不等关系与不等式 省赛获奖

第三章不等式§不等关系与不等式(检测时间：90分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是 ()A．eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．a2>b2C．eq\f(a,c2＋1)>eq\f(b,c2＋1) D．a|c|>b|c|2．如果a、b、c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是()A．ab>ac B．bc>acC．cb2<ab2 D．ac(a－c)<03．已知a、b为非零实数，且a<b，则下列命题成立的是 ()A．a2<b2 B．a2b<ab2C．eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b) D．eq\f(b,a)<eq\f(a,b)4．已知－1<a<0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝eq\f(1,1＋a)，比较A、B、C的大小结果为()A．A<B<C B．B<A<CC．A<C<B D．B<C<A5．若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则 ()A．a<b<c B．c<a<bC．b<a<c D．b<c<a6．若a>0且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，则M，N的大小关系为 ()A．M<N B．M≤NC．M>N D．M≥N7．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是 ()A．ab>ac B．ac>bcC．a|b|>c|b| D．a2>b2>c28．若d>0，d≠1，m，n∈N*，则1＋dm＋n与dm＋dn的大小关系是()A．1＋dm＋n>dm＋dn B．1＋dm+n<dm＋dnC．1＋dm+n≥dm＋dn D．不能确定二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)9．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围是________．10．若x∈R，则eq\f(x,1＋x2)与eq\f(1,2)的大小关系为________．11．设n>1，n∈N，A＝eq\r(n)－eq\r(n－1)，B＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)，则A与B的大小关系为________．12．设a＞b＞0，m＞0，n＞0，则p＝eq\f(b,a)，q＝eq\f(a,b)，r＝eq\f(b＋m,a＋m)，s＝eq\f(a＋n,b＋n)的大小顺序是________．三、解答题(本大题共4个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)13．（本小题满分8分）比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R.14．（本小题满分8分）设a>b>0，试比较eq\f(a2－b2,a2＋b2)与eq\f(a－b,a＋b)的大小．15．（本小题满分8分）已知12<a<60,15<b<36，求a－b及eq\f(a,b)的取值范围．16．（本小题满分10分）老丁同时收到甲、乙两家公司的聘用通知，甲公司给出的年薪为24000元，且以后每年都比上一年增加年薪800元，乙公司给出的年薪为18000元，且以后每年都比上一年增加年薪1550元．如果老丁对甲、乙两公司的满意度相同，请你给老丁出出主意，他该去哪家公司应聘？四、探究与拓展（本题满分14分）17．设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．

答案1．C2．C3．C4．B5．C6．C7．A8．A9．[－1,6]10．eq\f(x,1＋x2)≤eq\f(1,2)11．A>B12．p＜r＜s＜q13．解：x6＋1－(x4＋x2)＝x6－x4－x2＋1＝x4(x2－1)－(x2－1)＝(x2－1)(x4－1)＝(x2－1)2(x2＋1)≥0.∴当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2；当x≠±1时，x6＋1>x4＋x2.综上所述，x6＋1≥x4＋x2，当且仅当x＝±1时取等号．14．解：方法一作差法∵eq\f(a2－b2,a2＋b2)－eq\f(a－b,a＋b)＝eq\f((a＋b)(a2－b2)－(a－b)(a2＋b2),(a2＋b2)(a＋b))＝eq\f((a－b)[(a＋b)2－(a2＋b2)],(a2＋b2)(a＋b))＝eq\f(2ab(a－b),(a＋b)(a2＋b2)).∵a>b>0，∴a＋b>0，a－b>0,2ab>0. ∴eq\f(2ab(a－b),(a＋b)(a2＋b2))>0，∴eq\f(a2－b2,a2＋b2)>eq\f(a－b,a＋b).方法二作商法∵a>b>0，∴eq\f(a2－b2,a2＋b2)>0，eq\f(a－b,a＋b)>0. ∴eq\f(\f(a2－b2,a2＋b2),\f(a－b,a＋b))＝eq\f((a＋b)2,a2＋b2)＝eq\f(a2＋b2＋2ab,a2＋b2)＝1＋eq\f(2ab,a2＋b2)>1∴eq\f(a2－b2,a2＋b2)>eq\f(a－b,a＋b).15．解：∵15<b<36，∴－36<－b<－15.∴12－36<a－b<60－15，∴－24<a－b<45. 又eq\f(1,36)<eq\f(1,b)<eq\f(1,15)，∴eq\f(12,36)<eq\f(a,b)<eq\f(60,15)，∴eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4.∴－24<a－b<45，eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4.16．解：设第n年甲、乙两公司给出的年薪分别为an，bn，则数列{an}、{bn}均为等差数列，其中a1＝24000，d＝800，则其前n项和为An＝24000n＋eq\f(nn－1,2)×800＝400n2＋23600n，b1＝18000，d′＝1550，则其前n项和为Bn＝18000n＋eq\f(nn－1,2)×1550＝775n2＋17225n，令Bn－An≥0得375n2－6375n≥0，∴n≥17.答：老丁若应聘17年以下应去甲公司；应聘17年，两公司均可，若应聘17年以上，则应去乙公司．17．解：f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logxeq\f(3x,4)，①当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜x＜1，,\f(3x,4)＞1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞1，,0＜\f(3x,4)＜1，))即1＜x＜eq\f(4,3)时，logxeq\f(3x,4)＜0，∴f(x)＜g(x)；②当eq\f(3x,4)＝1，即x＝eq\f(4,3)时，logxeq\f(3x,4)＝0，即f(x)＝g(x)；③当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜x＜1，,0＜\f(3x,4)＜1，))或eq\b\lc\{\rc\(\