数学分析第四课件

一、区间套定理二、聚点定理与有限覆盖定理三、实数完备性基本定理的等价性第1页/共25页一、区间套定理二、聚点定理与有限覆盖定理三、实数完备性基本定定义1定义1中的条件1实际上等价于条件一、区间套定理第2页/共25页定义1定义1中的条件1实际上等价于条件一、区间套定理第2定理7.1(区间套定理)或者第3页/共25页定理7.1(区间套定理)或者第3页/共25页则任给>0,存在N,当nN

时,推论设{[an,bn]}是一个区间套,注1

该推论有着很强的应用价值,请大家务必牢记.注2

区间套定理中的闭区间若改为开区间,那么结论不一定成立.例如对于开区间列,显然第4页/共25页则任给>0,存在N,当nN时,推论设但是定理1中的是不存在的,这是因为例1.用区间套定理证明连续函数根的存在性定理第5页/共25页但是定理1中的是不存在的,这是因为例1.用区间套定理证定义2

设S为数轴上的非空点集,为直线上的一个定点(当然可以属于S,也可以不属于S).若对于任意正数

,在(,+)中含有S的无限个点,二、聚点定理与有限覆盖定理则称是S的一个聚点.即第6页/共25页定义2设S为数轴上的非空点集,为直线上的一为了便于应用,下面介绍两个与定义2等价的定义.定义2定义2″若存在各项互异的收敛数列下面简单叙述一下这三个定义的等价性.若设S是

[0,

1]中的无理数全体,

则

S

的聚点集合

为闭区间

[0,1].第7页/共25页为了便于应用,下面介绍两个与定义2等价的定义.定义2定定义2定义2

由定义直接得到.定义2定义2

因为

那么第8页/共25页定义2定义2由定义直接得到.定义2定义互异,并且定义2定义2

由极限的定义可知这是显然的.定理7.2(魏尔斯特拉斯Weierstrass聚点定理)

实数轴上的任意有界无限点集S必有聚点.第9页/共25页互异,并且定义2定义2由极限的定义可知这是显然的.定我们再次使用区间套定理来证明聚点定理,请务必证因为S为有界点集,所以存在正数M,使现将[a1,b1]等分为两个子区间[a1,c1],[c1,b1],中至少有一个区间含有S的无限多个点.记该区间为[a2,b2].要注意在区间套的构成中所建立的性质

(iii).第10页/共25页我们再次使用区间套定理来证明聚点定理,请务必证因为S为再将[a2,b2]等分为两个子区间.同样至少有一个子区间含有S的无限多个点,将这个区间记为[a3,b3].第11页/共25页再将[a2,b2]等分为两个子区间.同样至少有一个子区间(iii)每个闭区间[an,bn]均含S的无限多个点.无限重复这个过程,就可得到一列闭区间第12页/共25页(iii)每个闭区间[an,bn]均含S的无限多所以由所建立的性质(iii)这就证明了是S的一个聚点.定理7.2有一个非常重要的推论(致密性定理).该定理在整个数学分析中,显得十分活跃.第13页/共25页所以由所建立的性质(iii)这就证明了是S的一个聚点证设{xn}为有界数列,若{xn}中有无限项相等,取这些相等的项可成一个子列.该子列显然是收敛若数列{xn}不含有无限多个相等的项,则{xn}作为点集是有界无限点集.由聚点原理,可设是{xn}的一个推论(致密性定理)

有界数列必有收敛子列.的.一个各项互异的子列收敛于

.聚点,那么再由定义

2,可知{xn}中有第14页/共25页证设{xn}为有界数列,若{xn}中有无限项相等,定义3

设

S为数轴上的一个点集,H为一些开区间则称H是S的一个开覆盖.若H是S的一个开覆盖,并且H中的元素(开区间)仅有有限个,则称H是S的一个有限开覆盖.一个开覆盖.第15页/共25页定义3设S为数轴上的一个点集,H为一些开区间则称H定理7.3(海涅－博雷尔有限覆盖定理)设H是闭区间[a,b]的一个开覆盖,则从H中可选海涅(Heine,H.E.1821-1881,德国)博雷尔(Borel,E.1871-1956,法国)

出有限个开区间,构成闭区间

[a,b]的一个子覆盖.证明：本定理证明方法多种，这里采用区间套定理。

第16页/共25页定理7.3(海涅－博雷尔有限覆盖定理)设H是闭区间[a若定理不成立,也就是说[a,b]不能被

H中任何再将[a1,b1]等分成两个子区间,其中至少有一个有限个开区间所覆盖.将区间[a,b]等分成两个子区间,那么这两个子区间中至少有一个不能被H中任意有限个开区间所覆盖,设该区间为[a1,b1].不能被H中有限个开区间所覆盖.设该区间为显然有第17页/共25页若定理不成立,也就是说[a,b]不能被H中任何再将(iii)对每一个闭区间[an,bn],都不能被H中有限个满足下列三个性质:[a2

,b2].同样有将上述过程无限进行下去,可得一列闭区间第18页/共25页(iii)对每一个闭区间[an,bn],都不能被H这就是说,[aN

,bN]被H中的一个开区间所覆盖,开区间所覆盖.矛盾.第19页/共25页这就是说,[aN,bN]被H中的一个开区间所覆盖区间(0,1).很明显,H中的任何有限个开区间均不注定理7.3中的闭区间不可以改为开区间.能覆盖

(0,1).例2：用有限覆盖定理证明：闭区间上连续函数的有界性定理。第20页/共25页区间(0,1).很明显,H中的任何有限个开区间均不我们已经学习了关于实数完备性的六个定理,它三、实数完备性定理的等价性确界定理单调有界定理区间套定理下面证明这六个定理是等价的.们是:聚点定理（致密性定理）有限覆盖定理柯西收敛准则第21页/共25页我们已经学习了关于实数完备性的六个定理,它三、实数完备性定

柯西收敛准则

区间套定理

聚点定理

确界定理

有限覆盖定理

单调有界定理

654321第22页/共25页柯西收敛准则区间套定理聚点定理例3

用有限覆盖定理证明聚点定理.证设S是无限有界点集,则存在M>0,使得在上图的等价性关系中,仅和尚未证明.这里46给出的证明,请大家自己阅读教材.46第23页/共25页例3用有限覆盖定理证明聚点定理.证设S是无限有界点很明显,H覆盖了闭区间[–

M,M].根据有限覆盖设开区间集由H的构造,所以矛盾.定理,存在

H中的有限子覆盖覆盖[-M,M

]，进而覆盖S.第24页/共25页很明显,H覆盖了闭区间[–M,M].根据有限覆感谢您的欣赏！第25页/共25页感谢您的欣赏！第25页/共25页一、区间套定理二、聚点定理与有限覆盖定理三、实数完备性基本定理的等价性第1页/共25页一、区间套定理二、聚点定理与有限覆盖定理三、实数完备性基本定定义1定义1中的条件1实际上等价于条件一、区间套定理第2页/共25页定义1定义1中的条件1实际上等价于条件一、区间套定理第2定理7.1(区间套定理)或者第3页/共25页定理7.1(区间套定理)或者第3页/共25页则任给>0,存在N,当nN

时,推论设{[an,bn]}是一个区间套,注1

该推论有着很强的应用价值,请大家务必牢记.注2

区间套定理中的闭区间若改为开区间,那么结论不一定成立.例如对于开区间列,显然第4页/共25页则任给>0,存在N,当nN时,推论设但是定理1中的是不存在的,这是因为例1.用区间套定理证明连续函数根的存在性定理第5页/共25页但是定理1中的是不存在的,这是因为例1.用区间套定理证定义2

设S为数轴上的非空点集,为直线上的一个定点(当然可以属于S,也可以不属于S).若对于任意正数

,在(,+)中含有S的无限个点,二、聚点定理与有限覆盖定理则称是S的一个聚点.即第6页/共25页定义2设S为数轴上的非空点集,为直线上的一为了便于应用,下面介绍两个与定义2等价的定义.定义2定义2″若存在各项互异的收敛数列下面简单叙述一下这三个定义的等价性.若设S是

[0,

1]中的无理数全体,

则

S

的聚点集合

为闭区间

[0,1].第7页/共25页为了便于应用,下面介绍两个与定义2等价的定义.定义2定定义2定义2

由定义直接得到.定义2定义2

因为

那么第8页/共25页定义2定义2由定义直接得到.定义2定义互异,并且定义2定义2

由极限的定义可知这是显然的.定理7.2(魏尔斯特拉斯Weierstrass聚点定理)

实数轴上的任意有界无限点集S必有聚点.第9页/共25页互异,并且定义2定义2由极限的定义可知这是显然的.定我们再次使用区间套定理来证明聚点定理,请务必证因为S为有界点集,所以存在正数M,使现将[a1,b1]等分为两个子区间[a1,c1],[c1,b1],中至少有一个区间含有S的无限多个点.记该区间为[a2,b2].要注意在区间套的构成中所建立的性质

(iii).第10页/共25页我们再次使用区间套定理来证明聚点定理,请务必证因为S为再将[a2,b2]等分为两个子区间.同样至少有一个子区间含有S的无限多个点,将这个区间记为[a3,b3].第11页/共25页再将[a2,b2]等分为两个子区间.同样至少有一个子区间(iii)每个闭区间[an,bn]均含S的无限多个点.无限重复这个过程,就可得到一列闭区间第12页/共25页(iii)每个闭区间[an,bn]均含S的无限多所以由所建立的性质(iii)这就证明了是S的一个聚点.定理7.2有一个非常重要的推论(致密性定理).该定理在整个数学分析中,显得十分活跃.第13页/共25页所以由所建立的性质(iii)这就证明了是S的一个聚点证设{xn}为有界数列,若{xn}中有无限项相等,取这些相等的项可成一个子列.该子列显然是收敛若数列{xn}不含有无限多个相等的项,则{xn}作为点集是有界无限点集.由聚点原理,可设是{xn}的一个推论(致密性定理)

有界数列必有收敛子列.的.一个各项互异的子列收敛于

.聚点,那么再由定义

2,可知{xn}中有第14页/共25页证设{xn}为有界数列,若{xn}中有无限项相等,定义3

设

S为数轴上的一个点集,H为一些开区间则称H是S的一个开覆盖.若H是S的一个开覆盖,并且H中的元素(开区间)仅有有限个,则称H是S的一个有限开覆盖.一个开覆盖.第15页/共25页定义3设S为数轴上的一个点集,H为一些开区间则称H定理7.3(海涅－博雷尔有限覆盖定理)设H是闭区间[a,b]的一个开覆盖,则从H中可选海涅(Heine,H.E.1821-1881,德国)博雷尔(Borel,E.1871-1956,法国)

出有限个开区间,构成闭区间

[a,b]的一个子覆盖.证明：本定理证明方法多种，这里采用区间套定理。

第16页/共25页定理7.3(海涅－博雷尔有限覆盖定理)设H是闭区间[a若定理不成立,也就是说[a,b]不能被

H中任何再将[a1,b1]等分成两个子区间,其中至少有一个有限个开区间所覆盖.将区间[a,b]等分成两个子区间,那么这两个子区间中至少有一个不能被H中任意有限个开区间所覆盖,设该区间为[a1,b1].不能被H中有限个开区间所覆盖.设该区间为显然有第17页/共25页若定理不成立,也就是说[a,b]不能被H中任何再将(iii)对每一个闭区间[an,bn],都不能被H中有限个满足下列三个性质:[a2

,b2].同样有将上述过程无限进行下去,可得一列闭区间第18页/共25页(iii)对每一个闭区间[an,bn],都不能被H这就是说,[aN

,bN]被H中的一个开区间所覆盖,开区间所覆盖.矛盾.第19页/共25页这就是说,[aN,bN]被H中的一个开区间所覆盖区间(0,1).很明显,H中的任何有限个开区间均不