递矩阵。求解从系统的边界开始，在边界上有的外力及位移关系是已知的，求出另一侧的力和位移；依次进行下去最后可得到问题的解。传递矩阵法既可求振动系统的固有频率，也可以求振动系统的强迫振动响应问题。第4章固有频率的实用计算方法4-3传递矩阵法（Trans第4章固有频率的实用计算方法4-3传递矩阵法（TransferMatrixMethod）4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动图4-3-1轴的纵向振动离散化模型第4章固有频率的实用计算方法4-3传递矩阵法（Trans第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动传递矩阵法的求解步骤1.系统的离散化利用集中质量法将具有分布质量的连续系统离散为具有n个自由度的链式系统，如图4-3-1(b),并进行编号2.建立点场矩阵取第i个质量弹簧元件研究两端状态向量关系写成矩阵形式第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动场传递矩阵研究质量元件在没有外激励力作用时，根据牛顿第二定律，可得下列关系式若振动系统作简谐振动，则有第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动即质量

两侧状态向量之间的关系方程点传递矩阵3.求系统的传递矩阵第i个质量弹簧单元的状态向量传递关系第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动令

,称振动系统的状态向量写成简洁的形式对于图4-3-1(b)所示的振动系统，最右端状态

与最左端状态

之间的关系第i个质量弹簧单元的传递矩阵4-3-7第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动称系统的总的传递矩阵而状态向量

依赖于边界条件。4.求系统的固有频率求系统的固有频率时，从最左边的状态

向量

出发，利用式4-3-7计算最右边的状态向量

得到一个关于

的方程式，其中满足所需解决问题边界条件的

就是系统的固有频率。第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动对于图5-3-1所示的悬臂梁的纵向振动问题，其边界条件为

，

，代入3-3-7式有从而得

，

。满足

的

即

为系统的固有频率。第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动例4-3-1用传递矩阵法求图4-3-2所示的单自由度系统的固有频率解：1：编号：如图所示2：计算点、场矩阵点矩阵场矩阵

3、计算传递矩阵：第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动4、求系统的固有频率(无阻尼自由振动)根据边界条件

代入：固有频率第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动例4-3-2用传递矩阵法求图4-3-3所示的2个自由度系统的固有频率解：1：编号：如图所示2：计算点、场矩阵及传递矩阵图4-3-3第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动3.求系统的固有频率(无阻尼自由振动)由边界条件

代入上式得:由上式的第2式得：即：可解出两个根，即系统的固有频率：第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向第4章固有频率的实用计算方法4-3-2传递矩阵法分析圆轴的扭转振动一传递矩阵的计算图4-3-4b)为系统的某一具有代表性的第n段单元。其点矩阵形式的动力方程为为第n段单元对转轴的转动惯量图4-3-4扭转振动单元状态向量表示场矩阵形式的弹性方程第4章固有频率的实用计算方法4-3-2传递矩阵法分析圆轴的扭第4章固有频率的实用计算方法4-3-2传递矩阵法分析圆轴的扭转振动一传递矩阵法的计算第n段单元的传递矩阵系统的传递矩阵的计算公式仍然可以表示为第4章固有频率的实用计算方法4-3-2传递矩阵法分析圆轴的扭第4章固有频率的实用计算方法4-3-2传递矩阵法分析圆轴的扭转振动二算法流程图图4-3-5(a)所示的一端固定一端自由的圆轴作扭转自由振动，其中杆长为l

，轴径为d

，材料的切变模量为G，密度为

，用传递矩阵法计算一阶固有频率。第4章固有频率的实用计算方法4-3-2传递矩阵法分析圆轴的扭第4章固有频率的实用计算方法4-3-2传递矩阵法分析圆轴的扭转振动二算法流程图图4-3-7传递矩阵法的计算结果在0~1000rad/s范围内，计算得到的前3阶固有频率为158.5，475和791.5rad/s。而由理论解分别为159.08，477.24和795.4rad/s,相对误差分别为0.365%，0.469%和0.490%。第4章固有频率的实用计算方法4-3-2传递矩阵法分析圆轴的扭第4章固有频率的实用计算方法4-1单自由度系统一．列方程法单自由度无阻尼自由振动系统运动只要列出单自由度无阻尼自由振动系统的运动微分方程，就可以得到振动系统的固有频率第4章固有频率的实用计算方法4-1单自由度系统单自由度无第4章固有频率的实用计算方法4-1单自由度系统一．列方程法例4-1-1：建立图4-1-1(a)所示的均质杆绕O点作微幅转动振动系统的运动微分方程。解：单自由度系统，取均质杆为研究对象，画其受力图如图(b)。根据动量矩定理

第4章固有频率的实用计算方法4-1单自由度系统例4-1-第4章固有频率的实用计算方法4-1单自由度系统一．列方程法即解：单自由度系统，取均质杆为研究对象，画其受力图如图(b)。根据动量矩定理

振动系统固有频率：

第4章固有频率的实用计算方法4-1单自由度系统即解：单自第4章固有频率的实用计算方法4-1单自由度系统二．能量法原理：对于单自由度无阻尼自由振动系统，其响应为简谐振动，系统

或

。在静平衡位置，势能为0，动能达到最大，即：

。在最大位移处，动能为0，势能达到最大，即：

。所以有：例：对图4-1-1所示的振动系统，系统的动能系统的势能第4章固有频率的实用计算方法4-1单自由度系统原理：例：第4章固有频率的实用计算方法4-1单自由度系统二．能量法令例：对图4-1-1所示的振动系统，系统的动能系统的势能则有：最大动能最大势能：由得：系统的固有频率第4章固有频率的实用计算方法4-1单自由度系统令例：对图第4章固有频率的实用计算方法4-2多自由度系统4-2-1求特征值法令对于多自由度振动系统，其无阻尼自由振动运动微分方带入方程4-2-1并消去

项得欲使方程有非0解，令方程的系数行列式等于0可得到特征方程的n个特征根

，即振动系统的固有频率4-2-1特征方程，又称振幅方程第4章固有频率的实用计算方法4-2多自由度系统令对于多自第4章固有频率的实用计算方法4-2多自由度系统4-2-1求特征值法例4-2-1：2个自由度振动系统，其运动微分方程为：

令其特征方程的系数行列式等于0得即：可得固有频率第4章固有频率的实用计算方法4-2多自由度系统例4-2-第4章固有频率的实用计算方法4-2多自由度系统4-2-2计算固有频率的近似法一、瑞利法（Rayleigh法）瑞利法从单自由度振动系统固有频率计算的能量方法出发，对于多自由度振动系统，在作无阻尼自由振动时，

响应为同步振动。系统的动能可表示为：系统的势能设带入得最大动能最大势能第4章固有频率的实用计算方法4-2多自由度系统一、瑞利法第4章固有频率的实用计算方法4-2多自由度系统4-2-2计算固有频率的近似法一、瑞利法（Rayleigh法）带入公式

得：利用4-2-7精确计算多自由度振动系统的固有频率，前提条件是需要已知系统的振型，这是无法做到的。但振动系统的一阶振型的近似值一般可以预测，大都数情况下与其静载荷作用下产生的静变形十分接近。例如例4-2-1所给出的振动问题，若取代入式4-2-7进行试算：4-2-7第4章固有频率的实用计算方法4-2多自由度系统一、瑞利法第4章固有频率的实用计算方法一、瑞利法（Rayleigh法）若取若取与精确解相比，一阶固有频率的相对计算误差代入式4-2-7进行试算二阶固有频率的相对计算误差瑞利法的计算精度决定于对振型的假设。计算一阶固有频率精度较高但数值偏大第4章固有频率的实用计算方法一、瑞利法（Rayleigh法第4章固有频率的实用计算方法二、邓克利法（Dunkenley法）对于二个自由度系统：展开整理对于多自由度振动系统，若用柔度法建立的运动微分方程可表示为：

4-2-8同样地令特征方程(a)第4章固有频率的实用计算方法二、邓克利法（Dunkenle第4章固有频率的实用计算方法二、邓克利法（Dunkenley法）一般有

，即

因此有设

为方程的两个根，则有比较（a）（b）两式，可得（b）第4章固有频率的实用计算方法二、邓克利法（Dunkenle第4章固有频率的实用计算方法二、邓克利法（Dunkenley法）用Dunkenley法求解上例一般地，对于具有n个自由度的振动系统即Dunkenley法计算自由度的振动系统一阶固有频率的计算公式。Dunkenley法计算结果偏小第4章固有频率的实用计算方法二、邓克利法（Dunkenle第4章固有频率的实用计算方法4-3传递矩阵法（TransferMatrixMethod）传递矩阵法属于一种半解析数值解法，其基本思路：将系统离散成若干单元，每一个单元与邻近单元界面上用位移协调条件和力的平衡条件予以联系；每一单元可以用牛顿第二定律建立运动方程，从而建立单元两端之间的传递矩阵。求解从系统的边界开始，在边界上有的外力及位移关系是已知的，求出另一侧的力和位移；依次进行下去最后可得到问题的解。传递矩阵法既可求振动系统的固有频率，也可以求振动系统的强迫振动响应问题。第4章固有频率的实用计算方法4-3传递矩阵法（Trans第4章固有频率的实用计算方法4-3传递矩阵法（TransferMatrixMethod）4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动图4-3-1轴的纵向振动离散化模型第4章固有频率的实用计算方法4-3传递矩阵法（Trans第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动传递矩阵法的求解步骤1.系统的离散化利用集中质量法将具有分布质量的连续系统离散为具有n个自由度的链式系统，如图4-3-1(b),并进行编号2.建立点场矩阵取第i个质量弹簧元件研究两端状态向量关系写成矩阵形式第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动场传递矩阵研究质量元件在没有外激励力作用时，根据牛顿第二定律，可得下列关系式若振动系统作简谐振动，则有第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动即质量

两侧状态向量之间的关系方程点传递矩阵3.求系统的传递矩阵第i个质量弹簧单元的状态向量传递关系第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动令

,称振动系统的状态向量写成简洁的形式对于图4-3-1(b)所示的振动系统，最右端状态

与最左端状态

之间的关系第i个质量弹簧单元的传递矩阵4-3-7第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动称系统的总的传递矩阵而状态向量

依赖于边界条件。4.求系统的固有频率求系统的固有频率时，从最左边的状态

向量

出发，利用式4-3-7计算最右边的状态向量

得到一个关于

的方程式，其中满足所需解决问题边界条件的

就是系统的固有频率。第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动对于图5-3-1所示的悬臂梁的纵向振动问题，其边界条件为

，

，代入3-3-7式有从而得

，

。满足

的

即

为系统的固有频率。第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动例4-3-1用传递矩阵法求图4-3-2所示的单自由度系统的固有频率解：1：编号：如图所示2：计算点、场矩阵点矩阵场矩阵

3、计算传递矩阵：第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向第4章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动4、求系统的固有频率(无阻尼自由振动)根据边界条件