刹车距离与二次函数下学期

教学内容：刹车距离与二次函数Ⅰ．背景材料维纳的故事维纳（1894～1964年）是最早为美洲数学赢得国际荣誉的大数学家，关于他的轶事多极了．维纳早期在英国，后来赴美国麻省理工学院任职，长达25年．他是校园中大名鼎鼎的人物，人人都想与他套点近乎．有一次一个学生问维纳怎样求解一个具体问题，维纳思考片刻就写出了答案．实际上这位学生并不想知道答案，可是问他“方法”．学生说：“可是，就没有别的方法了吗？”思考片刻，他微笑着随即写出了另一种解法．维纳最有名的故事是有关搬家的事．一次维纳乔迁，妻子熟悉维纳的方方面面，搬家前一天晚上再三提醒他．她还找了一张便条，上面写着新居的地址，并用新居的房门钥匙换下旧房的钥匙．第二天维纳带着纸条和钥匙上班去了．白天恰有一人问他一个数学问题，维纳把答案写在那张纸条的背面递给人家．晚上维纳习惯性地回到旧居．他很吃惊，家里没人，从窗子望进去，家具也不见了，掏出钥匙开门，发现根本对不上齿．于是使劲拍了几下门，随后在院子里踱步．突然发现街上跑来一小女孩，维纳对她讲：“小姑娘，我真不走运．我找不到家了，我的钥匙插不进去．”小女孩说道：“爸爸，没错，妈妈让我来找你．”有一次维纳的一个学生看见维纳正在邮局寄东西，很想自我介绍一番．在麻省理工学院真正能与维纳直接说上几句话、握握手，还是十分难得的．但这位学生不知道怎样接近他为好．这时，只见维纳来来回回踱着步，陷于深思之中．这位学生更担心了，生怕打断了先生的思维，而损失了某个深刻的数学思想．但最终还是鼓足勇气，靠近这个伟人：“早上好，维纳教授！”维纳猛地一抬头，拍了一下前额，说道：“对，维纳！”原来维纳正欲往邮签上写寄件人姓名，但忘记了自己的名字……悟与问：维纳教授在生活上是如此健忘，在数学上却取得了非凡的成绩，这是为什么？Ⅱ．课前准备一、课标要求1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．二、预习提示1．关键原理：掌握y=ax2＋c中，a与c对二次函数图象的影响；以及y=ax2，与y=ax2＋c的开口方向，对称轴和顶点坐标．2．预习方法提示：作出y=ax2，y=ax2＋c的图象，观察y=x2的异同，由图象研究其函数的特点，结合图象掌握性质．三、预习效果反馈1．一般形式的二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0），当时，为y=ax2＋c的形式；当 时，即为y=ax2的形式．2．二次函数y=ax2＋c图象的对称轴为，顶点坐标为，我们可以理解为y=ax2沿向平移了c个单位长度．3．二次函数y=2x2，与y=－2x2的图象形状相同，对称轴都是轴，顶点都是 ，只是 不同，它们的图象关于 对称．4．二次函数y=ax2中，a不仅可以决定开口方向，也决定 ．Ⅲ．课堂跟讲一、背记知识随堂笔记1．二次函数y=ax2的对称轴为 ，顶点为．当a＞0时，开口向；当x=时，有最小值；在对称轴的侧，则x0时，y随x的增大而；在对称轴的侧，即x0时，y随x的增大而．当a＜0时，开口向；当x=时，有最大值；在对称轴的左侧，即x0时，y随x的增大而；在对称轴的右侧，即x0时，y随x的增大而．2．二次函数y=ax2＋c的图象与y=ax2的图象形状相同，即开口大小方向一致，但在坐标系中的不同，也不同，二次函数y=ax2＋c的顶点为．如果c＞0，y=ax2＋c，可以由y=ax2沿y轴向平移个单位长度得到．如果c＜0，y=ax2＋c可以由y=ax2沿y轴向平移个单位得到．二、教材中“？”解答1．问题（P42）解答：首先汽车的速度v≥0，其次一般说来，每辆汽车都有其最高时速，因此v不能任意取值，一般应不小于0，不大于其最高时速．2．问题（P43）解答：（1）s=v2和s=v2的图象都位于s轴的右侧，函数值都随v的增大而增大，都经过原点．不同之处，s=v2的图象在s=v2的图象的内侧，说明s=v2的函数值的增长速度比较快．（2）36m．可以通过计算×602－×602=36（m）得到，也可以由观察图象得到．3．做一做（P44）解答：（1）表格中的数可以是：x=－3，－2，－1，0，1，2，3；y=18，8，2，0，2，8，18．（2）略．（3）二次函数y=2x2的图象是一条抛物线，它与二次函数y=x2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标都相同；不同之处是：y=2x2的图象在y=x2的图象的内侧，说明y=2x2函数值的增长速度较快．二次函数y=2x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）．4．议一议（P45）解答：（1）二次函数y=2x2＋1的图象与二次函数y=2x2的图象形状相同，开口方向，对称轴也都相同，但顶点坐标不同．y=2x2＋1也是轴对称图象，它的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，1）．图象略，只要将y=2x2的象沿y轴向上平移1个单位，就可得到y=2x2＋1的图象．（2）二次函数y=3x2－1的图象与二次函数y=3x2的图象形状相同，开口方向、对称轴也都相同，但顶点坐标不同．它也是轴对称图形，其开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，－1）．实际上，只要将y=3x2的图象向下平移1个单位，就可以得到y=3x2－1的图象．三、重点难点易错点讲解重点：二次函数y=ax2、y=ax2＋c的图象和性质，因为它们的图象和性质是研究二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质的基础．我们在学习时结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析．难点：由函数图象概括出y=ax2、y=ax2＋c的性质．函数图象都由（1）列表，（2）描点、连线三步完成．我们可根据函数图象来联想函数性质，由性质来分析函数图象的形状和位置．易错点：本节的易错点是忽略y=ax2＋bx＋c中的条件a≠0，或分析问题不全面等．只有真正理解二次函数的定义和性质才能避免类似错误．【例1】已知抛物线y=（m＋1）x开口向下，求m的值．错解：∵抛物线开口向下∴m＋1＜0．∴m＜－1．错解分析：考虑不够全面，只考虑m－1＜0，忽略抛物线是二次函数的图象，自变量x的次数为2，还应具备m2＋m=2．【例2】k为何值时，y=（k＋2）x是关于x的二次函数？错解：根据题意，得k2－2k－6=2．解得k=4，k=－2．∴当k=4或k=－2时，y=（k＋2）x是二次函数．错解分析：忽略了y=ax2中的隐含条件a≠0．四、经典例题精讲（一）教材变型题【例1】在同一坐标系中，作出函数①y=－3x2，②y=3x2，③y=x2，④y=－x2的图象，并根据图象回答问题：（1）当x=2时，y=x2比y=3x2大（或小）多少？（2）当x=－2时，y=－x2比y=－3x2大（或小）多少？解：图象略．（1）x=2时，据图象y=x2=2；x=2时，据图象y=3x2=12．y=x2比y=3x2的函数值小10．（2）x=－2时，据图象（也可由函数式计算）y=－x2=－2；x=－2时，据图象（也可计算）y=－3x2=－12．y=－x2比y=－3x2的函数值大10．（二）学科内综合题【例2】已知直线y=－2x＋3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为（－3，m）．（1）求a、m的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小；（4）求A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积．思维入门指导：待定系数法求表达式，及y=ax2的性质和三角形面积综合知识的应用．（2）∵a=1，∴抛物线的表达式为y=x2，其对称轴为y轴，顶点为（0，0）．（3）∵a=1＞0，对称轴为y轴，∴当x＜0时，y随x的增大而减小．∵A点为（－3，9），∴B点为（1，1）．如图2-3-1，作AE⊥x轴于点F，则AE=9，BF=1，EF=4．则S梯形AEFB=（AE＋BF）·EF=（9＋1）·4=20，S△AEO=·3·9=，S△BOF=·1·1=，S△ABO=S梯形AEFB－S△AEO－S△BOF=20－－=6．点拨：①两个函数的图象相交，用它们的表达式联立方程组可求出图象的交点坐标．②在坐标系中，非直角三角形的面积可以用分割，或用可求的图形面积的和差，求出面积．如本题，直线AB与y轴交点设为M，也可用S△ABO=S△AOM－S△BOM的方法．（三）应用题【例3】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．（1）在如图2-3-2所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m），求出将d表示为k的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．思维入门指导：建立坐标系，确定某些点的坐标为突破口．解：（1）∵抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点为原点，∴设抛物线表达式为y=ax2．由题意可知D点的坐标为（10，－4），则把x=10，y=－4代入y=ax2得－4=100a，∴a=－．∴抛物线的表达式为y=－x2．（2）当水位上升hm时，水面与抛物线一交点的纵坐标为h－4．把y=h－4代入y=－x2中，得x2=25（4－h），∴x=±5．∴桥下水面宽为d=10（m）．（3）当水面宽度为d=18m时，18=10．解得h=0．76（m），∴水深将达到的高度为2＋0．76=2．76（m）．∴当水深超过2．76m时，就会影响船只顺利航行．答：略．点拨：根据题意首先将实际问题转化为数学模型，即转化为二次函数关系，然后利用二次函数的知识来解决问题．【例4】吉林省某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物（如图2-3-3），大门的地面宽度为8米，两侧距离地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（）（精确到0．1米，水泥建筑物的厚度忽略不计）A．9．2米 B．9．1米 C．9米 D．5．1米思维入门指导：适当建立坐标系，确定表达式及点A、B坐标．点拨：适当建立坐标系，建立二次函数关系，将实际问题转化为数学问题．（四）创新题【例5】抛物线y=ax2经过点A（－2，1），不求a的大小，判断抛物线是否经过点M（2，1）和点N（1，－2）？思维入门指导：不解a，可从抛物线性质入手．解：∵A的坐标为（－2，1），∴抛物线y=ax2的开口向上，即图象都在x轴的上方．由抛物线关于y轴对称可知A点关于y轴对称点（2，1），即M点也在抛物线上，抛物线y=ax2经过点M．∵抛物线在x轴上方，∴不可能经过第四象限的点N（1，－2），∴抛物线y=ax2不经过点N．点拨：特殊点应用特殊解法．（五）中考题【例6】（2022，武汉，4分）若二次函数y=ax2＋c，当x取x1，x2（x1≠x2）时函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值为（）A．a＋c B．a－c C．－c D．c答案：D点拨：由二次函数y=ax2＋c关于y轴对称，可知x=x1、x2时函数值相等，∴x1、x2互为相反数，即x1＋x2=0．当x取0时，代入y=ax2＋c，得y=c．本题巧妙的应用了函数的对称性．【例7】（2022，甘肃，3分）已知h关于t的函数表达式为h=gt2（g为正常数，t为时间），则函数图象为图2-3-5中的（）答案：A点拨：h=gt2，g为正常数，t为时间，t＞0，g＞0，h为t的二次函数．Ⅳ．当堂练习（5分钟）1．直线y=x与抛物线y=x2－2的两个交点的坐标分别是（）A．（2，2），（1，1） B．（2，2），（－1，－1）C．（－2，－2），（1，1） D．（－2，－2），（－1，－1）2．若二次函数y=ax2（a≠0）的图象过点P（2，－8），则函数表达式为 ．3．抛物线y=－x2－1的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口方向是 ．若点（m，－2）在其图象上，则m的值是 ．【同步达纲练习】Ⅴ．课后巩固练习（12分100分钟）一、基础题（1～6题每空2分，7～11题每题3分，12题6分，共49分）1．抛物线y=－4x2－4的开口向，当x=时，y有最值，y=．2．当m=时，y=（m－1）x－3m是关于x的二次函数．3．抛物线y=－3x2上两点A（x，－27），B（2，y），则x=，y=．4．当m=时，抛物线y=（m＋1）x＋9开口向下，对称轴是．在对称轴左侧，y随x的增大而；在对称轴右侧，y随x的增大而．5．抛物线y=3x2与直线y=kx＋3的交点为（2，b），则k=，b=．6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为 ．7．在同一坐标系中，图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（）A．y=x2 B．y=－x2 C．y=－2x2 D．y=－x28．抛物线，y=4x2，y=－2x2的图象，开口最大的是（）A．y=x2 B．y=4x2 C．y=－2x2 D．无法确定9．对于抛物线y=x2和y=－x2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（）A．两条抛物线关于x轴对称 B．两条抛物线关于原点对称C．两条抛物线关于y轴对称 D．两条抛物线的交点为原点10．二次函数y=ax2与一次函数y=ax＋a在同一坐标系中的图象大致为（）11．已知函数y=ax2的图象与直线y=－x＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同，则a的值为（）A．4 B．2 C． D．12．求符合下列条件的抛物线y=ax2的表达式：（1）y=ax2经过（1，2）；（2）y=ax2与y=x2的开口大小相等，开口方向相反；（3）y=ax2与直线y=x＋3交于点（2，m）．二、学科内综合题（8分）13．如图2-3-7，直线ι经过A（3，0），B（0，3）两点，且与二次函数y=x2＋1的图象，在第一象限内相交于点C．求：（1）△AOC的面积；（2）二次函数图象顶点与点A、B组成的三角形的面积．三、学科间综合题（8分）14．自由落体运动是由于地球引力的作用造成的，在地球上，物体自由下落的时间t（s）和下落的距离h（m）的关系是h=4．9t2．求：（1）一高空下落的物体下落时间3s时下落的距离；（2）计算物体下落10m，所需的时间．（精确到0．1s）四、应用题（15题7分，16题4分，17题8分，共19分）15．已知一个正方形的周长为ιcm，面积为Scm2．（1）求S与ι之间的函数表达式；（2）画出函数图象；（3）S随ι的增大怎样变化？16．如图2-3-8，一座拱桥为抛物线，其函数表达式为y=－x2．当水位线在AB位置时，水面宽12m，这时水面离桥顶的高度h是（）A．3m B．2m C．4m D．9m17．有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20m．水位上升3m，就达到警戒线CD，这时，水面宽度为10m．（1）在如图2-3-9所示的坐标系中求抛物线的表达式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0．2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？五、创新题（16分）（一）动态题18．如图2-3-10，在矩形ABCD中，BC=4，AB=2．P是BC上一动点，动点Q在PC或其延长线上，BP=PQ，以PQ为一边的正方形PQRS，点P从B点开始沿射线BC方向运动．设BP=x，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分的面积为y．（1）分别求出0≤x≤2和2≤x≤4时，y与x之间的函数表达式；（2）在同一坐标系内画出（1）的函数图象．（二）开放题19．如图2-3-11，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6．（1）如图（a），在OA上选取一点G，将△COG沿CG翻折，使O点落在BC边上，记为E，求折痕CG所在直线的表达式．（2）如图（b），在OC上选取一点D，将△AOD沿AD翻折，使点O落在BC边上，记为E′．①求折痕AD所在直线的表达式；②再作E′F∥AB交AD于F点．若抛物线y=－x2＋h过点F，求此抛物线的表达式，并判断它与直线AD的交点的个数．（3）如图（c），一般地，在OC、OA上选取适当的点D′、G′，使纸片沿D′G′翻折后，点O落在BC边上，记为E″．请你猜想：折痕D′G′所在直线与②中的抛物线会有什么关系？用（1）中的情形验证你的猜想． 六、中考题（20分）20．（2022，南京，5分）已知二次函数y=ax2－2的图象经过点（1，－1），求这个二次函数的表达式，并判断该函数图象与x轴交点的个数．21．（2022，宁安，3分）函数y=x2－4的图象与y轴的交点坐标是（）A．（2，0） B．（－2，0） C．（0，4） D．（0，－4）22．（2022，海南，2分）今年又是海南水果的丰收年，某芒果园的果树上挂满了成熟的芒果，一阵微风吹过，一个熟透的芒果从树上掉了下来．下面图2-3-12的四个图中，能表示芒果下落过程中速度与时间变化关系的图象只可能是（）23．（2022，上海，10分）卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1：11000的比例图上，跨度AB=5cm，拱高OC=0．9cm，线段DE表示拱内桥长，DE∥AB，如图2-3-13甲．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度建立平面直角坐标系，如图2-3-13乙．（1）求出图乙中以这一部分抛物线为图象的函数表达式，并写出自变量的取值范围；（2）如果DE与AB的距离OM=0．45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长．（备用数据=1．4，计算结果精确到1m）加试题：竞赛趣味题（10分）1．（4分）在1和1000之间有个数不是100的倍数．2．（2022，“TRULY信利环”全国初中数学竞赛，6分）已知二次函数y=ax2＋bx＋c（其中a是正整数）的图象经过点A（－1，4）与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，则b＋c的最大值为 ．

参考答案

Ⅱ．三、1．b=0；b=0、c=02．Y轴；（0，c）；y轴（对称轴）；上3．y轴；（0，0）；开口方向；x轴4．开口大小Ⅲ．一、1．Y轴；（0，0）；上；0；y=0；左；＜；减小；右；＞；增大；下；0；y=0；＜；增大；＞；减小2．位置；顶点；（0，c）；上；下∴其交点坐标为（2，2）、（－1，－1）．点拨：求函数图象交点坐标，通常考虑并立方程组求其公共解．2．y=－2x2解：将P（2，－8）代入函数y=ax2，得－8=a·22，∴a=－2．∴函数表达式为y=－2x2．3．（0，－1）；y轴；向下；±3解：将（m，－2）代入表达式y=－x2－1，得－m2－1=－2，∴m2=9，m=±3．点拨：已知二次函数的函数值，求其自变量值时，由于其对称性，所以通常情况下都为两个值，不要丢漏．Ⅴ．一、1．下；0；大；－4点拨：对二次函数y=ax2＋c（a≠0）性质的考查．3．±3；－12解：将A（x，－27）代入表达式y=－3x2，得－3x2=－27，解得x=±3；将B（2，y）代入得y=－3·22=－12．点拨：A（x，－27）经过计算x有两个解，这也是和函数图象的对称性一致的，同学们不要丢解．点拨：由抛物线开口向下，可得m＋1＜0，又据二次函数定义m2＋m=2，求m的值，得表达式，从而得出其性质．6．y=－2x2解：由抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可知其表达式为y=ax2，将点（－1，－2）代入得y=－2x2．7．C解：因为关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，因此，若x=x时，y=－y，代入A、B、C、D中，与y=2x2相同的为C．另解：根据关于x轴对称的点的坐标特征，可用特例法即y=2x2，取一点（1，2）．其关于x轴对称点为（1，－2），代入A、B、C、D，只满足C的表达式．8．A解；二次函数y=ax2，越大，开口越小，越小，开口越大．点拨：a的正负决定抛物线的开口方向，的大小决定抛物线开口的大小．9．C点拨：y=x2与y=－x2关于x轴对称，关于原点对称（中心对称），且都经过原点（0，0），交点为原点，都是正确的．而两条抛物线本身关于y轴是对称的，但两抛物线并不关于y轴对称．10．C解：抛物线开口向上，则a＞0，直线y=ax＋a，应过一、二、三象限，可否定A、B；抛物线开口向下，则a＜0，直线y=ax＋a，应过第二、三、四象限，可否定D，因而选C．点拨：本题主要考查二次函数中a与图象开口方向的关系，同时考查了一次函数系数与其图象在坐标系中的位置关系．点拨：理解二次函数与y=－x＋4，y=x的图象的交点相同，即此点是直线y=－x＋4，y=x，y=ax2三个图象的公共点．12．解：（1）将点（1，2）代入y=ax2，得2=a·12，∴a=2．∴y=2x2．（2）根据二次函数的性质，可知y=－x2．（3）将点（2，m）代入y=x＋3，得m=·2＋3，∴m=4．将点（2，4）代入y=ax2，得4=a·22，∴a=1．∴y=x2．∵点C在第一象限，∴C点坐标为（1，2）．则S△AOC=·3·2=3．（2）y=x2＋1的顶点为（0，1），设为点D，则BD=2．则S△BDC=·BD·1=·2·1=1．三、14．解：（1）h=4．9×32=44．1（m）．（2）h=10，则10=4．9t2，t=1．4（s）．四、15．解：（1）根据题意，得S=ι2（ι＞0）．（2）列表，图象如答图2-3-1．ι2468S=ι2124（3）∵a=＞0，ι＞0，∴S随ι的增大而增大．点拨：在解决二次函数实际应用问题时，写函数表达式，画图象时，应注意自变量ι的取值范围．16．D解：根据图象可以知道，A、B两点的横坐标分别为－6，6，则代入y=－x2，解得其纵坐标为y=－·62=－9，则水面离桥顶的高度h是9m．点拨：找到本题中隐含条件，A、B两点的横坐标，而其纵坐标的绝对值就是离开桥顶的高度值．17．解：（1）设拱桥顶到警戒线的距离为d．∵抛物线顶点为（0，0），对称轴为y轴，∴设其表达式为y=ax2．由题意知C点坐标为（－5，－d），A的坐标为（－10，－d－3），且y=ax2过A点、C点．（2）∵洪水到来时，水位以每小时0．2m的速度上升，∴从警戒线开始再持续=5（小时）到拱顶．点拨：解决实际问题，适当建立坐标系，将实际数据转化为数学条件，二次函数与实际问题结合，是近几年的热点．五、（一）18．解：（1）根据题意可知，当0≤x≤2时，重叠部分面积y=x2；当2≤x≤4时，设PS交AD于点E，则重叠部分面积y=S矩形ABCD－S矩形ABPE=8－2x．（2）图象如答图2-3-2．点拨：此题为动态题，掌握动中含静的图形是解题关键．（二）19．解：（1）由折法知，四边形OCEG是正方形，∴OG=OC=6．∴G（6，0），C（0，6）．设直线CG的表达式为y=kx＋b，则0=6k＋b，6=0＋b，∴k=