热传导方程的初边值问题

.z.例4周期初始温度分布求解热传导方程,给定初始温度分布。解.初始高斯温度分布例5求解定解问题，其中常数.解.§3初边值问题设长度为,侧外表绝热的均匀细杆,初始温度与细杆两端的温度,则杆上的温度分布满足以下初边值问题对于这样的问题,可以用别离变量法来求解.将边值齐次化令再作变换引入新的未知函数,易知它满足我们先考虑齐次方程,齐次边界的情形解设代入方程这等式只有在两边均等于常数时才成立.令此常数为,则有〔3.4〕〔3.5〕先考虑〔3.5〕,根据边界条件(3.3),应当满足边界条件〔3.6〕情形A：当时,方程〔3.5〕的通解可以写成要使它满足边界条件〔3.6〕,就必须由于只能故在的情况得不到非平凡解.情形B：当时,方程〔3.5〕的通解可以写成要满足边界条件〔3.6〕,即.也只能恒等于零.情形C：当时,方程〔3.5〕的通解具有如下形式：由边界条件知再由可知,为了使就必须于是〔3.7〕这样就找到了一族非零解〔3.8〕称为常微分方程边值问题的固有函数〔特征函数〕.而称为相应的固有值〔或特征值〕.将固有值代入方程〔3.4〕中,可得〔3.9〕于是得到一列可别离变量的特解〔3.10〕由于方程〔3.1〕及边界条件〔3.3〕都是齐次的,故可利用叠加原理构造级数形式的解〔3.11〕其中.由〔3.2〕,为使在时,取到初值,应成立〔3.12〕得出.〔3.13〕得到问题〔3.1〕－〔3.3〕的解其中,.定理假设则〔3.14〕是的古典解〔经典解〕.证明由得在上可积.对任意当时,成立〔任意整数〕又对任意而级数收敛,所以在上一致收敛.于是，即级数,当时,关于及具有任意阶的连续偏导数,并且求偏导与求和可以交换.由于级数的每一项都满足方程及边界条件,从而函数在时,确实满足方程及边界条件.再由的任意性,得在时满足方程及边界条件,且再证由条件由Bessel不等式,知,从而得到在上一致收敛,在上一致收敛于,从而得在上连续.于是.3.1初边值问题解的渐近性态定理假设初始函数满足则当趋于无穷大时,问题〔3.1〕－〔3.3〕的唯一的古典解指数衰减地趋于零,确切地说,当时,对一切,其中是一个与解无的正常数.证明古典解是唯一的,是唯一的古典解,其中在上有界,设,则有当时.3.2非齐次方程求解方法—齐次化原理考虑非齐次方程.齐次化原理：假设是下述问题〔*〕的解〔其中为参数〕,则是非齐次问题的解.证明显然,则满足.是非齐次问题的解.现在来求问题〔*〕的解.作变换则问题〔*〕化为〔**〕我们问题〔**〕的解为其中,.于是故是非齐次问题的解.初边值问题的解为其中,,.3.3非齐次初边值问题的特征函数展开法〔3.15〕方法步骤把,方程的非齐次项和初值都按照特征函数系展开：由特征函数系在区间上的正交性,可得,.而函数暂时还是未知的.为确定,把上述展开式问题〔3.15〕代入方程和初始条件,由特征函数系的完备性,从而得到适合以下微分方程和初始条件.于是得到从0到积分故非齐次初边值问题解的表达式为这与前面的结果一致.能量衰减估计用乘以方程两端,在上积分,,,,于是,,.定理(Cauchy-Schwarz不等式)设在上可积，则有。证明证法一对区间的任意分割：，任取，，，记，；由于成立，在上式中，令取极限，则得到；证法二考虑二次函数，；如果，在上式中取，得到，从而，于是成立；如果，则对，成立，必有，此时自然成立，。定理(Minkowski不等式)设在上可积，则有.证明因为，假设，则不等式自然成立；假设，则消去公因子，所以用Cauchy-S