三角形的四大模型

..三角形的四大模型一、三角形的重要概念和性质1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°2、三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和3、三角形角平分线〔角分线中线〔分面积等高〔直角三角形两锐角互余二、八字模型：证明结论：∠A＋∠B＝∠C＋∠D三、飞镖模型：证明结论：1．∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C四、角分线模型：如图,BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,BD、CD相交于点D,试探索∠A与∠D之间的数量关系,并证明你的结论．如图,△ABC两个外角〔∠CAD、∠ACE的平分线相交于点P．探索∠P与∠B有怎样的数量关系,并证明你的结论．题型一、三角形性质等应用1．如图,小亮从A点出发前进10m,向右转15°,再前进10m,又向右转15°,这样一直走下去,他第一次回到出发点A时,一共走了米数是〔A．120 B．150 C．240 D．3602．如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．如果AB=8cm,BE=4cm,DH=3cm,则图中阴影部分面积为cm2．3．如图,在△ABC中,已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点,且S△ABC=4cm2,则S阴影=cm2．4．A、B、C是线段A1B,B1C,C1A的中点,S△ABC的面积是1,则S△A1B1C1的面积．5．一个四边形截去一个角后,剩下的部分可能是什么图形？画出所有可能的图形,并分别说出内角和和外角和变化情况．6．如图,直线AC∥BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分,规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时,连接PA,PB,构成∠PAC,∠APB,∠PBD三个角．〔提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角〔1当动点P落在第①部分时,求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；〔2当动点P落在第②部分时,∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？〔直接回答〔3当动点P在第③部分时,全面探究∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系,并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．题型二、八字模型应用7．〔1如图1的图形我们把它称为"8字形",请说明∠A+∠B=∠C+∠D；〔2如图2,AB∥CD,AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD,①图2中共有个"8字形"；②若∠ABC=80°,∠ADC=38°,求∠P的度数；〔提醒：解决此问题你可以利用图1的结论或用其他方法③猜想图2中∠P与∠B+∠D的数量关系,并说明理由．8．〔1求五角星的五个角之和；〔2求这六个角之和题型三、飞镖模型应用9．如图,已知AB∥DE,BF,EF分别平分∠ABC与∠CED交于点F,探索∠BFE与∠BCE之间的数量关系,并证明你的结论．10．如图1,E是直线AB,CD内部一点,AB∥CD,连接EA,ED．〔1探究猜想：①若∠A=30°,∠D=40°,则∠AED等于多少度？②若∠A=20°,∠D=60°,则∠AED等于多少度？③猜想图1中∠AED,∠EAB,∠EDC的关系并证明你的结论．〔2拓展应用：如图2,射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E,与边CD交于点F,①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域〔不含边界,其中区域③、④位于直线AB上方,P是位于以上四个区域上的点,猜想：∠PEB,∠PFC,∠EPF的关系〔不要求证明．题型四、角分线模型应用11．如图,∠A=65°,∠ABD=30°,∠ACB=72°,且CE平分∠ACB,求∠BEC的度数．12．如图,在△ABC中,∠A=42°,∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点D,E,则∠BDC的度数是〔A．67° B．84° C．88° D．110°第11题第12题第13题13．如图,若∠DBC=∠D,BD平分∠ABC,∠ABC=50°,则∠BCD的大小为〔A．50° B．100° C．130° D．150°14．如图,∠ACD是△ABC的外角,∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1,∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2,…,∠An﹣1BC的平分线与∠An﹣1CD的平分线交于点An．设∠A=θ．则：〔1∠A1=；〔2∠A2=；〔3∠An=．题型五、其他应用15．已知△ABC中,∠A=60°．〔1如图①,∠ABC、∠ACB的角平分线交于点D,则∠BOC=°．〔2如图②,∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2,则∠BO2C=°．〔3如图③,∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应于O1、O2…On﹣1〔内部有n﹣1个点,求∠BOn﹣1C〔用n的代数式表示．〔4如图③,已知∠ABC、∠ACB的n等分线对应于O1、O2…On﹣1,若∠BOn﹣1C=90°,求n的值．16．我们知道,任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点,如图,若△ABC的三条内角平分线相交于点I,过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E．〔1