概率论-ch8.6分布拟合检验

第六节

分布拟合检验一、

2拟合检验法二、偏度、峰度检验三、小结

2一、

拟合检验法

2检验法的定义这是在总体的分布未知的情况下,根据样本X1

,X2

,L

,Xn

来检验关于总体分布的假设H0

:总体X

的分布函数为F

(x),H1

:总体X

的分布函数不是F

(x),的

法.说明在这里备择假设H1可以不必写出.(2)若总体

X

为离散型则上述假设相当于:H0

:

总体

X

的分布律为P{X

ti

}

pi

,

i

1,2,L.若总体

X

为连续型:

则上述假设相当于H0

:总体X

的概率密度为f

(x).在使用

2检验法检验假设

H

时,

若

F

(

x)的0形式已知,但其参数值未知,需要先用最大似然估计法估计参数,然后作检验.但一般来说,若H0

为真,且试验次数又多时,这种差异不应很大.nf中,事件A

出现的频率i

i与

p

(或

pˆ )

往往有差异,iik将随机试验可能结果的全体

分为k

个互不相容的事件

A1,

A2

,

L

,

An

(

Ai

,

Ai

Aj

,

i

j,i

1i,

j

1,

2,

L

,

k

).

于是在假设

H0

下,

可以计算pi

P(

Ai

)

(或

pˆi

Pˆ

(

Ai

)),

i

1,2,

L

,

k.

在n次试验2.

2检验法的基本思想3.kikin

nnpfi

2pi

n

fii

12

2

i

1

p2或

定理设检验假设H0

的统计量为定理若

n

充分大(

50),

则当

H0

为真时(不论H0中的分布属什么分布),

上统计量总是近似地服从自由度为k

r

1的

2

分布,其中,r是被估计的参数的个数.于是,如果在假设H0

下,i

1npi(

fi

npi

)2

2(k

r

1),k

2

H0

,否则就接受H0

.则在显著性水平

下注意在使用

2检验法时,

n要足够大,

np

不i

太小.根据实践,

一般

n

50,

每一个npi

5.例1把一颗出现的点数出现的频数试检验这颗重复抛掷300

次,结果如下:1

2

3

4

5

640

70

48

60

52

30的六个面是否匀称?(取

0.05)解

根据题意需要检验假设H0:

这颗

的六个面是匀称的.60(或

H

:

P{

X

i}

1(i

1,2,L,6))一次所出现的点数(可能其中

X表示抛掷这值只有6

个),取i

{

i

}, (

i

1,2,

L

,6

)互不相容事件.(i

1,2,L,6)为则事件

Ai

X

i

{X

i}6(i

1,2,L,6)npi在

H0

为真的前提下,

pi

P(

Ai

)

1

,i

1k

2

(

fi

npi

)26300

16(40

300

1)26300

16(70

300

1)26300

16(48

300

1)2300

16

2

20.16,6(60

300

1)2300

16度为6

1

5,6(52

300

1)2,66300

1(30

300

1)220.052查

(5)表得

11.07,

2

20.16

11.07,所以

H0,认为这颗的六个面不是匀称的.在一试验中,每隔一定时间观察一次由某种铀所放射的到达计数器上的

粒子数,

共观察了100次,得结果如下表:i0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12fi9

2

1

2

1

0AiA0

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

A11

A12,

i

0,1,2,L,i!

ie

i考虑

X

应服从泊松分布

P

X其中fi

是观察到有i

个

粒子的次数.从理论上是否符合实际?(

0.05)i!问PX

iei例2解

所求问题为:

在水平

0.05

下检验假设H0

:总体

X

服从泊松分布,

i

0,1,2,

L

,i!PX

iei由于在H0

中参数

未具体给出,故先估计.由最大似然估计法得根据题目中已知表格,

x

4.2,P{X

i}有估计如

pˆ0

PˆX

0

e4.2

0.015,3!e4.2

4.23

0.185,3pˆ

PˆX

311pˆ12

PˆX

12

1

pˆi

0.002,i

1具体计算结果见下页表8.3,i!e4.2

4.2iiˆX

i

,

i

0,1,2,

L

,pˆ

P

表8.3Aifipˆinpˆ

if

2

/

npˆi

iA0A10.015

0.0780.0631.56.34.615A2A3A40.1320.1850.19413.218.519.419.39415.62234.845A5A690.1630.11416.311.47.4237.105A790.0696.911.739A820.0363.6A9A1012

60.0170.007

0.0651.70.75.538A11

A12100.0030.0020.30.2

=106.281例2的

2

拟合检验计算表(6)

12.592

6.2815,0.056,

2

(k

r

1)

2故接受H0,认为样本来自泊松分布总体.其中有些npˆi

5的组予以合并,使得每组均有npi

5,如表中第四列化括号所示.并组后k

8,故

2

的度为8

1

1

自

至世界记录到里氏震级4级和4级以上计如下:共2231天中,全共162次,统(

0.05)(X

表示相继两次

间隔天数,Y

表示出现的频数)X0

45

910

1415

1920

2425

2930

3435

39

40Y50312617108668试检验相继两次

间隔天数

X

服从指数分布.解

所求问题为:

在水平0.05下检验假设例30H

:

X

的概率密度0,1f

(

x)

xe

,

x

0,x

0.由于在H0

中参数

未具体给出,故先估计

.162由最大似然估计法得ˆ

x

2231

13.77,的子区间[ai

,ai1

),i

1,2,L,9.X

为连续型随

量,将X

可能取值区间[0,

)分为k

9

个互不(见下页表)Aifipˆinpˆ

if

2

/

npˆi

iA1

:

0

x

4.55031261710866

80.27880.21960.15270.10620.07390.05140.03580.0248

0.056845.165635.575224.737417.204411.97188.32685.79964.0176

13.21929.201655.3519A2

:

4.5

x

9.527.0132A3

:

9.5

x

14.527.3270A4

:14.5

x

19.516.7980A5

:19.5

x

24.58.3530A6

:

24.5

x

29.57.6860A7

:

29.5

x

34.56.2073A8

:

34.5

x

39.5A9

:

39.5

x

14.8269

=163.5633表8.4例3的

2

拟合检验计算表在H0

为真的前提下,0,x

0,x

0.X

的分布函数的估计为Fˆ

(x)

1

ex13.77

,概率pi

P(Ai

)有估计pˆi

Pˆ

(

Ai

)

Pˆ{ai

X

ai

1

}

Fˆ

(ai1

)

Fˆ

(ai),如

pˆ2

Pˆ

(

A2

)

Pˆ{4.5

X

9.5}

Fˆ

(9.5)

Fˆ

(4.5)

0.2196,8pˆ9

Fˆ

(

A9

)

1

Fˆ

(

Ai

)

0.0568,i

1(6)

12.592

1.5633,

2

(k

r

1)

20.05故在水平0.05

下接受H0

,认为样本服从指数分布.

2

163.5633

162

1.5633,k

8,

r

1,下面列出了84个依特拉

人男子的头颅的最大宽度(mm),试验证这些数据是否来自正态总体?(

0.1)141148132138154142150146155

158150140147148144150149145149

158143141144144126140144142141

140145135147146141136140146142

137148154137139143140131143141

149148135148152143144141143147

146150132142142143153149146149

138142149142137134144146147140

142140137152145例4解所求问题为检验假设0e ,

x

.H

:

X

的概率密度f

(x)(

x

)22

212π由于在

H0

中参数

,

2

未具体给出,故先估计,

2

.ˆ2

6.02

,由最大似然估计法得ˆ

143.8,将X

可能取值区间(,)分为7

个小区间,(见下页表)在H0

为真的前提下,X

的概率密度的估计为Aifipˆinpˆ

if

2

/

n

pˆi

iA1

:

x

129.5A2

:129.5

x

134.51

41033249

30.0087

0.05190.17520.31200.28110.1336

0.03750.73

5.094.3614.7226.2123.6111.22

14.373.154.91A3

:134.5

x

139.56.79A4

:139.5

x

144.541.55A5

:144.5

x

149.524.40A6

:149.5

x

154.510.02A7

:154.5

x

=87.67表8.5例4的

2

拟合检验计算表12π

6262e ,

x

.fˆ

(

x)

(

x143.8)2概率pi

P(Ai

)有估计如pˆ2

Pˆ

(A2

)

Pˆ129.5

x

134.5

6

6

134.5

143.8

129.5

143.8

(1.55)

(2.38)

0.0519

.

2

(k

r

1)

2

(5

2

1)

2

(2)

4.605

3.67,0.1

0.1故在水平0.1

下接受H0,认为样本服从正态分布.一农场10年前在一鱼塘里按如下比例20:15:40:25投放了四种鱼:鲑鱼、鲈鱼、竹夹鱼和鲇鱼的鱼苗.现在在鱼塘里获得一样本如下:序号1234种类鲑鱼鲈鱼竹夹鱼鲇鱼数量(条)132100200168

600检验各鱼类数量的比例较10年前是否有显著改变?(取

0.05)例5解

用

X

记鱼种类的序号,根据题意需检验假设:432i0.20

0.15

0.40

0.25X

1H0

:X

的分布律为p所需计算列表如下(n

600)Aifipinpif

2

/

npˆi

iA11320.20120145.20A21000.1590111.11A32000.40240166.67A41680.25150188.16=611.14表8.6例5

的

2

拟合检验计算表

2

611.14

600

11.14,认为各鱼类数量之比较10

年前有显著改变.k

4,

r

0,20.0520.05(k

r

1)

(3)

7.815

11.14,

故H0,二、偏度、峰度检验1.问题的提出根据第五章关于中心极限定理的论述知道,正态分布随

量较广泛地存在于客观世界,

因此,

当研究一连续型总体时,

人们往往先

它

是否服从正态分布.

上面介绍的

2

检验法虽然

是检验总体分布的较一般的方法,

但用它来检验总体的正态性时,

犯第II类错误的概率往往较大.为此,在对检验正态总体的种种方法进行比较后,认为“偏度、峰度检验法”和“ －

克法”较为有效.(此处只介绍前一种)2.随D(

X

)随量的偏度和峰度的定义量X

的偏度和峰度指的是X

的标准化变量X

E(X

)的三阶中心矩和四阶中心矩:D(

X

)

X

E(

X

)

3

v1

E

,(

D(

X

))3

/

23E[(

X

E(

X

))

]

X

E(

X

)

4v2

E

D(

X

)

(

D(

X

))24E[(

X

E(

X

))

]

.

当随

量

X

服从正态分布时,

v1

0

且v2

3.3.样本偏度和样本峰度的定义,21.G

~

N

3

6 24n(n

2)(n

3)n

1 (n

1)2

(n

3)(n

5)

(n

1)(n

3)

G

~

N

0,6(n

2)

,设X1

,X2

,L

,Xn

是来自总体X

的样本,242分别称为样本偏度和样本峰度.B2BG

,21B3

/

2B3则G

其中Bk

(k

2,3,4)是样本k阶中心矩.若总体

X

为正态变量,则当n

充分大时,近似地有4.偏度、峰度检验法设

X1

,

X

2

,

L

,

Xn

是来自总体

X

的样本,现在来检验假设

H0

:

X

为正态总体.16(n

2)

(n

1)(n

3)记

,2,

24n(n

2)(n

3)(n

1)2

(n

3)(n

5),26n

1

3

11u

G1

,22u

G2

2

.当

H0

为真且

n

充分大时,

近似地有u1

~

N

(0,1),

u2

~

N

(0,1).由第六章第二节知样本偏度G1

和样本峰度G2

分别依概率收敛于总体偏度v1

和总体峰度v2

.因此当

H0

为真且

n

充分大时,

一般地G1

与v1

0的偏离不应太大,G2

与v2

3的偏离不应太大.故从直观来看当|

u1

|

或|

u2

|

过大时,

就

H0

.取显著性水平为,

H0的

域为|

u1

|

k1

或|

u2

|

k2

,其中k1

和k2

由下两式决定,2P

{|

u

|

k

}

;H0

1

12P

{|

u

|

k

}

.H0

2

2即k1

z

/4

,k2

z

/

4

,于是得

域u1

z

/

4或

u2

z

/

4