两个随机变量函数分布

第五节

两个随量的函数的分布量函数的分布量函数的分布一、问题的引入二、离散型随三、连续型随四、小结一、问题的引入有一大群人,

令

X

和

Y

分别表示一个人的和体重,

Z

表示该人的血压,

并且已知

Z

与X

,Y

的函数关系Z

g(X

,Y

),如何通过X

,Y

的分布确定Z

的分布.为了解决类似的问题下面随

量函数的分布.二、离散型随量函数的分布量的联合分布律为若二维离散型随P{

X

xi

,Y

y

j

}

pij

,

i,

j

1,2,则随

量函数

YX)的,g(

Z分布律为P{Z

zk

}

P{g(

X

,Y

)

zk

}

pijzk

g(

xi

y

j

)k

1,2,.量函数的分布三、连续型随(一)Z

X

Y

的分布设(X

,Y

)是二维连续型随量

它具有概率密度f

(

x,

y).

则Z

X

Y仍为连续型随

量，其概率密度为f

X

Y

(z)

f

(z

y,

y)d

y,(5.1)或f

(

x,

z

x)d

x

.X

Yf

(z)

(5.2)又若X和Y相互独立设

关于密度分别为f

X

(x),fY

(y),则(5.1),(5.2)分别化为和f

X

Y

(z)

f

X

(z

y)

fY

(

y)d

y,f

X

Y

(z)

f

X

(

x)

fY

(z

x)d

x

.(5.3)(5.4)

fY

,即YXf

f这两个公式称为f

X

和

fY

的卷积公式,

记为f

XX

Yf

(z

y)

f

(

y)d

y

f

X

(

x)

fY

(z

x)d

x

.FZ

(z)

P{Z

z}

f

(

x,

y)d

x

d

y,x

y

zxOyx

y

z这里积分区域G

:x

y

z是直线x

y

z及其左下方的半平面.将二重积分化成累次积分,得f

(

x,

y)d

x

d

y.

z

yFZ

(z)

证

先来求Z

X

Y的分布函数FZ

(z),

即有f

(x,y)d

x作变量变换z

y固定z和y对积分令x

u

y,

得z

yf

(u

y,

y)d

uf

(

x,

y)d

x

z于是f

(u

y,

y)d

u

d

y

z

F

(z)Zf

(u

y,

y)d

y

d

u.z

由概率密度的定义即得(5.1)式.

类似可证得(5.2)式.例1

设X和Y是两个相互独立的随机变量.他们都服从(0,1)分布,其概率密度为e

x22

,2π1f

X

(

x)

e

y22

,2π1fY

(

y)

y

,

x

,求Z

X

Y的概率密度.解由((f(x)f)z(fdx)x,YXZ

d

x

x22π122(

z

x

)2e

ed

x,e2π1z24

2

e

x

z

22令t

x

z

,得d

t

z

22e-t2πf

Z

(z)

1

e4241

e

z2e

z24

.2

π1即Z服从N

(0,2)分布.说明量的线性组合有限个相互独立的正态随仍然服从正态分布.1

1一般,设X

,Y相互独立且X

~

N

(μ

,σ2

),Y

~N

(μ

,σ2

).由(5.4)式经过计算知Z

X

Y

仍然服2

2从正态分布,且有Z

~

N

(

μ

μ

,σ2

σ2

).1

2

1

2解由(,R

的概率密度为f

R

(z)

f

(

x)

f

(z

x)d

x.例2

在一简单电路中,两电阻

R1

和

R2

串联连接，设R1

,R2

相互独立,它们的概率密度均为f

(

x)50

0,

其他.求电阻R

R1

R2

的概率密度.10

x

, 0

x

10,仅当0

x

10,

0

x

10,

0

z

x

10,

z

10

x

z,即z时上述积分的被积函数不等于零.参考下图,即得xOx

zx

z

10x

1010

20f

(z)R0

z

10,10

z

20,f

(

x)

f

(z

x)d

x,z0f

(

x)

f

(z

x)d

x,10z10其他.0,将f

(x)的表达式代入上式得fR

(z)其他.0,

150000

z

10,(600z

60z2

z3

),1

1500010

z

20,(20

z)3

,1例3

设随

量

,

YX相互独立,

且分别服从参数为α,

;

,

的

分布(分布分别记成

X

~

(α,

),Y

~

(

,

)),X

,Y的概率密度分别为f

(

x)Xα

0,

0,x

0,xα1e

x

,1其他.0,

(α)fY

(

y)

0,

0.试证明Z

X

Y

服从参数为α

,

的

分布,即X

Y ~

(

,

).证

(5.4)式由

Y的XZ概率密度为f

Z

(z)

f

X

(

x)

fY

(z

x)d

x仅当y

0,y

1e

y

,10,

其他.

(

)

z

x

0,

x

0,亦即

x

z,

x

0,时上述积分的被积函数不等于零,于是(参见下图)知当z

0时fZ

(z)

0,而当z

0时有zxOfZ

(z)(z

x)

1

e(

z

x

)

d

xz1

(

)10xα

1e

x

(α)

d

x

(令x

zt

)x

(z

x)ze

z

10

1

(

)(

)t

(1

t

) d

tz

1e

z

110

1

(

)(

)记成

Az

1e

z

,其中

A

10

(

)(

)1t

1

(1

t

)

1

d

t现在来计算A.由概率密度的性质得到:(5.5)Az

1ez

d

z01Zf

(z)d

zAd(z

)(z

)

e0z

1

A

(

),.1

(

)A

即有于是

f

(z)ZX

Y

~

(

,

).即z

0,z

1e

z

,1

(

)其他.0,(5.6)上述结论还能推广到n

个相互独立的分布变量之和的情况.即若

X1

,

X

2

,,

Xn

相互独立,且n服从参数为αi

,β

的

分布.这一性质称为分布i

1的可加性.nXi

服从参数为αi

,β(i

1,2,,n)的

分布,则

Xii1密度

f

(

x,

y).

则ZXY

,Z

XY仍为连续型随量,其概率密度分别为fY

X

(z)

x

f

(

x,

xz)d

x,xzXY

xf

()z

1

fx

(,).dxX设

YX),是(

二维连续型随

量

它具有概率(二)Z

Y

的分布、Z

XY

的分布如果X和Y相互独立.设(X

,Y

)关于密度分别为f

X

(

x),

fY

(

y),

则fY

X

(z)

x

f

X

(

x)

fY

(

xz)d

x.x

x1

f

(

x)

f

(

z

)d

x.X

Yf

XY

(z)

证XZ

Y

的分布函数为F(z)Y

X(5.7)(5.8)

f

(

x,

y)d

x

d

yG1

G2y

x

z

,

x0

f

(

x,

y)dydx

y

x

z

,

x0

f

(

x,

y)dydxP{Y X

z}FY

X

(z)f

(

x,

y)d

y

d

x

zx0

f

(

x,

y)d

y

d

x

zx0

xyOxy

zG1G2xO2GG1

yy

zxz

0xf

(

x,

xu)d

ud

x

0

zxf

(

x,

xu)d

ud

x

z0

(

x)

f

(

x,

xu)d

ud

x0

z令y

xu

xf

(

x,

xu)d

ud

x

z0

x

f

(

x,

xu)d

ud

x

z

x

f

(

x,

xu)d

x

d

uz

x

f

(

x)

f

(

xz)d

x.YXY

Xf

(z)

x

x1

f

(

x)

f

(

z

)d

x.X

Yf

XY

(z)

所以类似可得例4

某公司提供一种度为f

(

y)保险,保险费Y

25y

e

y

5

,

y

0,0,

其他,保险赔付X的概率密度为g(

x)

5

1

e

x

5

,

x

0,0,

其他,设

X

,Y

相互独立,

求

Z

Y X

的概率密度.解由(5.7)式知,当z

0时fZ

(z)

0.当z

0时

Z的概率密度为Zf

(z)

5

251

xz

xz

5

x

5

e

dxx

e0zx

e502dx

x

1

z

125z

(3)125

[(1

z)

5]3.(1

z)32z分布函数分别为FX

(x)和FY

(y).设

X

,Y

是两个相互独立的随机变量,

它们的M

max{

X

,Y

}及N

min{

X

,Y

}的分布函数.由于M

max{X

,Y

}不大于z等价于X和Y都不大于z,故有现求P{M

z}P{

X

z,Y

z}(三)M

max{X

,Y

}及N

min{X

,Y

}的分布又由于

X

,Y

相互独立,

得到M

m分布函数为Fmax

(z)P{M

z}P{

X

z,Y

z}即有P{

X

z}P{Y

z}.Fmax

(z)

FX

(z)FY

(z).类似地,

可得N

min{

X

,Y

}的分布函数为1

P{

N

z}Fmin

(z)

P{

N

z}1

P{

X

z,Y

z}1

P{

X

z}

P{Y

z}.Fmin

(z)

1

[1

FX

(z)][1

FY

(z)].即它们的分布函数分别为

FX

(

xi

)

(

i

1,

2,,

n),

则iM

max{X1

,X

2

,,Xn

}及N

min{X1

,X

2

,,Xn

}的分布函数分别为Fmax

(z)

FX

(z)

FX

(z)FX

(z),1

2

nFmin

(z)

1

[1

FX

(z)][1

FX

(z)][1

FX

(z)]1

2

n21,,,

n

是

nX个X相X

互独立的随

量,推广设当X1

,X2

,,Xn相互独立且具有相同的分布函数F

(x)时有F

(z)

[F

(z)]n

,maxF

(z)

1

[1

F

(z)]n

.min例5

设系统L由两个相互独立的子系统L1

,L2

连接而成,连接的方式分别为(i)串联,(ii)并联,(iii)备用(当系统L1

损坏时,系统L2

开始工作),如图所示.、YX,已知它们的概率密度、L设2L1的

分别为分别为XYL1

L2XY2LL1XY2LL1

αex

,

x

0,

0,

x

0,f

X

(

x)

0,

y

0,

βe

βy

,

y

0,f

(

y)Y其中α

0,

β

0

且

α

β.

试分别就以上三种连接方式写出

的

ZL的概率密度.解(i)串联由于当L12,

L

中有一个损坏时,

系统

L

就停止工作,

所以这时

L

的

为Z

min{

X

,Y

}.X

,Y的分布函数分布为

0,

x

0,

1

ex

,

x

0,FX

(

x)FY

(

y)1

βe

βy

,

y

0,0,

y

0,Z

min{X

,Y

}的分布函数为Fmin

(z)

0,

z

0.

1

e(α

β

)

z

,

z

0,Z

min{X

,Y

}的概率密度为fmin

(z)(α

β)e(α

β

)z

,

z

0,

0,

z

0.(ii)并联的情况由于当且仅当L1

,L2

都损坏时,系统L

才停止工作,

所以这时

L

的

为

Z

max{

X

,Y

}.Fmax

(z)FX

(z)

FY

(z)(1

eαz

)(1

e