空间向量解立体几何题讲义自编精品

空间向量解立体几何题讲义【提纲】一、回顾平面向量的有关知识1、平面直角坐标系2、平面向量的坐标表示及运算3、平面向量的数量积、模及夹角公式4、平面向量的平行和垂直的的充要条件二、介绍空间向量的有关知识（推广）1、空间直角坐标系2、空间向量的坐标表示及运算3、空间向量的数量积、模及夹角公式4、空间向量的平行和垂直的充要条件5、直线的方向向量6、平面的法向量7、空间向量的应用（1）证明：平行；垂直（2）计算：角；距离【教学过程】一、复习回顾平面向量的有关知识1、平面直角坐标系2、平面向量的坐标表示及运算3、平面向量的数量积、模及夹角公式4、平面向量的平行和垂直的的充要条件二、介绍空间向量的有关知识（推广）（一）空间直角坐标系1、建立以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，即三条坐标轴.称建立了一个空间直角坐标系O-xyz，点O叫原点，向量i,j,k都叫坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面，如图所示。注：作空间直角坐标系。-xyz时，一般使ZxOy=135。（或45）,ZyOz=90。。2、（正交）基底° 。 。（二）空间向量的坐标表示及坐标运算1、坐标表示用ij,k九示（二）空间向量的坐标表示及坐标运算1、坐标表示给定空间直角坐标系O-xyz和向量a,设i,j,k为坐标向量，则存在唯一的有序实数组（ai，a2,a3），使a=1飞j+Ak，有序实数组（a2,a3）叫作向量°在空间直角坐标系

°-华中的坐标，记作a=（%）,其中a1叫横坐标,a2叫纵坐标,a3叫竖坐标.若A（x,°-华中的坐标，记作a=（%）,其中a1叫横坐标,a2叫纵坐标,a3叫竖坐标.若A(x,y,zi),B(X2,y2,z2)，贝ijAB=(x2-x「y2-y/z2-z)，如右下图所示。2、坐标运算,若a=(a/a2,a3),b=(b,b2,b3)，贝Ua+b=(a+b,a+b,a+b)a-b=(a-b；a-b,a-b)(3)九a二(九a,九a,九a)(九£R)(三)空间向量的数量积、模及夹角公式—I--H1、设a,b是空间两个非零向量，我们把数量—■-to —■—tai -F—F —■—i-IaIIbIcos<a,b>叫作向量a,b的数量积，记作a・b，即——fr fn f—•a•b=IaIIbIcos<a,b>2x规定：零向量与任一向量的数量积为02x3、夹角公式:cos*a•b:,y,z)2、模长公式：IaI=a••a=x22+3、夹角公式:cos*a•b:,y,z)（四）空间向量的平行和垂直的充要条件'b='a1、1、a//bob—Xa。<b—Xa(X£R)b—Xa33 32、a±boa•b―0oxx+yy+zz―0，其中a,b是两个非零向量）（五）直线的方向向量 121212把直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量（六）平面的法向量若表示向量孔的有向线段所在直线垂直于平面a，则称这个向量垂直于平面a，记作— — Tnla，如果nla，那么向量n叫做平面a的法向量。在空间求平面的法向量的方法：法1：（直接法）找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。法2：（待定系数法）步骤：①建立空间直接坐标系；②设平面的法向量沏—（x,y,z）；③在平面内找两个不共线的向量a-（21,片”和b二（X2,y2,z2）；④建立方程组d⑤解方程组，取其中的一组解即可。―►（七）空间向量的应用

1、证明平行和垂直(1)证明两直线平行已知两直线〃和b,a,bea,C,Deb，则a〃b=存在唯一的实数九使AB=入CD(2)证明直线和平面平行 一. 一>已知直线aaa,A,Bea和平面a的法向量n，则a〃a=AB1n=AB-n=0(3)证明两个平面平行 f-* -f-r-已知两个不重合平面a,P，法向量分别为m,n,则a〃pom//nTOC\o"1-5"\h\z(4)证明两直线垂直 .已知直线a,b,A,Bea,C,Deb，则a1boaB-CD=0(5)证明直线和平面垂直—¥ —»已知直线a和平面a,a、Bea,平面a的法向量为n，则a1aoAB//n(6)证明两个平面垂直—bF T1-已知两个平面a和p及两个平面的法向量n,m，则aipon1m2、求角与距离(1)求两异面直线所成的角已知两异面直线a,b，且A,Bea,C,Deb,则异面直线a,b所成的角°的计算公式为:IAB-CDiC0S9= 一IABiicdi(2)求直线和平面所成的角已知A,B为直线a上任意两点，n为平面a的法向量，则a和平面a所成的角9为：兀①当<AB,n〉e0,-时，9=不一<AB,n>；J2―— . - 、.c.■P-②当<AB,n>e—,-时，9=<AB,n>~~J 2(3)求二面角已知二面角a-1-p,m,n分别为面a,p的法向量，则二面角的平面角9的大小与两个 卜—b- +—r法向量所成的角相等或互补，即9=<m,n>或--<m,n>注：如何判断二面角的平面角和法向量所成角的大小关系？通过观察二面角的平面角是锐角还是钝角,再由法向量成的角来定之。通过观察法向量的方向,判断法向量所成的角与二面角的平面角相等还是互补。(4)求两条异面直线的距离已知两条异面直线a,b,m是与两条异面直线都垂直的向量，且Aea,Beb，则两条异 i- Ir面直线的距离为d=1AB-m1ImI推导：作AC1a，垂足为C，连结BC，AC=d即为所求，设ZBAC=9，则IAB-mIIAB-mIIABIImId=IABI-cos9=IABI-1cos<AB,m>I=IABIABIImI(5)求点到面的距离已知平面a和点A,B,A2,Bea,m为平面a的法向量，则点A到平面a的距为,IAB-mId- ： ImI推导过程：类似上面方法三、例题选讲例1(2008安徽理)如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是四边长均为1的菱形，/ABC-亍,OA1底面ABCD,OA-2,M为OA的中点，N为BC的中点形，(I)证明：直线MNII平面OCD(II)求异面直线AB与DM所成角的大小;(皿)求点B到平面OCD的距离.例2(2005湖南文、理)如图1,已知ABCD是上、下底边长分别为2和6,高为、；3的等腰梯形，将它沿对称轴O1O折成直二面角，如图2(I)证明：AC1BO1； (II)求二面角O—AC—O1的大小.例3(2007四川理)如图，PCBM是直角梯形，/PCB=900,PM//BC,PM=1,BC=2，又AC=1,ZACB=1200,AB±PC，直线AM与直线PC所成的角为60°(I)求证：平面PAC，平面ABC；(II)求二面角M—AC—B的大小； F卜 大(111)求三棱锥P—MAC的体积. \ /\四、练习题1、(2006福建文、理)如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=<2.(I)求证：AO±平面BCD； /'、、、、、(II)求异面直线AB与CD所成角的大小； :

(Ill)求点E到平面ACD的距离.2、(2007海南、宁夏理)如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，/BAC=90°，O为BC中点.(I)证明：SO±平面ABC；(II)求二面角A—SC—B的余弦值.AB3、(2008海南、宁夏理)如图，已知点P在正方体ABCD-ABCD的对角线BD上,/PDA=600AB(I)求DP与CC1所成角的大小；(II)求DP与平面AADD所成角的大小.1 14、(2007安徽文、理)如图,在六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形%bcDi是边长为1的正方形，叫,平面abc%DD1平面ABCDDD1=2(I)求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面;(II)求证:平面A1ACC11平面B1BDD1；(m)求二面角A—BB1-C的大小.5、(2006全国I卷文、理)如图，11、12是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段.点A、B在11上，点C在12上，AM=MB=MN。(I)证明AC1NB"(II)若/ACB=60O，求NB与平面ABC所成角的余弦值。例题及练习题参考答案例1解：作AP工CD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x,y,z轴建立坐标系，则A（0,0,B）…专。）"用三；。。。。2），,MW），，N（1-7，丁，。）

,4,Q)=0，一苧取z=v2，解得n=(0,4,<2)・.,,4,Q)=0，一苧・・・MN〃平面OCD(II)设,与MD所成的角为e, =(i,0,0),md=(-苧,3,-1)coseIcoseIAB•MDI1; ;-=—IABI•IMDI2TOC\o"1-5"\h\z・・・e=三丁即AB与MD所成角的大小为一3 3f /—(III)设点B到平面OCD的距离为d，则d为OB在向量n=(0,4,v2)上的投影的绝对值,一—〜 .IOB•nI2一 2由OB=(1,0,—2),得d=—=—=彳.所以点B到平面OCD的距离为InI3 3例2解：(I)证明由题设知OALOO1,OBXOO1.所以ZAOB是所折成的直二面角的平面角，即OAXOB.故可以O 》只为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立z/Ty/X空间直角坐标系，如图，则相关各点的坐标是A(3,0,0), 0 3 1►，B(0,3,0),C(0,1,v-3),O1(0,0,、3). )从而AC=(-3,1,x/3),BO；=(0,-3,v3) ,AC-BO=-3+ ・、/3=0.所以AC±BO.\o"CurrentDocument"1 i,平面OAC,BO1是平面OAC的一个法向量.(II)解：因为BOjOC=-3+、3・J3=0,,平面OAC,BO1是平面OAC的一个法向量.设n=(x,y,z)是0平面01AC的一个法向量，由，1£二°J-3x+y+岳=0,取z=g， 得1(1,0,扬.n-OC-o y-0-I1设二面角o—AC—0]的大小为。，由〃、BO的方向可知。=<n,BO>,1 i i“।'f5777 n•BO -J3所以COS。=COS<〃，BO>=—__3^^=—.1 \n\-\BOI4i例3B：(I)-：PC1AB.PC1BC,AB^BC=B：.PC1TWABC,又・.・PCu平面尸AC・・.平面尸AC±平面ABC(ID在平面ABC内，过。作CDLC5,建立空间直角坐标系C-xyz(如图)由题意有也1、2，-2，Z,CP也1、2，-2，Z,CP=(0,0,z)oZZ uu o由直线AM与直线PC所成的解为60。，得4加.0。=闪明。耳360。，即解得Z°=l•・CM=(0,0,1\CA=•・CM=(0,0,1\CA=[2 2J，设平面MAC的一个法向量为〃=设根与几所成的角为0,则设根与几所成的角为0,则00s0=m\-\n二显然，二面角AC—5的平面V7Z]=W1

匕八一。°E%]=1,得八={才-y},平面ABC的法向量取为mZ]=W1

匕八一。角为锐角，故二面角M-AC-B的平面色大小为 Y五arccos7(III)解法一：由(II)知，PCMN为正方形/.V=V=V=V=lx』ACCN.sinl2Oo・MN=9P-MACA-PCMA-MNCM-ACN3 2 12(III)解法二：取平面尸CM的法向量取为〃=(1,0,0),则点A到平面PCM的距离1

h二9t41二@丁PC=1,PM=1，・•・V=V ==-X-|pd-Pm.h=S-xlxlx—口工In| 2 P-maca-PCM32111 6 2121练习1：(1)证明：_连结O二•BO=DO,AB=AD,AAOXBD.•・•BO=DO,BC=CD,,CO，BD.在AAOC中，由已知可得AO=1,CO=v3.而AC=2,・AO2+CO2=AC2,・・・NA0C=90°,即AO±OC.・・・BDAOC=0,,AO1平面BCD.(II)解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,\；3,0),A(0,0,1),1、3 — —・・・cos:BA,CD=BA•CD,2B^AdC：D\ 42，，异面直线AB与CD所成角的大小为arccos--.・・・cos:BA,CD=BA•CD,2B^AdC：D\ 42，，异面直线AB与CD所成角的大小为arccos--.4(III)解法一：设平面ACD的法向量为n=(x,y,z)，则v13y-z=0.n•AD=(x,y,z)•(-v13y-z=0.n•AC=(x,y,z)•(0,、3,-1)=0,令y=1,得n=(八次1,V3)是平面ACD的一个法向量.又EC=(-2,g0,・••点E到平面ACD的距离h=IECnIv・••点E到平面ACD的距离h=IECnIv3 ；21(I)解法二：设点E到平面ACD的距离为h.・・・V-VA-ACD A-CDE•S△ACD•AO•S.△CDE在AACD中，CA=CD=2,AD=％区，,S△ACD=1x血x22-超371而AO=1,,1J31xT_v2lS=1x史x22=X3,Ah=AO1J31xT_v2lCDE2 4 2 q ^CDESAACD

一…一“，，一・②・••点E到平面ACD的距离为-y练习2：证明：(I)由题设AB一…一“，，一・②・••点E到平面ACD的距离为-y练习2：证明：(I)由题设AB=AC=SB=SC=SA，连结OA,△ABC为等腰直角三角形，所以 立 且AO1BC,又4SBC为OA=OB=OC=SA2等腰三角形，故SO1BC,且SO_五SA，从而OA2+SO2=SA2.所以△SOA为直2角三角形，SO1AO.又AO^BO_O.所以SO1平面ABC.(II)解：以O为坐标原点，射线OB,OA分别为X轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O-xyz.设B(L0,0)，贝UC(—1,0,0)A(0,1,0)S(0,0,1),SC的中点(1 1、M ,0,一I22)MO=(1 1、—,0,——12 2)1 1\—,1,——,SC_(—1,0,—1).2 2)，MO^SC=0,MA^SC=0.故MO1SC,MA1SC,<MO,MA>等于二面角A—SC—B的平面角.cos<MO,MA>=MO*MA|MO•MA|所以二面角N―SC—B的余弦值为亘3练习3：解：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D—xyz.则DA=(1,0,0),CC=(0,0,1).连结BD,B'D'.在平面BB'D'D中，延长DP交B'D'于H^设DH=(m,m,1)(m>0)，由已知<DH,DA>=60，由DADHcos<DA,DADHcos<DA,DH>可得2m={2m—1.解得而wj，所以DH(I)因为cos<(I)因为cos<DH,CC'〉=7'2八u’2八” ” x0+ x0+1x1q j 1x7f2所以＜DH,CC'＞=45「即DP与CC所成的角为45.(11)平面工HD'D的一个法向量是DC=(0,1,0).x0+x1+1x0因为cos<DH,DC>=21 2= 1x<2所以＜DHDX60.可得DP与平面HHD'D所成的角为30.练习4:比(向量法)：以D为原点，以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建0),C(0,2,0)立空间直角坐标系D—xyz如图，则有A(2,0,0),B0),C(0,2,0)H(1,0,2),B(1,1,2),C(0,1,2),D(0,0,2).(I)证明：AC=(—1,1,0),AC=(—2,2,0),11DB=(1,1,0),DB=(2,2,0),/.AC=2(I)证明：AC=(—1,1,0),AC=(—2,2,0),11DB=(1,1,0),DB=(2,2,0),/.AC=2AC,DB=2DB.111111AC与AC平行，DB与DB平行，1111于是AC与AC共面，BD与BD共面.1111(II)证明:DDjAC=(0,0,2)•(-2,2,0)=0,DB•AC=(2,2,0)•(—2,2,0)=0,・.DR1AC,DB1AC.DD与DB是平时BDD,内的两条相交直线，AC1平面BBDD.又平面1111AACCaAC,平面AACC1