八年级数学反比例函数教案

八年级数学反比例函数教案9.1反比例函数教学目标：1、理解反比例函数的概念，会求比例系数。2、感受反比例函数是刻画世界数量关系的一种有效模型，能够列出实际问题中的反比例函数关系.教学重点：理解反比例函数的概念。.教学难点：感受反比例函数是刻画世界数量关系的一种有效模型.教学过程：1、情境创设：在速度v,时间t与路程S之间满足JLS：vt-s(1)如果速度v一定时，路程s随时间t的增大而增大，路程s与时间t就成正比例关系。且对于时间t的每一个值，路程s都有唯一的一个值与它对应，它又是函数关系。因此，如果速度v一定时，路程s是时间t的正比例函数.(2)如果时间t一定时，那么路程s与速度v又是什么关系呢？（3）如果路程s一定时，那么速度v和时间t又是什么关系呢？［反比例关系：如果两个i=jx、yi=jx、y满足q二k（k为常数，kW0）,那么X、y就成反比例关系］，是函数关系吗?2、探索活动：活动一：2、探索活动：活动一：汽车从南京出发开往上海（全程约为300km）,全程所用的时间t（h）随速度v（km/h）的变化而变化.吗?（1）你能用含有v的代数式表示t吗?300t=—v（2）利用（1）中的关系式完成下表：v/(km/h)608090100120t/h，发生怎样的变化?速度变大，时间减小；速度变小，时间增大。(3)速度v是时间t的函数吗？为什么？活动二：(1)利函数关系式表示下列问题中的两个变量之间的关系：①一个面积为64004的长方形的长a(m)随宽b(m)的变化而变化;函数关系式〃6400a=b②某银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额y(万元)随还款年限x(年)的变化而变化；函数关系式，20y二一x③实数m与n的积为-200，m随n的变化而变化；函数关系式加=200n④一名工人加工80个零件的时间y(h)随该工人每小时能加工零件个

数x（个/小时）的变化而变化.函数关系式，80y=一x（2）交流：函数关系式：（2）交流：函数关系式：6400、 20、a= y=一b xm一200、y=80具有什么共同特nx征？定义：一般地，形如,左（k为常数，y二一xk丰0）的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，k是比例系数.①反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.②反比例函数的函数值y的取值范围是不等于0的一切实数.③指出上述4个反比例函数的比例系数.例1、下列关系中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少?（1）yJ；⑵（1）yJ；⑵y-；⑶y二一；⑷x 2x盯=1；⑸y=|（6）y二3x一i；（7）y=2-1x练习：课本78页注：,左（k为常数，kW0）可以写成y二一xy=日-1（k为常数，k#0）.例2、已知函数,=（m+加%是反比例函数，求m的值。练习：已知函数y-g+1）2是反比例函数，求a的值。（2）思考：①你还能举出反比例函数的实例吗？练习：课本78页1②对于反比例函数y=20，它还能表x示什么其它的实际意义？

3、小结与思考小结（略）思考：反比例函数,左（k为常数，卜。0）的自变y=-x量x的取值范围为不等于0的实数。但在实际问题中，反比例函数的自变量取值范围往往受到限制，比如：（1）一名工人加工80个零件的时间y（h）随该工人每小时能加工零件个数x（个/小时）的变化而变化，函数关系式为,80。求该函数的自变量范围。y二一x（2）一个面积为64004的长方形的长a（m）随宽b（m）的变化而变化,函数关系式为〃6400。求该函数的自变量的a=b范围。（长是大于宽的）4、布置作业：课本79页习题9.11、4、布置作业：课本79页习题9.11、补充：1、若y与x成反比例，且x=-3时，y=7,则y与x的函数关系式是 。2、已知y-3与x+2成反比例，且x=2时，y=7,求（1）y与x的函数关系式。（2）求y=5时，x的值。9.2反比例函数的9.2反比例函数的象与性质（1）新知导读.画函数y上的图象，首先应列出x、y的一些x对应值，不列表你能知道横坐标x与纵坐标的符号之间有何关系吗？答：符号相同。.已知变量y与x成反比例,并且当x=2时,y=-3.（1）求y与x的函数关系式；（2）求当y=2时x的值;（3）在直角坐标系内画出（1）小题中函数图象的草图.答：（1）y=_6；（2）—3；（3）图略，位于二四象限的双曲线。范例点睛例1.如果P（a,b）在y上的图象上，则在此X图象上的点还有（）A．（-a，b）;B．（a，-b）; C．（-a，-b）;D．（0，0）思路点拨：（1）可以从xy=k发现，横纵坐标之TOC\o"1-5"\h\z间的关系，由ab=k，而C选项 y|（—a）（—b）=k，选Co（2）y♦Q-3或者根据双曲线的特征，它是关十B *于原点对称的，则图象上每个点 1关于原点的对称点也在图象上，从而选Co易错辨析：注意双曲线是不经过原点的。例2.如图，已知P是双曲线y=2000上的任意一X点，过P分别作PA，X轴，PB;轴，A,B分别是垂足，（1）求四边形PAOB的面积。（2）P点向左移动时，四边形PAOB的面积如何变化？思路点拨：先利用双曲线设出P点的坐标，再转化为线段PA,PB的长度，通过计算得出面积。易错辨析：从坐标转化为线段长，注意加上绝对值。方法点评：(1)设P(a,2000)，则PA=|2000|，PB=lal，aa四边形PAOB的面积S=PA•PB=I2ooo|•lal=(—a2ooo)(—a)=2000。(2)面积不变。a课外链接有一游泳池装水12立方米，如果从水管中每小时流出x立方米的话，则经过y小时可以把水放完。写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围，画出函数图象。易错辨析：自变量的范围是x>0,注意的范围不是0Vx<12；函数图象是双曲线的一支，只有第一象限。随堂演练.已知y与2x—1成反比例，且当x=1时,y=2,那么当x=0时,y=..若函数y=(m-1)x?2是反比例函数,则m的值xm2等于()A.±1 B.1C.- D.-1v3.一次函数丫2x1与反比例函数丫4的图象交x(A)0个(B)1个(C)2个(D)无数个.已知P为函数y=2图像上一点，且P到原x点的距离为2,则符合条件的点P数为(A.0个B.2个C.4个D.无数个5．分别在坐标系中画出它们的函数图象。(1)y=1 (2)y=z32x x.已知x,y满足xy=-4,用x的代数式表示y,并画出函数图象..反比例函数yk的图象经过点(-2,4),求它的解析式，并向出函数图象，图象分布在哪几个象限？与坐标轴的交点是什么？.已知三角形的面积为24cm2，任一边a(cm)与这边上的高h(cm)之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围,画出图象..已知反比例函数丫〜和一次函数y=kx+b的图

象都经过(2,-1),(1,c)两点，求这两个函数的解析式.已知一次函数丫=2*4的图象与反比例函数y=s的图象相交，其中一个交点纵坐标为-4,x求k。9.2反比例函数的象与性质9.2反比例函数的象与性质(2)新知导读.写出一个反比例函数,使它的图象在第二、四象限,这个函数的解析式是 .答：答案不唯一，比例系数小于0。.点A(-2,丫)与点8(-1,y)都在反比例函数12y=-2的图像上，则y与y的大小关系为1 2x( )A.yi<y2 B.y1>y2 CE=y2D.无法确定答：A。范例点睛1.已知反比例函数y=k（k40）与一次函数y=xx的图象有交点，则k的范围是 .思路点拨：因为y=x经过一三象限，则反比例函数经过一三象限，k>0。课外链接1.若点⑶4）是反比例函数y=m22m1图象上一x点,则此函数图象必经过点（）A.（2,6） B.（2,-6） C.（4,-3）D.（3,-4）思路点拨：（1）反比例函数是关于原点的中心对称图形，它必定经过（—3，—4），但没有这个选项。（2）若把（3，4）代入解析式，发现目前无法计算出m的值。（3）最后可以根据（3,4），确定反比例函数的比例系数一定是12，横纵坐标的乘积必定为12,从而选择A。随堂演练

.已知反比例函数尸S，当m时，其图x时，象的两个分支在第二、四象限内；当时，其图象在每个象限内随的增大而减小。m其图象在每个象限内随的增大而减小。yx.若反比例函数，k一3的图象位于一、三象限y=—x内，正比例函数，39比过二、四象限，则k的y=(2k—9)x整数值是 。.在同一直角坐标系内，函数y=2x与y=8的交x点坐标为 。.已知P(1,m2+1)在双曲线k上，则双曲线y=-在第象限，在每个象限在第象限，在每个象限y随x的增大而x那么它的图象分布在的增大而减小，x那么它的图象分布在的增大而减小，A.第一、二象限第二、三象限D.6.反比例函数丫=k+3x.如果反比例函数,左在每个象限内，y随x

)=-B.第一、三象限C.第二、四象限的图象在每个象限内的函

数值丫随自变量x的增大而增大，那么k的取值范围是（）A.kW-3B.k2-3 C.k>-3 D.k<-3是( )A.y=2-3xD.y=-x2xB.y=2XC.y=-2x-1.是( )A.y=2-3xD.y=-x2xB.y=2XC.y=-2x-1.已知一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，则反比例函数劭的图象在（）y=XA.第一、二象限；8,第三、四象限;C.第一、三象限；D.第二、四象限..下列函数中，图象大致为如图的是（）A.y=i(x<0)B.y=i(x>0)C.y=-1(x>0) D.y=-1(x<0)XX10.已知圆柱体的侧面积为80cmXX10.已知圆柱体的侧面积为80cm2,若圆柱底面兀径为「（皿）,高线长为h（cm）,则h关于r的函数的图象大致是（ ）11•若ab<0，则函数y-ax与y-b在同一平面直角坐x标系中的图象大致是（）12．反比例函数的图象过点（2，—2），求函数y与自变量x之间的关系式，它的图象在第几象限内？y随x的减小如何变化？请画出函数图象，并判断点（—3，0），（—3，—3）是否在图象上？13.若反比例函数y=吐i的图象经过XmL24第二、四象限，求函数的解析式。14．如图所示,一个反比例函数的图象在第二象限内，点A是图象上的任意一点,AM，x轴于M,O是原点，若S&A0M=3,求该反比例函数的量的取值范围15.已知反比例函数一图象与直线"2x和”x+1x的图象过同一点。（1）求反比例函数；（2）当x>0时，这个反比例函数值随的增大如何变yx>0时，这个反比例函数值随的增大如何变yx化？9．9．2反比例函数的象与性质(3)新知导读1.点P,Q在y=J的图象上x(1)若P(1,a),Q(2,b),比较a,b的大小；(2)若P(—1,a),Q(—2,b),比较a,b的大小；(3)你能从中发现y随x增大时的变化规律吗？思路点拨：通过图象来确定。(4)若P(x1,y1),Q(x2,y2),x1<又2,你能比较y1与y2的大小吗？思路点拨：通过图象来确定。方法点评：(1)b>a；(2)a>b;(3)在每个象限内，y随x的增大而增大；(4)当位于同一分支上时，y1<y2；当位于不同分支上时，y1>y2.范例点睛D．k3>k1>k2思路点拨：（1）从反比例函数经过的象限，首先判断k1<0,k2>0,k3>0;（2）只需比较k2与k3之间的大小关系，取同一个自变量如x=13时，在图象上找到对应的点，通过图象比较此时纵坐标的大小，根据反比例函数解析式，纵坐标大，则比例系数大，k2<k3。课外链接.已知点P（1,a）在反比例函数y=MkW。）的X图象上,其中a=m2+2m+3（m为实数）,则这个函数的图象在第 象限.思路点拨：因为m2+2m+3>0,则a>0,点P(1,a)在图象上，则k>0,在一、三象限。.(1)如图(1),A、C分别是反比例函数y=1X图象上两点。若Rt^AOB与Rt^COD的面积分别为S1,S2,则S1与S2的大小关系是()A.S1>S2 B.S1=S2； C.S1<S2 D.不能确定(2)如图(2),A,B是函数丫=1的图像上关X于原点0对称的任意两点，AC平行于y轴，BC平行于x轴，设三角形ABC面积为S,贝M )A.S=1B.1VSV2C.S=2D.S>2(3)如图(3),A,B是函数丫=1的图像上关X于原点0对称的任意两点，AP平行于y轴，交x轴于点P,BH平行于y轴，交x轴于点H,证明四边形AHBP面积为定值。随堂演练1.对于函数y=-5，当x>0时，y0,y随xX增大而2．反比例函数的图象过点（2，-2），那么函数y与自变量x之间的关系式是,它的图象在第 象限内。.反比例函数y=（m-1）32的图像在二、四象X3m限，则m的值为..在函数y=2,y=x+5,y=-5x的图像中，是X中心对称图形，且对称中心是原点的图像有一个. 一.已知反比例函数y=MkW0），当x>0时，Xy随x的增大而增大，那么一次函数y=kx-k的图像过象限.6.一次函数丫=卜乂-23随x的增大而减小，那么反比例系数丫=左（XA.当x>0时，y>0B.在每个象限内，y随x的增大而减小C.图像在第一、三象限四象限7．下列函数8， 51y-—8xy—5x—1D.图像在第二、随的增大而减小的有（yXA3个个B.2个y=6(x>0)，X)C.1个y」(x<0)中，XD.08.若点A(-2,y1),B(-1,y2),C(1,y3)在反比例函数y=1的图象上，xA.>>y1y2y3D.>>y3y2y19•已知函数y上(卜x是y,y，若x>x>012 21则下列结论正确的是（ ）B.>y3y10），又X1则有C.>>y2 y2y1y3对应的函数值分别x2（）A.y1>y2>0 B.y2>y1>0 C.y1<y2<0D.y2<y1<0.函数y=a(x-3)与“〃在同一坐标系中的大)—x致图象是().已知反比例函数y上的图像与一次函数xy=kx+m的图像相交于点A（2,1）.（1）分别求出这两个函数的解析式；（2）当x取什么范围时，反比例函数值大于0；（3）若一次函数与反比例函数另一交点为B，且纵坐标为-4,当x取什么范围时，反比例函数值大于一次函数的值；（4）试判断点P（—1，5）关于x轴的对称点P,是否在一次函数y=kx+m的图像上.9．3反比例函数的应用新知导读某公司计划新建一个容积为50立方米的圆柱形的池子。（1）池子的底面积S（平方米）与池子的深度h（米）之间的函数关系式？（2）如果池子深度2米，那么池子的占地面积是多少？答：（1）S=50；（2）25平方米。h范例点睛例1.如图所示，一次函数—+人的图象与反比y-kx十b例函数ym的图象交于A、B两点.y x（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；（2）试根据图象写出使一次函数的值大于反比x思路点拨：（1）利用A点/确定反比例函数解析式，再由 对「，反比例确定B点坐标，由A、一第17-4

B两点待定系数法求出一次函数解析式。(2)过A,B作出y轴的平行线，这两条平行线和y轴把平面分为四个部分，观察一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围．易错辨析：(2)中的范围与A,B两点的横坐标有关，与纵坐标无关。课外链接为了预防“非典”,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒,已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例.药物燃烧后,y与x成反比例(如图所示)，现测得药物8min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6mg,请根据题中所提供的信息，解答下列问题:⑴药物燃烧时，y关于x的函数关系式为：药物燃烧后y关于x的函数关系式为(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时学生方可进教室,那么从消毒开始,至,自变量的取值范围是:

,自变量的取值范围是:少需要经过分钟后,学生才能回到教室;少需要经过分钟后,学生才能回到教室;于3mg且持续时间不低于10min时皆能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是于3mg且持续时间不低于10min时皆能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是8 x(min)效.?为什么?随堂演练1．水滴进的玻璃容器如下图所示(水滴的速度是相同的)，那么水的高度h是如何随着时间t变化的．请选择匹配的示意图与容器．

2．下列关系描述与所给的函数图象(如图所示)中,对应正确的是( )①矩形的面积一定时,它的两邻边丫(皿)与x(cm)之间的关系②拖拉机工作时，每小时耗油量相同,油箱中余油量y(L)与工作时间x(h)之间的关系甲乙③某城市一天气温y(℃)随时间x(h)变化的关系④立方体的表面积y(cm2)与它的边长x(cm)之间的关系.甲乙A.关系①对应乙，②对应丙 B.关系②对应甲,③对应丁C.关系④对应甲，①对应丁 D.关系③对应丁，④对应乙

3.如图，若正比例函数y=k1x(x>0)和反比例函

数y=k2(x<0),则它们的图象大致是()x4.一定质量的氧气,它的密度P(kg/m。4.一定质量的氧气,它的密度P(kg/m。是它的体积V(m3)的反比例函数，当V=10m3时，P=1.43kg/m3.(1)求P与V的函数关系式；(2)求当V=2m3时求氧气的密度p.5．某地上年度电价为0.8元/度,年用电量为1亿度.本年度计划将电价调至0.55元至0.75元之间.经测算,若电价调至x元,则本年度新增用电量y(亿度)与(x—0.4)(元)成反比例,当x=0.65时,y=-0.8.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价为0.3元,则电价调至多少元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%?［收益=(实际电价一成本价)X(用电量）］6.如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点P在BC边上移动(不与点B、C重合)，设PA=x,点D到PA的距离DE=y.求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围.B PC第九章复习与小结(1)知识梳理1．联系实际，学习和理解反比例函数的概念、图象和性质利用它们解决简单的生活中的问题，善于用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系，并结合函数图象分析简单的数量关系。2．对比一次函数和反比例函数，完成填空。一般地，形如的函数，y叫做x的一次函数；当时，它是正比例函数。一次函数的图象是 ，所过象限由 来决定；①当时，图象过一、二、三象限；②当 时，图象过一、二、四象限；③当 时，图象过一、三、四象限；④当 时，图象过、三、四象限。一次函数的性质是由来决定的，①当k 时，y随x,这时图象从左到右上升；②当k 时，y随x ，这时图象从左到右下降。一般地，形如的函数，y叫做x的反比例函数。反比例函数的图象是。当k 时，图象经过象限，在同一象限内，y随x的增大而 ;当k 时，图象经过象限，在同一象限内，y随x的增大而 。反比例函数是中心对称图形，对称中心是 3．学习并熟悉数形结合的方法对解决实际问题有重要的作用，用待定系数法求函数解析式是一种常用的方法。范例点睛例1.反比例函数y=32叫当xV0时，y随x的增大而减小，x的增大而减小，x则满足上述条件的正整数m有哪些？思路点拨：xV0就等价于图象可能会在第二或第三象限，但二或第三象限，但y随x的增大而减小，说明双曲线只能在第三象限，3—2m>0,正整数m等于1。

例2.当x=6时，反比例函数y或和一次函数y二-尹—7的值相等. "⑴求反比例函数的解析式.(2)若等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图象上，顶点C、D在这个反比例函数的图象上,且BC〃AD〃y轴,A、B两点的横坐标分别是a和a+2(a>0),求a的值.TOC\o"1-5"\h\z思路点拨：(2)中，利用A、B在这个一次函数的图象上，设A(a,3a—7),B(a+2,3。一2 24),C、D在这个反比例函数的图象上，设C(a+2,上),D(a,12)；过以B分别作AD的垂线，a+2 a 一—垂足分别为M、N,因为CM=BN,CD=BA,所以DM=AN。从而得到：12—-2L=3a—4—(3a—7),a=2或aa+22 2-4,所以a=2。易错辨析：由DM=AN,可以转化为D、C纵坐标的差和A、B纵坐标的差，但要注意符号问题，B点的纵坐标比A点的纵坐标大，它们的差等于AN。回顾反思本课所选的两个例题分别是融合本章的重要内容的题形，解决此类问题时，注意数形结合，正确读图象，看坐标水平和竖直方向分别表示的是什么量；正确的提取信息，要学会从图象中提取适当的数量关系，同时还要能根据图象中的数量关系列出方程(组)。训练巩固.函数y=_5中，当x=1时,y=;当x=x 2时,y=-1..已知函数y二kx的图象经过点(2,-6),则函数y=%的解析式可确定为，反比例函数在每个象限内，y随x的增大而.已知y与2x+1成反比例月当x=1时,丫=2,那么当x=0时,y= .4•函数y=(a2+2a)xa2t中,当@=—时,是正比例函数；当a=一时，是反比例函数.5.已知函数y=上在每个象限内,y随x的减小x

而减小，则k的取值范围是..已知反比例函数y=1”当x>0时,y随x的kx12k而增大..点A(a,b)、B(a_1,)均在反比例函数y=ix的图象上，若aV0,则bc..正比例函数y=k1x(k1r0)和反比例函数y=匀(kr0)的一个交点为(m,n),则另一个交点q2x为 ..下列函数中,图象经过原点的是( )A.y=iB.y=x+1C.y=xD.y=3-xx.已知双曲线y=k(kW0)在第二、四象限，x则直线y=kx+b且bV0,直线一定不经过A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限.已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限,则函数y二k的图象在()B.第二、四象限。第三、B.第二、四象限。第三、A.第一、三象限

四象限D.第一、二象限.当x>0时,两个函数值y一个随x的增大而增大另一个随x的增大而减少的是()A.y=3x与y=A.y=3x与y=ixC.y=-2x+6与y=ixB.y=3x与y=一ixD.y=3xT5与y=-1x.已知:正比例函数丫=@*图象上的点的横坐标和纵坐标互为相反数，反比例函数y二k的y随的增大而减小,一次函数y的增大而减小,一次函数y=-k2X-k+a+4经过点(-2,4).⑴求a的值；(2)求反比例函数和一次函数的解析式；(3)在直角坐标系中,画出y=-k2X-k+a+4的图象,利用图象求出当函数丫的值在-3<y<4范围内时,相应x值的范围.反比例函数小结与思考(2)教学目标.继续巩固反比例函数概念，能灵活运用反比例函数的图像与性质解决实际问题；.进一步体会数形结合的数学思想教学重点灵活运用反