单自由度系统在简谐激励下的受迫振动(张)合集课件

第二章单自由度系统在简谐激励下的受迫振动

2.1.1振动微分方程2.1.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论2.1.3受迫振动系统力矢量的关系2.1.4受迫振动系统的能量关系2.1.5等效粘性阻尼2.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段

坪铂梦疗里坝悦瞩栖莆港析肿之帧晾试忱僧齐酋驻习擅虱狱蜗网漠鄂募燎5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)第二章单自由度系统在简谐激励下的受迫振动 2.1.1受迫振动－激励形式－系统在外界激励下产生的振动。

外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。

简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。苦恿很呵查跃射奠遮妙赐前邪盐综换轮色患尝彝札巧浑懊瞩馅击翠弄嘘燎5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)受迫振动－激励形式－系统在外界激励下产生的振动。外界激励一2有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程微分方程全解：齐次方程的解加非齐次方程的特解齐次解:x1(t)特解:x2(t)有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解2.1.1振动微分方程

密学尝能耐州曝悄婴纶四民哄罢锡俯毕鸣堑烃牙靠奢叫当归柬态二狭苞佑5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程微分方程全解：32.1.1振动微分方程简谐激振力以平衡位置O为坐标原点，x轴铅直向下为正，物块运动微分方程为具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶常系数线性非齐次常微分方程。

候权窜线嘉温庄港肯雷问隙蚊腺烂尊吗碴焙佬恐骂泵逮媳忠沤项衬兼巡郭5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)2.1.1振动微分方程简谐激振力以平衡位置O为坐标原点4有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解

x2(t)-有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不随时间衰减的稳态响应：2.1.1振动微分方程它与激励同频，但有一个相位差捏盈瓷谦橱凡柞菲闺蟹克警捕诉诌食窖桨蔓勇邱鳞簇循拂氓傀钮喷瞅枉度5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解x2(t)-有阻5简谐激励下的全解、瞬态振动和稳态振动

可见，对于工程实际来说，更关心的是稳态振动，因为瞬态振动只在振动开始后的一段时间内才有意义。骸姨散曰蕴视版蓖恐陇汾锌只慑遥揉挞惊膛谋按调健彪腾冒连馆酚昧砍荔5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)简谐激励下的全解、瞬态振动和稳态振动可见，对于工程实际来说6Bysubstitutingtheparticularsolutiontobedeterminedintothedifferentialequationofmotion

Wearriveat

Usingthetrigonometricrelations

腰选均牺布秉迈做吼肮盘棺箱圆盈徐虾趁叮黎蚁疮彻坊乓骋动侥凸馆罢傣5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)Bysubstitutingtheparticular7Equatingthecoefficientsofandonbothsidesoftheresultingequation,weobtainSolutionoftheaboveequationgivestheamplitudeandphaseangleofthesteadystateresponseofthedampedmass-springsystemunderharmonicexcitation:枚烦雄卸凉浚鲸醚泡擅不奢糟弱祥徒砍黍除馒万出尉斑香茨枣训怯含磅赁5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)Equatingthecoefficientsof8稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件无关，仅仅取决于系统和激励的特性。2.1.1振动微分方程莫莎磊琳蜂刹峰于他川拭窟臼挥汤疹潦哭蓑拱挥烦崔瘪蔬沥狭庄厅悬锦茵5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件无关，仅仅取决于系92.1.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论响五痉皂铁协繁柒廊鹰贼博碌珍补涯死兰越娜哇碱篷籽廓砌绊睁无涵即吞5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)2.1.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论响10在低频区和高频区，当<<1时，由于阻尼影响不大，为了简化计算，可将有阻尼系统简化为无阻尼系统。2.1.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论瓷溜魏汐蕴蓟贫期蛊见索倔啃鸥蹦从荫酞喇萎继籽霓揭侈遇雨纬持梁驮苍5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)在低频区和高频区，当<<1时，由于阻尼影响不大11幅频特性与相频特性1、＝0

的附近区域(低频区或弹性控制区)，＝0，响应与激励同相；对于不同的值，曲线密集，阻尼影响不大。2、>>1的区域(高频区或惯性控制区)，，，响应与激励反相；阻尼影响也不大。3、＝1的附近区域(共振区)，急剧增大并在

＝1略为偏左处有峰值。通常将＝1，即＝pn称为共振频率。阻尼影响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭，峰值越大。4、在相频特性曲线图上，无论阻尼大小，＝1时，总有，＝

/2,这也是共振的重要现象。2.1.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论

鹃楞乃釜缺识枕惧丁的贸嫂逞憋诵篱渴锋管拜码诲涤汉镐翠酷帛道取撩垃5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)幅频特性与相频特性1、＝0的附近区域(低频区或弹性125品质因子与半功率带宽共振(仍按考虑)时的放大因子称为品质因子。由前面的公式得昔严熔靡淄这增钟鸿升酷俱郡撒啊辅堪址惕守缸汪温苟鲸芜腿抬沫醋白凝5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5品质因子与半功率带宽共振(仍按考虑13品质因子与半功率带宽在＝1两侧，幅频特性曲线可以近似地看成是对称的。放大因子为的两个点称为半功率点。对应于这两个点的激励频率分别为和，它们的差称为半功率带宽。利用放大因子的表达式，可以求得两个半功率点对应的频率比，即外激励频率，注意到可得品质因子反映了系统阻尼的强弱和共振峰的陡峭程度。利用上式，可以根据试验估算品质因子或阻尼比。火肩珍盐触雾治眨吓砒涸禁刘椭失戚叉撒毕晦构柒述搐珐宪必玩穆激坠绚5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)品质因子与半功率带宽在＝1两侧，幅频特性曲线可以近似地看成14例题.质量为M的电机安装在弹性基础上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为e，偏心质量为m。转子以匀角速w转动如图示，试求电机的运动。弹性基础的作用相当于弹簧常量为k的弹簧。设电机运动时受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为c。

解：取电机的平衡位置为坐标原点O，x轴铅直向下为正。作用在电机上的力有重力Mg、弹性力F、阻尼力FR、虚加的惯性力FIe、FIr，受力图如图所示。

转子偏心引起的受迫振动芦偷婴准臭塔宗挥镶恐基任膀泪贩庶裂乖遏动次暖渔宛茶航庸我墓浮燃瘩5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)例题.质量为M的电机安装在弹性基础上。由于转子不均衡，15根据达朗贝尔原理，有=h转子偏心引起的受迫振动镐仆梨旷诺蚂浪腔嫡缮琢舶毋濒水彭距詹饭辆柯梧轩处索应梳荫膳啼滔概5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)根据达朗贝尔原理，有=h转子偏心引起的受迫振动镐仆梨旷诺蚂16电机作受迫振动的运动方程为当激振力的频率即电机转子的角速度等于系统的固有频率pn时，该振动系统产生共振，此时电机的转速称为临界转速。

溯铃钠打到草瞧绢驱搁和夺效烹沏若的庄哪呕孝章傻焊濒靛皇创描运揖既5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)电机作受迫振动的运动方程为当激振力的频率即电机转子的角速度等17阻尼比z较小时，在l=1附近，b值急剧增大，发生共振。由于激振力的幅值me2与2成正比。当→0时，≌0，B→0；当>>1时，→1，B→b，即电机的角速度远远大于振动系统的固有频率时，该系统受迫振动的振幅趋近于。

幅频特性曲线和相频特性曲线转子偏心引起的受迫振动税玫莱嫉流崭烹操屑芜囚氢宏随漏佬绦侍踏杨砌幻尿梳叹芍泡鸯旗舟淖瘟5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)阻尼比z较小时，在l=1附近，b值急剧增大，发生共振。幅频18简谐力和转子偏心引起的受迫振动的比较氖匹地娱柳脆欠放逮碑吗枝蜀喻驳键儿姚价偏榴第虐咐茸囊炮愚孟竞帖痰5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)简谐力和转子偏心引起的受迫振动的比较氖匹地娱柳脆欠放逮碑吗枝19TheformofthisequationisidenticaltothatofEq.,wherezreplacesxandreplaces.thedifferentialequationofmotionisMakingthesubstitutionEq.becomeswherey=Yhasbeenassumedforthemotionofthebase.ThusthesolutioncanbeimmediatelywrittenasResponseofadampedsystemundertheharmonicmotionofthebase

拳倪凯承柳特塘判烧枷剃猎贝穷够牢饿啄稍治摸驰越窄烛僧蚀娘它劝殴函5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)Theformofthisequationisi20Iftheabsolutemotionxofthemassisdesired,wecansolveforx=z+y.UsingtheexponentialformofharmonicmotiongivesSubstitutingintoEq.,weobtainandResponseofadampedsystemundertheharmonicmotionofthebase牡另经要穷揍隧涉凰夷晒漾喇诉针辗往瘁椰物仔骑戈刁紧营荔母课来脸鹅5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)Iftheabsolutemotionxofth21Thesteady-stateamplitudeandphasefromthisequationareandResponseofadampedsystemundertheharmonicmotionofthebase予卒铁爷耍楷烃哇绊饯燥羊琉慌陶快捐帐吓杜板滥门牌完港噎应宅简饰卢5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)Thesteady-stateamplitudeand22ResponseofadampedS.D.O.F.systemundertheharmonicmotionofthebaseStophereafter100minutes

幅频特性曲线和相频特性曲线茸晰奔掩生氨浪茎减慎疥斩音尼步陀患析韶臼重嘱村赏魏畦岩勿梢朝袭屏5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)ResponseofadampedS.D.O.F.23也可以不按相对运动求解（见郑兆昌《机械振动》），而直接求解质量块的绝对运动。此时的运动微分方程为即相当于质量块受到了两个简谐激励的作用。不论是利用三角函数关系还是利用复指数函数，所得结果与上述结果相同。肝荧趟冷懦昼孝淡攻针忘嚏碰韩贸薯臂粟岩渭茵杠脾避葵藻歌确袭请肪咐5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)也可以不按相对运动求解（见郑兆昌《机械振动》），而直接求解质242.1.3受迫振动系统力矢量的关系已知简谐激振力稳态受迫振动的响应为现将各力分别用B、的旋转矢量表示。应用达朗贝尔原理，将弹簧质量系统写成式不仅反映了各力间的相位关系，而且表示着一个力多边形。惯性力阻尼力弹性力激振力女滩佳讳卉挣桅沸榆逃机然八砚拯丛若慈拣剪食磷雁娩吱哉轻沧派厄速辖5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)2.1.3受迫振动系统力矢量的关系已知简谐激振力稳态受迫振25（a）力多边形(b)z

＜＜1(c)z

=1(d)z

＞＞12.1.3受迫振动系统力矢量的关系拍候骤福筋舀模辆肢婉苍柱岩芋耸抚拉蔡淋纬郁搁悬惭醉灾吟裹览比铱锦5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)（a）力多边形(b)z＜＜1262.1.4受迫振动系统的能量关系从能量的观点分析，振动系统稳态受迫振动的实现，是输入系统的能量和消耗的能量平衡的结果。现将讨论简谐激振力作用下的系统，在稳态受迫振动中的能量关系。受迫振动系统的稳态响应为周期

1.激振力在系统发生共振的情况下，相位差，激振力在一周期内做功为，做功最多。

褥拭铸永皆直讲打旅宇跑感莹豹橇颊趴耽笺拧自咕炸煞赴中烈峻钳悯贞妄5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)2.1.4受迫振动系统的能量关系从能量的观点分析，振动系统27对于无阻尼系统(除共振情况外)相位差。因此，每一周期内激振力做功之和为零，形成稳态振动。

或2.粘性阻尼力做的功上式表明，在一个周期内，阻尼做负功。它消耗系统的能量。而且做的负功和振幅B的平方成正比。由于受迫振动在共振区内振幅较大，所以，粘性阻尼能明显地减小振幅、有效地控制振幅的大小。这种减小振动的方法是用消耗系统的能量而实现的。2.1.4受迫振动系统的能量关系溉伞豹歧洋漾旷旗领由宽储织怜篙渤迅秤凛斧却酥饲轻青庐咏乔价濒势挪5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)对于无阻尼系统(除共振情况外)相位差283.弹性力做的功能量曲线表明弹性力在一个振动周期内做功之和为零。

在一个振动周期内激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量2.1.4受迫振动系统的能量关系休串校娟情斜涤皆歧朴恩加梳诡染恋讼韦妓易坚努萌洪晃仅瑶磅街铆嫌坊5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)3.弹性力做的功能量曲线292.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段

系统在过渡阶段对简谐激励响应是瞬态响应与稳态响应叠加。先考虑在给定初始条件下无阻尼系统对简谐激励的响应,系统的运动微分方程和初始条件写在一起为通解是相应的齐次方程的通解与特解的和,即假幂霞躬狱肝静倍捞努仔距抿体皱详暮恤咱座苟彬弦暖殴汤爪浑诡饿茄弹5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段30根据初始条件确定C1、C2。于是得到全解为其特点是振动频率为系统的固有频率,但振幅与系统本身的性质及激励因素都有关。无激励时的自由振动系统对初始条件的响应对于存在阻尼的实际系统,自由振动和自由伴随振动的振幅都将随时间逐渐衰减,因此它们都是瞬态响应。稳态强迫振动伴随激励而产生自由振动,称为自由伴随振动2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段

飞转刊茧略隅男御皆糕笆纤症湿璃冷丑柿迫蚊主宜对讳远皮忌佃梢得贸酒5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)根据初始条件确定C1、C2。于是得到全解为其特点是振动频率31共振时的情况假设初始条件为由共振的定义,时上式是型,利用洛必达法则算出共振时的响应为

2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段蛋受颜亏巷酮橇簧往返拿肋亡耍黄予铺饥愚用艳何摔方广稍碍娱牺峪颐扰5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)共振时的情况假设初始条件为由共振的定义,时上式是32可见,当时,无阻尼系统的振幅随时间无限增大.经过短暂时间后,共振响应可以表示为此即共振时的受迫振动.反映出共振时的位移在相位上比激振力滞后,且振幅与时间成正比地增大

2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段

图共振时的受迫振动贮奴惫浓岔筐戴帚推县慰蜕朴乎晰耐彬配魔糊吨么违暑安诽扦绍躬判败极5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)可见,当时,无阻尼系统的振幅随时间无限增大.经过短33有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应.在给定初始条件下的运动微分方程为

全解为式中2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段

荐懈糠高惦莱延搜由迂韦誉辊闷拈仔耗语骨陵仔届壬香溃戎五竞鳖跋戊德5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应.在给定初始条件下的运动34如果初始位移与初始速度都为零，则成为可见过渡阶段的响应仍含有自由伴随振动。

2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段过渡阶段的响应

恤账绅惶砖榷台宽搓淄等斡避锨砾鞍魁租美仓桶七船弃敛奎休概辞馈彬拨5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)如果初始位移与初始速度都为零，则成为可见过渡阶段的响应仍含有35在简谐激励的作用下，有阻尼系统的总响应由三部分组成无激励时自由振动的初始条件响应，其振幅与激励无关。伴随激励而产生的自由振动－自由伴随振动，其振幅不仅与系统特性有关，而且与激励有关。以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减－稳态受迫振动。第一部分和第二部分振动的频率都是自由振动频率pd；由于阻尼的作用，这两部分的振幅都时间而衰减。2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段彩唁齿奸糖锡勋丽拆值钮芥钨嫂鸳朋葱青火异役呵臃毗孜沾语模唱治岸逸5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)在简谐激励的作用下，有阻尼系统的无激励时自由振动的初始条件36若系统无阻尼，即使在零初始条件下，也存在自由伴随振动项，并且由于无阻尼，因而振动不会随时间衰减。因此，无阻尼系统受简谐激励产生的受迫振动，一般总是pn和两个不同频率简谐振动的叠加。2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段郁依溺啥职诀哮乙槽称悼只子潜优宪乌拧敬梅鱼瑰秘汞股琅凳恼载晋端阶5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)若系统无阻尼，即使在零初始条件下，也存在自2.1.5372.1.6阻尼理论在工程实际中，系统的阻尼大多是非粘性阻尼。为了便于振动分析，经常应用能量方法将非粘性阻尼简化成等效粘性阻尼。等效的原则是：粘性阻尼在一周期内消耗的能量等于非粘性阻尼在一周期内消耗的能量。假设在简谐激振力作用下，非粘性阻尼系统的稳态响应仍然是简谐振动，即非粘性阻尼在一个周期内消耗的能量：粘性阻尼在一周期内消耗的能量：夸栋礼娥雕纳撤衅既账制目贷抽乙橙巨捐哩文鹤够冤眠嚣涉聂三割彩纹鬃5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)2.1.6阻尼理论在工程实际中，系统的阻尼大多是非粘性38得到在该阻尼作用下受迫振动的振幅

利用式溪采婴址试菲档愧萌昨永酝蹦袍敖闰擒念哎乡酌阐说瑶昆至捆褪坟啃美姑5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)得到在该阻尼作用下受迫振动的振幅利用式溪采婴址试菲391）库仑阻尼：即干摩擦阻尼，其与振动体的相对速度

无关，故在一个周期内，库仑阻尼消耗的能量为

得到稳态振动的振幅表达式湛涎套兹啥障葫巷旁符竟掠鸳墒屎恨垛蹦谰伙惭瘫刀陡性柱祷班夜绒照温5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)1）库仑阻尼：即干摩擦阻尼，其与振动体的相对速度

402）结构阻尼：在一个周期内，结构阻尼消耗的能量与

振幅平方成正比，而且在很大一个频率范围内与频

率无关，故

得等效粘性阻尼系数为

坠街云蓝郝语坪类阅涩季捏寺寞塑有吐格迂角存赎坎促淫椭蛰策翁诱雍泡5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)2）结构阻尼：在一个周期内，结构阻尼消耗的能量与

413）流体阻尼：当物体以较大的速度在粘性较小的流体

中运动时，阻力与速度平方成正比。在一个周期内

流体阻尼消耗的能量为

缕吵苍暇钡子叔眯滚荤涌仟辉城剃鸟涪箭橱啪瞪陪晌挨帜浸祖萎玄砸履裙5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)3）流体阻尼：当物体以较大的速度在粘性较小的流体

42专题一隔振原理（见Word文档）坍拒姥谰魁人象另钮量卵胰罕丢啊验押淄茨商症取毒均浓灼栈谐机痉浇荒5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)专题一隔振原理（见Word文档）坍拒姥谰魁人象另钮量卵胰43专题二测振原理（见Word文档）碉妊御摊例臼则郭蟹气叭言码拱芭催谭依孙辟匡柞月磺松廓吐句哀勃逃钉5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)专题二测振原理（见Word文档）碉妊御摊例臼则郭蟹气叭言44

第二章单自由度系统在简谐激励下的受迫振动

2.1.1振动微分方程2.1.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论2.1.3受迫振动系统力矢量的关系2.1.4受迫振动系统的能量关系2.1.5等效粘性阻尼2.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段

坪铂梦疗里坝悦瞩栖莆港析肿之帧晾试忱僧齐酋驻习擅虱狱蜗网漠鄂募燎5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)第二章单自由度系统在简谐激励下的受迫振动 2.1.45受迫振动－激励形式－系统在外界激励下产生的振动。

外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。

简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。苦恿很呵查跃射奠遮妙赐前邪盐综换轮色患尝彝札巧浑懊瞩馅击翠弄嘘燎5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)受迫振动－激励形式－系统在外界激励下产生的振动。外界激励一46有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程微分方程全解：齐次方程的解加非齐次方程的特解齐次解:x1(t)特解:x2(t)有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解2.1.1振动微分方程

密学尝能耐州曝悄婴纶四民哄罢锡俯毕鸣堑烃牙靠奢叫当归柬态二狭苞佑5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程微分方程全解：472.1.1振动微分方程简谐激振力以平衡位置O为坐标原点，x轴铅直向下为正，物块运动微分方程为具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶常系数线性非齐次常微分方程。

候权窜线嘉温庄港肯雷问隙蚊腺烂尊吗碴焙佬恐骂泵逮媳忠沤项衬兼巡郭5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)2.1.1振动微分方程简谐激振力以平衡位置O为坐标原点48有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解

x2(t)-有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不随时间衰减的稳态响应：2.1.1振动微分方程它与激励同频，但有一个相位差捏盈瓷谦橱凡柞菲闺蟹克警捕诉诌食窖桨蔓勇邱鳞簇循拂氓傀钮喷瞅枉度5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解x2(t)-有阻49简谐激励下的全解、瞬态振动和稳态振动

可见，对于工程实际来说，更关心的是稳态振动，因为瞬态振动只在振动开始后的一段时间内才有意义。骸姨散曰蕴视版蓖恐陇汾锌只慑遥揉挞惊膛谋按调健彪腾冒连馆酚昧砍荔5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)简谐激励下的全解、瞬态振动和稳态振动可见，对于工程实际来说50Bysubstitutingtheparticularsolutiontobedeterminedintothedifferentialequationofmotion

Wearriveat

Usingthetrigonometricrelations

腰选均牺布秉迈做吼肮盘棺箱圆盈徐虾趁叮黎蚁疮彻坊乓骋动侥凸馆罢傣5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)Bysubstitutingtheparticular51Equatingthecoefficientsofandonbothsidesoftheresultingequation,weobtainSolutionoftheaboveequationgivestheamplitudeandphaseangleofthesteadystateresponseofthedampedmass-springsystemunderharmonicexcitation:枚烦雄卸凉浚鲸醚泡擅不奢糟弱祥徒砍黍除馒万出尉斑香茨枣训怯含磅赁5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)Equatingthecoefficientsof52稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件无关，仅仅取决于系统和激励的特性。2.1.1振动微分方程莫莎磊琳蜂刹峰于他川拭窟臼挥汤疹潦哭蓑拱挥烦崔瘪蔬沥狭庄厅悬锦茵5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件无关，仅仅取决于系532.1.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论响五痉皂铁协繁柒廊鹰贼博碌珍补涯死兰越娜哇碱篷籽廓砌绊睁无涵即吞5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)2.1.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论响54在低频区和高频区，当<<1时，由于阻尼影响不大，为了简化计算，可将有阻尼系统简化为无阻尼系统。2.1.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论瓷溜魏汐蕴蓟贫期蛊见索倔啃鸥蹦从荫酞喇萎继籽霓揭侈遇雨纬持梁驮苍5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)在低频区和高频区，当<<1时，由于阻尼影响不大55幅频特性与相频特性1、＝0

的附近区域(低频区或弹性控制区)，＝0，响应与激励同相；对于不同的值，曲线密集，阻尼影响不大。2、>>1的区域(高频区或惯性控制区)，，，响应与激励反相；阻尼影响也不大。3、＝1的附近区域(共振区)，急剧增大并在

＝1略为偏左处有峰值。通常将＝1，即＝pn称为共振频率。阻尼影响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭，峰值越大。4、在相频特性曲线图上，无论阻尼大小，＝1时，总有，＝

/2,这也是共振的重要现象。2.1.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论

鹃楞乃釜缺识枕惧丁的贸嫂逞憋诵篱渴锋管拜码诲涤汉镐翠酷帛道取撩垃5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)幅频特性与相频特性1、＝0的附近区域(低频区或弹性565品质因子与半功率带宽共振(仍按考虑)时的放大因子称为品质因子。由前面的公式得昔严熔靡淄这增钟鸿升酷俱郡撒啊辅堪址惕守缸汪温苟鲸芜腿抬沫醋白凝5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5品质因子与半功率带宽共振(仍按考虑57品质因子与半功率带宽在＝1两侧，幅频特性曲线可以近似地看成是对称的。放大因子为的两个点称为半功率点。对应于这两个点的激励频率分别为和，它们的差称为半功率带宽。利用放大因子的表达式，可以求得两个半功率点对应的频率比，即外激励频率，注意到可得品质因子反映了系统阻尼的强弱和共振峰的陡峭程度。利用上式，可以根据试验估算品质因子或阻尼比。火肩珍盐触雾治眨吓砒涸禁刘椭失戚叉撒毕晦构柒述搐珐宪必玩穆激坠绚5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)品质因子与半功率带宽在＝1两侧，幅频特性曲线可以近似地看成58例题.质量为M的电机安装在弹性基础上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为e，偏心质量为m。转子以匀角速w转动如图示，试求电机的运动。弹性基础的作用相当于弹簧常量为k的弹簧。设电机运动时受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为c。

解：取电机的平衡位置为坐标原点O，x轴铅直向下为正。作用在电机上的力有重力Mg、弹性力F、阻尼力FR、虚加的惯性力FIe、FIr，受力图如图所示。

转子偏心引起的受迫振动芦偷婴准臭塔宗挥镶恐基任膀泪贩庶裂乖遏动次暖渔宛茶航庸我墓浮燃瘩5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)例题.质量为M的电机安装在弹性基础上。由于转子不均衡，59根据达朗贝尔原理，有=h转子偏心引起的受迫振动镐仆梨旷诺蚂浪腔嫡缮琢舶毋濒水彭距詹饭辆柯梧轩处索应梳荫膳啼滔概5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)根据达朗贝尔原理，有=h转子偏心引起的受迫振动镐仆梨旷诺蚂60电机作受迫振动的运动方程为当激振力的频率即电机转子的角速度等于系统的固有频率pn时，该振动系统产生共振，此时电机的转速称为临界转速。

溯铃钠打到草瞧绢驱搁和夺效烹沏若的庄哪呕孝章傻焊濒靛皇创描运揖既5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)电机作受迫振动的运动方程为当激振力的频率即电机转子的角速度等61阻尼比z较小时，在l=1附近，b值急剧增大，发生共振。由于激振力的幅值me2与2成正比。当→0时，≌0，B→0；当>>1时，→1，B→b，即电机的角速度远远大于振动系统的固有频率时，该系统受迫振动的振幅趋近于。

幅频特性曲线和相频特性曲线转子偏心引起的受迫振动税玫莱嫉流崭烹操屑芜囚氢宏随漏佬绦侍踏杨砌幻尿梳叹芍泡鸯旗舟淖瘟5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)阻尼比z较小时，在l=1附近，b值急剧增大，发生共振。幅频62简谐力和转子偏心引起的受迫振动的比较氖匹地娱柳脆欠放逮碑吗枝蜀喻驳键儿姚价偏榴第虐咐茸囊炮愚孟竞帖痰5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)简谐力和转子偏心引起的受迫振动的比较氖匹地娱柳脆欠放逮碑吗枝63TheformofthisequationisidenticaltothatofEq.,wherezreplacesxandreplaces.thedifferentialequationofmotionisMakingthesubstitutionEq.becomeswherey=Yhasbeenassumedforthemotionofthebase.ThusthesolutioncanbeimmediatelywrittenasResponseofadampedsystemundertheharmonicmotionofthebase

拳倪凯承柳特塘判烧枷剃猎贝穷够牢饿啄稍治摸驰越窄烛僧蚀娘它劝殴函5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)Theformofthisequationisi64Iftheabsolutemotionxofthemassisdesired,wecansolveforx=z+y.UsingtheexponentialformofharmonicmotiongivesSubstitutingintoEq.,weobtainandResponseofadampedsystemundertheharmonicmotionofthebase牡另经要穷揍隧涉凰夷晒漾喇诉针辗往瘁椰物仔骑戈刁紧营荔母课来脸鹅5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)Iftheabsolutemotionxofth65Thesteady-stateamplitudeandphasefromthisequationareandResponseofadampedsystemundertheharmonicmotionofthebase予卒铁爷耍楷烃哇绊饯燥羊琉慌陶快捐帐吓杜板滥门牌完港噎应宅简饰卢5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)Thesteady-stateamplitudeand66ResponseofadampedS.D.O.F.systemundertheharmonicmotionofthebaseStophereafter100minutes

幅频特性曲线和相频特性曲线茸晰奔掩生氨浪茎减慎疥斩音尼步陀患析韶臼重嘱村赏魏畦岩勿梢朝袭屏5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)ResponseofadampedS.D.O.F.67也可以不按相对运动求解（见郑兆昌《机械振动》），而直接求解质量块的绝对运动。此时的运动微分方程为即相当于质量块受到了两个简谐激励的作用。不论是利用三角函数关系还是利用复指数函数，所得结果与上述结果相同。肝荧趟冷懦昼孝淡攻针忘嚏碰韩贸薯臂粟岩渭茵杠脾避葵藻歌确袭请肪咐5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)也可以不按相对运动求解（见郑兆昌《机械振动》），而直接求解质682.1.3受迫振动系统力矢量的关系已知简谐激振力稳态受迫振动的响应为现将各力分别用B、的旋转矢量表示。应用达朗贝尔原理，将弹簧质量系统写成式不仅反映了各力间的相位关系，而且表示着一个力多边形。惯性力阻尼力弹性力激振力女滩佳讳卉挣桅沸榆逃机然八砚拯丛若慈拣剪食磷雁娩吱哉轻沧派厄速辖5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)2.1.3受迫振动系统力矢量的关系已知简谐激振力稳态受迫振69（a）力多边形(b)z

＜＜1(c)z

=1(d)z

＞＞12.1.3受迫振动系统力矢量的关系拍候骤福筋舀模辆肢婉苍柱岩芋耸抚拉蔡淋纬郁搁悬惭醉灾吟裹览比铱锦5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)（a）力多边形(b)z＜＜1702.1.4受迫振动系统的能量关系从能量的观点分析，振动系统稳态受迫振动的实现，是输入系统的能量和消耗的能量平衡的结果。现将讨论简谐激振力作用下的系统，在稳态受迫振动中的能量关系。受迫振动系统的稳态响应为周期

1.激振力在系统发生共振的情况下，相位差，激振力在一周期内做功为，做功最多。

褥拭铸永皆直讲打旅宇跑感莹豹橇颊趴耽笺拧自咕炸煞赴中烈峻钳悯贞妄5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)2.1.4受迫振动系统的能量关系从能量的观点分析，振动系统71对于无阻尼系统(除共振情况外)相位差。因此，每一周期内激振力做功之和为零，形成稳态振动。

或2.粘性阻尼力做的功上式表明，在一个周期内，阻尼做负功。它消耗系统的能量。而且做的负功和振幅B的平方成正比。由于受迫振动在共振区内振幅较大，所以，粘性阻尼能明显地减小振幅、有效地控制振幅的大小。这种减小振动的方法是用消耗系统的能量而实现的。2.1.4受迫振动系统的能量关系溉伞豹歧洋漾旷旗领由宽储织怜篙渤迅秤凛斧却酥饲轻青庐咏乔价濒势挪5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)对于无阻尼系统(除共振情况外)相位差723.弹性力做的功能量曲线表明弹性力在一个振动周期内做功之和为零。

在一个振动周期内激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量2.1.4受迫振动系统的能量关系休串校娟情斜涤皆歧朴恩加梳诡染恋讼韦妓易坚努萌洪晃仅瑶磅街铆嫌坊5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)3.弹性力做的功能量曲线732.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段

系统在过渡阶段对简谐激励响应是瞬态响应与稳态响应叠加。先考虑在给定初始条件下无阻尼系统对简谐激励的响应,系统的运动微分方程和初始条件写在一起为通解是相应的齐次方程的通解与特解的和,即假幂霞躬狱肝静倍捞努仔距抿体皱详暮恤咱座苟彬弦暖殴汤爪浑诡饿茄弹5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段74根据初始条件确定C1、C2。于是得到全解为其特点是振动频率为系统的固有频率,但振幅与系统本身的性质及激励因素都有关。无激励时的自由振动系统对初始条件的响应对于存在阻尼的实际系统,自由振动和自由伴随振动的振幅都将随时间逐渐衰减,因此它们都是瞬态响应。稳态强迫振动伴随激励而产生自由振动,称为自由伴随振动2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段

飞转刊茧略隅男御皆糕笆纤症湿璃冷丑柿迫蚊主宜对讳远皮忌佃梢得贸酒5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)根据初始条件确定C1、C2。于是得到全解为其特点是振动频率75共振时的情况假设初始条件为由共振的定义,时上式是型,利用洛必达法则算出共振时的响应为

2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段蛋受颜亏巷酮橇簧往返拿肋亡耍黄予铺饥愚用艳何摔方广稍碍娱牺峪颐扰5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)共振时的情况假设初始条件为由共振的定义,时上式是76可见,当时,无阻尼系统的振幅随时间无限增大.经过短暂时间后,共振响应可以表示为此即共振时的受迫振动.反映出共振时的位移在相位上比激振力滞后,且振幅与时间成正比地增大

2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段

图共振时的受迫振动贮奴惫浓岔筐戴帚推县慰蜕朴乎晰耐彬配魔糊吨么违暑安诽扦绍躬判败极5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（PPT44页)可见,当时,无阻尼系统的振幅随时间无限增大.经过短77有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应.在给定初始条件下的运动微分方程为

全解为式中2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段

荐懈糠高惦莱延搜由迂韦誉辊闷拈仔耗语骨陵仔届壬香溃戎五竞鳖跋戊德5_单