高中数学第三章不等式19基本不等式与最大(小)值课时作业北师大版-9749

学必求其心得，业必贵于专精课时作业19基本不等式与最大(小)值｜基础牢固|(25分钟，60分)一、选择题(每题5分,共25分）1．（教材同类改编）若函数f(x）＝x＋错误!(x〉2）在x＝a处取最小值，则a等于（）A．1＋错误!B．1＋错误!C．3D．4剖析:f（x)＝x＋错误!＝x－2＋错误!＋2.由于x〉2，所以x－2>0。所以f(x）＝x－2＋错误!＋2≥2错误!＋2＝4，1当且仅当x－2＝，即x＝3时“＝”成立．又f（x）在x＝a处取最小值．所以a＝3.应选C.答案:C2．（广东深圳三校联考一模)已知f（x）＝x2＋33(x∈N＊)，则f（x)在定义域上的最小x值为（)A.错误!B.错误!C。错误!D．2错误!剖析：f（x)＝错误!＝x＋错误!，x∈N*>0,x＋错误!≥2错误!＝2错误!，当且仅当x＝错误!时取等号．但x∈N＊，故x＝5或x6时，f(x)取最小值，当x＝5时，f（x）＝错误!，当x＝6时,f(x)＝错误!，故f（x）在定义域上的最小值为错误!.应选B.答案：B3．当x〉1时,不等式x＋错误!≥a恒成立,则实数a的取值范围是()A．(－∞,2］B．[2，＋∞)C．［3,＋∞）D．（－∞，3]1学必求其心得，业必贵于专精剖析：由于x>1，所以x－1〉0，错误!>0，于是x＋错误!＝x－1＋错误!＋1≥2＋1＝3，当错误!＝x－1即x＝2时等号成立，即x＋错误!的最小值为3,要使不等式恒成立，应有≤3，应选D。a答案:D4．（广东联考)已知x>0，y〉0，lg2x＋lg8y＝lg2,则错误!＋错误!的最小值是()A．2B．2错误!C．4D．2错误!xyxy剖析：∵lg2＋lg8＝lg2，∴lg(2·8)＝lg2，x＋3y＝2，∴x＋3y＝1.∴2x〉0，y>0，∴错误!＋错误!＝(x＋3y)错误!＝2＋错误!＋错误!≥2＋2错误!＝4，当且仅当x＝3y＝错误!时取等号．所以错误!＋错误!的最小值为4。应选C。答案:C5．(河南平顶山一模）若对于任意的x>0，不等式错误!≤a恒成立，则实数a的取值范围是(）A．a≥错误!B．a〉错误!1C．a〈5D．a≤错误!剖析:由x〉0，得错误!＝错误!≤错误!＝错误!，当且仅当x＝1时，等号成立．则a≥错误!，应选A.答案：A二、填空题（每题5分，共15分)6．(山东卷）若直线x＋错误!＝1(a>0，>0)过点(1，2),则2＋b的最小值为________．aba剖析:由题设可得错误!＋错误!＝1,∵a>0，b>0，∴2a＋b＝（2a＋b）错误!＝2＋错误!＋错误!＋24＋2错误!＝8错误!。故2a＋b的最小值为8.答案:87．(安徽淮北二模）已知正数x，y满足x＋2y－2xy＝0，那么2x＋y的最小值是________．剖析：由于正数x，y满足x＋2y－2xy＝0，则有错误!＋错误!＝1，则2x＋y＝（2x＋y)错误!＝错误!＋错误!＋错误!≥错误!＋2错误!＝错误!，当且仅当2学必求其心得，业必贵于专精x＝y时取等号．故2x＋y的最小值是错误!.答案：错误!8．(湖北新联考四模）已知函数f(x)＝错误!若f(a)＝f(b)(0〈a〈b），则错误!＋错误!获取最小值时，f（a＋b）＝________.剖析：由f(a）＝f（b）及0〈a〈b可得lgb＝－lga，即lg（ab）＝0，即ab＝1，则错误!＋错误!＝错误!＝4a＋b≥2错误!＝4,当且仅当b＝4a时，错误!＋错误!获取最小值,由错误!可得a＝错误!，b＝2,f（a＋b)＝f错误!＝lg错误!＝1－2lg2。答案：1－2lg2三、解答题（每题10分，共20分）9．（1）已知x〈3,求f（x)＝错误!＋x的最大值；（2)已知x,y为正实数，且x＋y＝4，求错误!＋错误!的最小值．剖析：（1）由于x〈3，所以x－3<0,所以f(x）＝错误!＋x＝错误!＋（x－3)＋3＝－错误!＋3≤－2错误!＋3＝－1，当且仅当错误!＝3－x，即x＝1时取等号，所以f（x)的最大值为－1.（2）由于x,y为正实数，所以(x＋y）错误!＝4＋错误!≥4＋2错误!.当且仅当错误!＝错误!，即x＝2(错误!－1），y＝2（3－错误!)时取“＝”号．1又x＋y＝4，所以x＋错误!≥1＋错误!.故错误!＋错误!的最小值为1＋错误!。10．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种花销12万元．从第二年起,包括维修费在内，每年所需花销比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入为50万元．（1)问捕捞几年后总盈利最大？最大是多少？（2）问捕捞几年后的平均利润最大？最大是多少？剖析：(1）设捕捞n年后的总盈利为y万元,则3学必求其心得，业必贵于专精y＝50n－98－错误!＝－22＋40－98nn＝－2(n－10）2＋102,所以捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．（2)年平均利润为错误!＝－2错误!≤－2错误!＝12，当且仅当n＝错误!,即n＝7时上式取等号．所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元．|能力提升|（20分钟,40分）11．(河南许昌二模）已知x，y均为正实数，且错误!＋错误!＝错误!，则x＋y的最小值为()A．24B．32C．20D．28剖析:∵x，y均为正实数，且错误!＋错误!＝错误!，则x＋y＝（x＋2＋y＋2)－4＝6错误!（x＋2＋y＋2）－4＝6错误!－4≥6×错误!－4＝20，当且仅当x＝y＝10时取等号．∴x＋y的最小值为20.答案：Ca4＋4b4＋112．(天津卷）若,∈R,ab〉0，则的最小值为________．abab剖析：本题观察基本不等式的应用．∵a4＋4b4≥2a2·2b2＝4a2b2（当且仅当a2＝2b2时“＝”成立），a4＋4b4＋14a2b2＋11∴ab≥ab＝4ab＋ab，1由于ab〉0，∴4ab＋ab≥2错误!＝4错误!，故当且仅当错误!时，错误!获取最小值，最小值为4。答案：413．已知x〉0,y>0，且3＋4y＝12,求lg＋lgy的最大值及相应的x，y的值．xx2剖析：由x〉0，y>0,且3x＋4y＝12，得xy＝错误!·（3x）·（4y)≤错误!错误!＝3。立．故当x＝2,y＝错误!时，lgx＋lgy的最大值是lg3.4学必求其心得，业必贵于专精14．桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式,某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1800平方米的矩形地块,中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘周围形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，以下列图，池塘所占面积为S平方米,其中a∶b＝1∶2。试用x,y表示S；(2）若要使S最大,则x,y的值各为多少？剖析:(1）由题可得，xy＝1800，b＝2a，则y＝a＋b＋6＝3a＋6，S＝(x－4)a＋(x－6）b＝(3x－16)a＝(3x－16)错误!＝1832－6x－错误!y（x>6,y〉6，xy＝1800）．16(2)法一S＝1832－6x－3y≤1832－2错误!＝1832－480＝1352，当且仅当6x＝错误!y,xy＝1800，即x＝40，y＝45时，S获取最大值1352.法二S＝1832－6x－错误!×错误!＝1832－错误!≤1832