高中数学第三章三角恒等变换33三角函数的积化和差与和差化积学案

学必求其心得，业必贵于专精3.3错误!预习课本P149～151,思虑并完成以下问题（1)如何利用两角差（和)的正、余弦公式导出积化和差与和差化积公式？(2）两组公式有何特点?错误!1．三角函数的积化和差cosαcosβ＝错误![cos（α＋β)＋cos(α－β）］，sinαsinβ＝－错误![cos（α＋β)－cos（α－β）],sinαcosβ＝错误!［sin（α＋β）＋sin(α－β）］，cosαsinβ＝错误!［sin（α＋β）－sin(α－β)]．［点睛]积化和差公式的结构特点(1）同名函数积化为余弦函数的和差；异名函数积化为正弦函数的和差．角的序次，“α＋β”在前，“α－β”在后．2．三角函数的和差化积sinx＋sinsinx－sincosx＋coscosx－cos

y＝2sinx＋y2cos错误!,y＝2cos错误!sin错误!，y＝2cos错误!cos错误!，y＝－2sin错误!sin错误!.[点睛]和差化积公式的特点同名函数的和或差才可化积．(2）余弦函数的和或差化为同名函数之积．1学必求其心得，业必贵于专精正弦函数的和或差化为异名函数之积．（4）等式左边为单角α和β，等式右边为错误!与错误!的形式．5)只有余弦函数的差化成积式后的符号为负，其他均为正．错误!1．以低等式错误的选项是（)A．sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sinAcosBB．sin(＋）－sin（－)＝2cossinBABABAC．cos（A＋B)＋cos(A－B）＝2cosAcosBD．cos(A＋B)－cos(A－B）＝2cosAcosB答案：D2．sin37。5°cos7.5°等于(）A。错误!B。错误!C.错误!D。错误!答案：C3．cos75°cos15°＝________。答案：错误!化简求值［典例]化简：4sin(60°－θ)·sinθ·sin（60°＋θ)．［解］原式＝2sinθ[2sin（60°－θ）·sin（60°＋θ)]＝－2sinθ[cos120°－cos（－2θ)]＝－2sinθ·错误!sinθ＋2sinθ·cos2θsinθ＋（sin3θ－sinθ）＝sin3θ。用和差化积公式化简三角函数式时，若三角函数式中存在三个或三个以上的三角函数可供化积时,应选择两角和或差的一半是特别角或与其他三角函数有公因式的两个三角函数进行和差化积．［活学活用]2学必求其心得，业必贵于专精求sin270°＋cos240°－sin70°cos40°的值．解：原式＝错误!＋错误!－sin70°cos40°＝1＋错误!（cos40°＋cos80°）－sin70°cos40°＝1＋cos60°cos20°－错误!（sin110°＋sin30°）＝1＋错误!cos20°－错误!cos20°－错误!＝错误!.三角恒等式证明[典例］在△ABC中，求证:sin2A＋sin2B＋sin2C＝4sinAsinBsinC.[证明]左边＝sin2A＋sin2B＋sin2C＝2sin错误!cos错误!＋sin2C2sin（A＋B)cos(A－B)－2sin（A＋B）cos(A＋B)2sinC［cos(A－B)－cos(A＋B）］2sinC·(－2）sin错误!sin错误!4sinAsinBsinC＝右边．所以原等式成立．三角恒等式的证明(1)证明三角恒等式从某种意义上来说，可以看作已知结果的三角函数式的化简与求值．(2）证明三角恒等式整体要求是:经过三角公式进行恒等变形，论证等式左右两边相等，论证过程要清楚、完满、推理严实．（3）证明三角恒等式的基本思想是：化繁为简、左右归一、改正论证等．［活学活用］求证:cos2x＋cos2（x＋α)－2cosαcosxcos(x＋α）＝sin2α。证明:左边＝错误!＋错误!－2cosαcosx·cos（x＋α）1＋错误!［cos2x＋cos（2x＋2α）］－2cosαcosxcos(x＋α)1＋cos错误!cos错误!－cosα［cos(2x＋α）＋cosα]1＋cos(2x＋α)cosα－cosαcos（2x＋α)－cos2α1－cos2α＝sin2α＝右边，∴原等式成立．层级一学业水平达标1．cos15°sin105°＝（)3学必求其心得，业必贵于专精A。错误!＋错误!B.错误!－错误!C。错误!＋1D。错误!－1剖析：选Acos15°sin105°＝错误!［sin（15°＋105°)－sin(15°－105°）］＝错误!［sin120°－sin（－90°)]＝错误!×错误!＋错误!×1＝错误!＋错误!。2．化简错误!的结果为（)A．tanαB．tan2αC.错误!D。错误!剖析：选B原式＝错误!＝tan2α。3．函数f(x)＝2sin错误!sin错误!的最大值等于（)A．2sin2错误!B．－2sin2错误!C．2cos2错误!D．－2cos2错误!剖析：选Af(x）＝2sin错误!sin错误!＝－[cosα－cos(x－α)]cos(x－α)－cosα.当cos（x－α)＝1时，f（x）获取最大值1－cosα＝2sin2错误!.4．将cos2x－sin2y化为积的形式，结果是(）A．－sin（x＋y）sin（x－y）B．cos（x＋y）cos（x－y)C．sin(x＋y)cos(x－y)D．－cos（x＋y)sin(x－y）剖析:选Bcos2x－sin2y＝错误!－错误!＝错误!（cos2x＋cos2y)cos（x＋y)cos(x－y)．5．已知cos2－cos2＝，那么sin(α＋β)·sin(α－β）等于（)αβmA．－mB．mC．－错误!D.错误!剖析：选A∵cos2－cos2β＝，αmsin（α＋β)·sin（α－β）＝－错误!（cos2α－cos2β）＝－错误!(2cos2α－1－2cos2β＋1）＝cos2β－cos2α＝－m。6．cos2α－cos3α化为积的形式为________．4学必求其心得，业必贵于专精剖析：cos2α－cos3α＝－2sin错误!sin错误!＝－2sin错误!sin错误!＝2sin错误!sin错误!.答案：2sin错误!sin错误!7．sin错误!·cos错误!化为和差的结果是________．剖析：原式＝错误!错误!1cos(α＋β)＋错误!sin(α－β）．2答案：错误!cos（α＋β)＋错误!sin(α－β）8.错误!＝________.剖析：原式＝错误!＝错误!＝错误!。答案:错误!9．求以下各式的值：1)sin54°－sin18°；(2）cos146°＋cos94°＋2cos47°cos73°.解：（1)sin54°－sin18°＝2cos36°sin18°2·错误!＝错误!错误!＝错误!＝错误!.(2)cos146°＋cos94°＋2cos47°cos73°2cos120°cos26°＋2×错误!(cos120°＋cos26°）2×错误!×cos26°＋错误!＋cos26°＝－cos26°＋错误!＋cos26°＝－错误!.10．求证：错误!＝2cosα。证明:因为左边＝错误!＝错误!＝错误!＝2cosα＝右边，所以原等式成立．层级二应试能力达标1．sin20°cos70°＋sin10°sin50°的值是（）A。错误!B。错误!C。错误!D。错误!剖析:选A原式＝错误!［sin90°＋sin(－50°）]－错误![cos60°－cos（－40°）］＝错误!－错误!sin50°－错误!＋错误!cos40°＝错误!。5学必求其心得，业必贵于专精2．函数y＝cos2错误!＋sin2错误!－1是(）A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数剖析:选C∵y＝错误!＋错误!－1＝错误!错误!＝－sin2xsin错误!＝错误!sin2x,∴此函数是最小正周期为π的奇函数．1223．已知cos(α＋β）cos（α－β)＝3，则cosα－sinβ的值为(）2B．－错误!A．－3C。错误!D.错误!剖析：选Dcos（α＋β)cos(α－β)＝错误!(cos2α＋cos2β)＝错误!［(2cos2α1)＋（1－2sin2β）]＝cos2α－sin2β＝错误!。2π224．若A＋B＝3,则cosA＋cosB的取值范围是（）A.错误!B。错误!C。错误!D．[0,1]剖析：选C∵A＋B＝错误!,∴B＝错误!－A，cos2A＋cos2B＝错误!＋错误!＝1＋错误!（cos2A＋cos2B)＝1＋cos错误!cos(A－B）＝－错误!cos错误!＋1,∵－1≤cos错误!≤1，∴错误!≤－错误!cos错误!＋1≤错误!。5．函数y＝sin错误!sin错误!的最小正周期T＝________.剖析：f（x)＝sin错误!cosx＝错误!错误!＝错误!sin错误!＋错误!，∴T＝错误!＝π。6学必求其心得，业必贵于专精答案:π6．cos40°＋cos60°＋cos80°＋cos160°＝________.1剖析：cos60°＋cos80°＋cos40°＋cos160°＝2＋cos80°＋2cos100°cos60°＝错误!＋cos80°－cos80°＝错误!.答案：错误!7．已知f（x)＝cos2（x＋θ）－2cosθcosxcos(x＋θ)＋cos2θ，求f（x）的最大值、最小值和最小正周期．22θ解：∵f(x）＝cos（x＋θ)－2×错误![cos(x＋θ)＋cos（x－θ)]cos（x＋θ）＋coscos2(x＋θ）－cos2（x＋θ）－cos（x－θ）·cos（x＋θ）＋cos2θcos2θ－错误!(cos2θ＋cos2x)错误!－错误!cos2θ－错误!cos2x＝－错误!cos2x＋错误!，∴f(x)的最大值为1，最小值为0,最小正周期为π。8．已知△ABC的三个内角A,B，C满足：（1）A＋C＝2B；(2）错误!＋错误!＝－错误!。求cos错误!的值．解：∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°,∴B＝60°，A＋C＝120°.2∵－cos60°＝－2错误!，∴错误!＋错误!＝－2错误!，cosA＋cosC＝－22cosAcosC。由和差化积与积化和差公式，得2cos错误!cos错误!＝－错误!［cos(A＋C）＋cos（A－C）］，∴cos错误!＝－错误!错误!。化简，得4错误!cos2错误!＋2cos错误!－3错误!＝0,∴错误!错误!＝0.2错误!cos错误!＋3≠0，2cos错误!－错误!＝0，cos错误!＝错误!.7学必求其心得，业必贵于专精（时间120分钟满分150分）一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的)1．函数y＝2cos2错误!＋1的最小正周期是()A．4πB．2ππC．πD.2剖析：选B∵y＝2cos2错误!＋1＝错误!＋2cosx＋2,∴函数的最小正周期T＝2π。2．若tanα＝3，则错误!的值等于（）A．2B．3C．4D．6剖析：选D错误!＝错误!＝2tanα＝2×3＝6。3．已知α是第二象限角，且cosα＝－错误!，则cos错误!的值是()A.错误!B．－错误!C.错误!D．－错误!剖析：选A由题意，sinα＝错误!，所以cos错误!＝cos错误!cosα＋sin错误!sinα＝错误!.4．函数f(x)＝sinx－cos错误!的值域为（）A．［－2,2]B.错误!C．［－1,1]D.错误!剖析：选Bf（x）＝sinx－错误!sinx－错误!cosx＋错误!sinx错误!错误!错误!sin错误!，x∈R，∴x－错误!∈R，∴f（x)∈错误!.5．设a＝错误!（sin17°＋cos17°），b＝2cos213°－1，c＝sin37°·sin67°＋sin53°sin23°，则()8学必求其心得，业必贵于专精A．c<a<bB．b<c〈aC．a<b〈cD．b〈a<c剖析：选Aa＝cos45°sin17°＋sin45°cos17°sin(17°＋45°)＝sin62°,b＝cos26°＝sin64°，c＝sin37°cos23°＋cos37°sin23°＝sin(37°＋23°）＝sin60°，故c〈a<b.6．已知cosθ＝错误!，θ∈(0,π），则cos错误!等于(）A．－错误!B．－错误!C.错误!D.错误!剖析：选C∵cosθ＝错误!〉0，θ∈（0，π)，sinθ＝错误!＝错误!，cos错误!＝cos错误!＝－cos错误!＝sin2θ＝2sinθ·cosθ＝2×错误!×错误!＝错误!，选C。7．化简：错误!的值为（）A.错误!B。错误!C。2D．2剖析：选B依题意得错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。8．已知sin（α－β）cosα－cos(α－β）sinα＝错误!,且β是第三象限角，则cos错误!的值等于(）A．±错误!B．±错误!C．－错误!D．－错误!剖析:选A由已知，得sin[（α－β）－α］＝sin(－β）＝错误!,故sinβ＝－错误!.∵β在第三象限，∴cosβ＝－错误!.∴cos错误!＝±错误!＝±错误!＝±错误!.9．化简：错误!的值为()9学必求其心得，业必贵于专精A．－2B．2C．－1D．1剖析：选D错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝1。10．在△ABC中，已知tan错误!＝sinC，则△ABC的形状为()A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形剖析:选C在△ABC中，tan错误!＝sinC＝sin(A＋B）＝2sin错误!cos错误!，∴2cos2A＋B＝1,∴cos（A＋B）＝0，从而A＋B＝错误!，即△ABC为直角三角形．11．已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0(a>1）的两根为tanα，tanβ，且α，β∈错误!，则tan错误!的值为(）A．－2B。错误!C.错误!D。错误!或－2剖析：选A依照题意得tanα＋tanβ＝－4a，tanα·tanβ＝3a＋1，∴tan（α＋β)＝错误!＝错误!＝错误!.又∵〉1，∴tanα＋tanβ〈0,tanαtanβ〉0，atanα<0，tanβ<0.又∵α,β∈错误!，∴α，β∈错误!，∴－错误!〈错误!〈0，∴tan错误!〈0,由tan（α＋β)＝错误!得2tan2错误!＋3tan错误!－2＝0，∴tan错误!＝－2错误!。12．已知0〈β<α〈错误!，点P（1,4错误!）为角α的终边上一点，且sinαsin错误!＋cosαcos错误!＝错误!，则角β＝（)A.错误!B.错误!C.错误!D。错误!剖析：选D∵P(1,4错误!)，∴｜OP｜＝7，sinα＝错误!,cosα＝错误!。又sinαcosβ－cosαsinβ＝错误!，∴sin(α－β)＝错误!。10学必求其心得，业必贵于专精π∵0<β<α<2，∴0〈α－β〈错误!，∴cos（α－β）＝错误!,∴sinβ＝sin[α－（α－β)］sinαcos(α－β）－cosαsin(α－β)错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!。∵0<β〈错误!，∴β＝错误!.二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上）13．设向量a＝错误!，b＝错误!，其中θ∈错误!，若a∥b，则θ＝________.剖析：若a∥b，则sinθcosθ＝错误!，即2sinθcosθ＝1，∴sin2θ＝1，又θ∈错误!,∴θ＝错误!.答案：错误!14．若tan错误!＝3＋2错误!，则错误!＝________。剖析：由tan错误!＝错误!＝3＋2错误!，得tanα＝错误!,∴错误!＝错误!＝tanα＝错误!.答案：错误!15。错误!＝________.剖析：原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝－4错误!.答案：－4316．式子“cos(）（1＋错误!tan10°)＝1"，在括号里填上一个锐角，使得此式成立，则所填锐角为________．剖析：设cosα·（1＋错误!tan10°）＝1,则cosα＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝cos40°.又α为锐角，故α＝40°。答案：40°三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本小题满分10分)已知错误!＜α＜错误!，且cos错误!＝错误!，求cosα，sin的值．11学必求其心得，业必贵于专精解：因为错误!＜α＜错误!,所以0＜α－错误!＜错误!。因为cos错误!＝错误!，所以sin错误!＝错误!＝错误!.所以sinα＝sin错误!sin错误!cos错误!＋cos错误!sin错误!错误!,cosα＝cos错误!cos错误!cos错误!－sin错误!sin错误!＝错误!.18．（本小题满分12分)已知0<α<错误!,sinα＝错误!。（1）求错误!的值；(2）求tan错误!的值．解：(1）由0〈α〈错误!,sinα＝错误!，得cosα＝错误!,∴错误!＝错误!＝错误!＝20.2）∵tanα＝错误!＝错误!，∴tan错误!＝错误!＝错误!＝错误!.19．（本小题满分12分)设向量a＝（错误!sinx，sinx），b＝(cosx，sinx），x∈错误!.(1）若|a|＝｜b｜，求x的值；(2）设函数f（x）＝a·b，求f（x)的最大值．解：（1)由｜a|2＝（3sinx)2＋(sinx）2＝4sin2x,｜b|2＝（cosx）2＋（sinx）2＝1，及｜a｜＝｜b|，得4sin2x＝1.又x∈错误!，从而sinx＝错误!，所以x＝错误!.2）f(x）＝a·b＝错误!sinx·cosx＋sin2x＝错误!sin2x－错误!cos2x＋错误!＝sin错误!＋错误!，当x＝错误!∈错误!时，sin错误!取f(x)的最大值为1，3所以f（x)的最大值为。220．(本小题满分12分)已知cos错误!＝错误!,x∈错误!，错误!.12学必求其心得，业必贵于专精（1)求sinx的值；(2）求sin错误!的值．解：（1）因为x∈错误!，所以x－错误!∈错误!。于是sin错误!＝错误!＝错误!，sinx＝sin错误!sin错误!cos错误!＋cos错误!sin错误!错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.（2)因为x∈错误!，故cosx＝－错误!＝－错误!＝－错误!。sin2x＝2sinxcosx＝－错误!，cos2x＝2cos2x－1＝