2019新导学同步人教A版高中数学必修一练习第3章函数应用321Word版

2019新导学同步人教A版高中数学必修一练习：第3章函数的应用3.2.1Word版2019新导学同步人教A版高中数学必修一练习：第3章函数的应用3.2.1Word版13/13葿PAGE13膈肀蒇螃薃羅蒂莈芈芁薄芅2019新导学同步人教A版高中数学必修一练习：第3章函数的应用3.2.1Word版2019-2020年新导学同步人教A版高中数学必修一练习：第3章+函数的应用+3.2.1+Word版含解析

几类不相同增加的函数模型

知识点一常有的增加模型

1．线性函数模型

线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增加特点是直线上升，其增加速度不变．

2．指数函数模型

能利用指数函数(底数a>1)表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增加速度越来越快，常形象地称为指数爆炸．

3．对数函数模型

能用对数函数(底数a>1)表达的函数模型叫做对数函数模型，对数函数增加的特点是随自变量的增大，函数值增加速度越来越慢．

4．幂函数模型

幂函数y＝xn(n>0)的增加速度介于指数增加和对数增加之间．

函数模型的采纳

(1)当描述增加速度变化很快时，常常采纳指数函数模型．

(2)当要求不断增加，但又不会增加过快，也不会增加到很大时，常常采纳对数函数模型．

(3)幂函数模型y＝xn(n>0)则可以描述增加幅度不相同的变化，n值越小(n≤1)时，增加较慢；n值较大(n>1)时，增加较快．

知识点二指数函数y＝ax(a>1)，对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)增加速度的比较

1．在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但增加速度不相同，且不在同一个“品位”上．

2．在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a>1)增加速度越来越快，会高出并远远大于y＝xn(n>0)的增加速度，而y＝logax(a>1)的增加速度则会越来越慢．

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝x2比y＝2x增加的速度更快些．( )(2)当a>1，n>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logax<xn<ax

1/132019-2020年新导学同步人教A版高中数学必修一练习：第3章+函数的应用+3.2.1+Word版含解析

成立．()答案：(1)×(2)×2．以下函数中，随x的增大，增加速度最快的是()A．＝xB．y＝1000xy3D．y＝x3C．y＝log2x解析：指数函数模型增加速度最快．答案：A13．设a＝log13，b＝1，c＝23，则()23A．a<b<cB．c<b<aC．c<a<bD．b<a<c解析：∵由指数函数、对数函数的性质可知：a＝log13<log11＝22110,0<b＝3<1，c＝23>1，∴有a<b<c.应选A.答案：A4．某同学近来5年内的学习花销y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是()

A．y＝ax＋bB．y＝ax2＋bx＋c

C．y＝a·ex＋bD．y＝alnx＋b

解析：由散点图和四个函数的特点可知，可选择的模拟函数模型

是y＝ax2＋bx＋c.

答案：B

种类一几类函数模型的增加差异例1(1)以下函数中，增加速度最快的是()A．y＝2018xB．y＝x2018C．y＝log2018xD．y＝2018x(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：x151015202530y1226101226401626901y2232102432768××1×1

2/132019-2020年新导学同步人教A版高中数学必修一练习：第3章+函数的应用+3.2.1+Word版含解析

060709y32102030405060y42则关于x呈指数型函数变化的变量是________．【解析】(1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增加速度最快．

(2)以爆炸式增加的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，

四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是

增加速度不相同，其中变量y2的增加速度最快，画出它们的图象(图略)，

可知变量y2关于x呈指数型函数变化．

【答案】(1)A(2)y2,

(1)由题意，指数函数增加速度最快．

(2)观察变量y1，y2，y3，y4的变化情况→找出增加速度最快的变量→该变量关于x呈指数型函数变化

追踪训练1解析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞)上的增加情况．

解析：指数函数y＝2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，

y2－y1＝23－21＝6；

对数函数y＝log2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，

而y2－y1＝log23－log21≈1.5850.

由此可知，在区间[1，＋∞)上，指数函数y＝2x随着x的增加函数值的增加速度快，而对数函数y＝log2x的增加速度缓慢．

在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图象，从图象上可观察出函数的增加变化情况．如图：

3/132019-2020年新导学同步人教A版高中数学必修一练习：第3章+函数的应用+3.2.1+Word版含解析

种类二三类函数图象综合运用

例2判断方程2x＝x2有几个实根．

【解析】设y1＝x2，y2＝2x，作出这两个函数的图象，由图象

知，方程必然有一个负根，当x>0时，开始y1＝x2在y2＝2x图象的下

方，但此时由于y1＝x2比y2＝2x增加的速度快，所以存在x0当x>x0

时，y1＝x2的图象就会在y2＝2x的上方，故此时产生一个实根x0，但

最后还是y2＝2x比y1＝x2增加得快，故存在x1，当x>x1时，y2＝2x的图象又在y1＝x2的上方，故又产生一个实根x1，今后就永远是y2＝2x比y1＝x2增加得快了，故再没有实根了，故此方程有三个实根.

(1)依照指数函数与幂函数增减得快慢以及图象的上下地址判断出可否有实根．

(2)关于较复杂的方程根的个数问题，利用数形结合法较为方便，其解题步骤为：

①先设出两个可画图象的函数；

②画出两个函数的图象；

③由图象观察，其交点横坐标的个数即为方程实数解的个数．

方法归纳

由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法

依照图象判断增加型的指数函数、对数函数和幂函数时，平时是

观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增加，图象最“陡”的函

数是指数函数，图象趋于和缓的函数是对数函数．

4/132019-2020年新导学同步人教A版高中数学必修一练习：第3章+函数的应用+3.2.1+Word版含解析

追踪训练2函数f(x)＝lgx，g(x)＝－1的图象以下列图．

(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；

(2)比较两函数的增加差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．

解析：(1)由题图知，C1对应的函数为g(x)＝－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.

(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；

当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)．

f(x)＝lgx图象是曲线．

g(x)＝－1图象是直线．

种类三函数模型的选择问题

例3某皮鞋厂今年1月份开始投产，而且前4个月的产量分别为1万双，万双，万双，万双．由于产质量量好、款式奇特，前几个月的销售情况优异．为了销售员在销售产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计今后几个月的产量．厂里解析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时严禁备增加设备和工人．若是你是厂长，就月份x，产量为y给出三种函数模型：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝abx＋c，你将利用哪一种模型去估计今后几个月的产量？

【解析】由题意，将产量随时间变化的失散量分别抽象为

A(1,1)，B(2,1.2)，C(3,1.3)，D(4,1.37)这4个数据．

(1)设模拟函数为y＝ax＋b时，将B，C两点的坐标代入函数式，

3a＋b＝，a＝，

得解得2a＋b＝，b＝1.

所以有关系式y＝＋1.

由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每个月上

升1000双，这是不太可能的．

5/132019-2020年新导学同步人教A版高中数学必修一练习：第3章+函数的应用+3.2.1+Word版含解析

(2)设模拟函数为y＝ax2＋bx＋c时，将A，B，C三点的坐标代入

a＋b＋c＝1，

函数式，得4a＋2b＋c＝，

9a＋3b＋c＝，

a＝－，

解得b＝，所以有关系式y＝－2＋＋0.7.

c＝0.7.

结论为：由此法计算4月份的产量为万双，比实质产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每个月下降(图象张口向下，对称轴为x＝3.5)，不合实质．

(3)设模拟函数为y＝abx＋c时，将A，B，C三点的坐标代入函

ab＋c＝1，①2数式，得ab＋c＝，②3ab＋c＝1.3.③

b1－c＋c＝，

由①，得ab＝1－c，代入②③，得则b21－c＋c＝1.3.

c＝－b，＝，1－cb2解得则a＝b＝－0.8.所以有关系式－bc＝1.4.c＝2，1－b＝－×x＋1.4.结论为：当把x＝4代入得y＝－×4＋y1.35.

比较上述三个模拟函数的利害，既要考虑到误差最小，又要考虑

生产的实质，如：增产的趋势和可能性．经过精选，以指数函数模拟

为最正确，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益

6/132019-2020年新导学同步人教A版高中数学必修一练习：第3章+函数的应用+3.2.1+Word版含解析

逐渐提升，一段时间内产量会显然上升，但经过一段时间此后，若是不更新设备，产量必然趋于牢固，而该指数函数模型恰好反响了这种趋势．所以采纳指数函数y＝－×x＋模拟比较凑近客观实质.

经过数据考据，确定系数，尔后解析确定函数变化情况，最后找出与实质最凑近的函数模型．

方法归纳

数学知识本源于客观实质，服务于实责问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具，其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不相同的变化规律需要不相同的函数模型来描述．面对一个实责问题，选择合适的数学模型是一件特别重要的事情，依照三种不相同的增加模型的特点，选择吻合自己的模型，才能产生更大的经济效益．

追踪训练31626年，有人从印第安人手里以60荷兰基尔特(相当于24美元)的代价借用纽约的曼哈顿岛，并在借条上注明：归还此岛时，对方要还本付息，年利率是6%，但借条上没有注明利息是按单利计算还是按复利计算．事隔354年此后的1980年，双方当事人的后代到法院打官司说是利息支付不公，要求法院判明是非．法官请数学家作了计算，结果使法官大吃一惊．请问按两种方法计算出的本息和分别是多少？

解析：若按单利算，本息和是24×6%×354＋24＝533.76(美元)．

若按复利算，本息和是24(1＋6%)354≈×1010(美元)．

理解单利、复利的看法．

利用公式来计算.

[基础牢固](25分钟，60分)

一、选择题(每题5分，共25分)

1．以下函数中，随x的增大，增加速度最快的是( )

A．y＝1B．y＝x

C．y＝2xD．y＝log3x

7/132019-2020年新导学同步人教A版高中数学必修一练习：第3章+函数的应用+3.2.1+Word版含解析

解析：结合函数y＝1，y＝x，y＝2x及y＝log3x的图象可知，随

着x的增大，增加速度最快的是y＝2x.答案：C

2．以下列图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间

与枝数的关系的函数模型是( )

A．指数函数：y＝2tB．对数函数：y＝log2t

C．幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t2

解析：由散点图可知，与指数函数拟合最贴切，应选A.

答案：A

3．已知a，b，c，d四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其

1

经过的行程和时间x的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝x2，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，若是运动时间足够长，则运动在最前面的物体必然

是( )

A．aB．b

C．cD．d

解析：依照四种函数的变化特点，指数函数是一个变化最快的函

数．当运动时间足够长时，最前面的物体必然是依照指数函数运动的

物体．

答案：D

4．在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，

可能正确的选项是( )

解析：函数y＝ax与y＝logax的单调性相同，由此可消除C；直

线y＝x＋a在y轴上的截距为a，则选项A中0<a<1，选项B中a>1，显然y＝ax的图象不符，消除A，B，选D.

8/132019-2020年新导学同步人教A版高中数学必修一练习：第3章+函数的应用+3.2.1+Word版含解析

答案：D时，有5．1＝2x，y2＝x2，y3＝log2，当2<x<4()yxA．y1>y2>y3B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2D．y2>y3>y1解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到以下列图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3log2x，故y2>y1>y3.

答案：B

二、填空题(每题5分，共15分)

6．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小

关系为________．

解析：在同素来角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图象，以下列图，

由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方，则f(x)>g(x)．

答案：f(x)>g(x)

7．据报道，青海湖水在近来50年内减少了10%，若是按此规律，

设2013年的湖水量为m，从2013年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是________．

解析：设湖水量每年为上年的q%，

则(q%)50＝，

1x所以q%＝50，所以x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·50.

x

答案：y＝50·m

8．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系以下列图，以下四种说法：

9/132019-2020年新导学同步人教A版高中数学必修一练习：第3章+函数的应用+3.2.1+Word版含解析

①前三年产量增加的速度越来越快；②前三年产量增加的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变，其中说法正确的序号是________．

解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xα(0<α<1)，反响了C随时间的变化而逐渐增加但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．

答案：②③

三、解答题(每题10分，共20分)

9．每年的3月12日是植树节，全国各地在这日都会睁开各种

形式的植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案以下：

方案一：每年植树1万平方米；

方案二：每年树木面积比上一年增加9%.

哪个方案较好？

解析：方案一：5年后树木面积为：10＋1×5＝15(万平方米)．

方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米)，由于15.386>15，所以方案二较好．

10．某公司拟投资100万元，有两种投资方案可供选择：一种是年利率为10%，按单利计算，5年后回收本金和利息；另一种是年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后回收本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到万元)

解析：本金100万元，年利率为10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．

本金100万元，年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．

因此可知，按年利率为9%每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为10%单利计算的更有利，5年后多得利息万元．

[能力提升](20分钟，40分)

11．四个函数在第一象限中的图象以下列图，a、b、c、d所表示

的函数可能是( )

10/132019-2020年新导学同步人教A版高中数学必修一练习：第3章+函数的应用+3.2.1+Word版含解析

A．：＝xb：y＝x2c：y＝xd：y＝2－xay2b：y＝2xc：y＝2－xd：y＝xB．：＝x2ay2b：y＝2xc：y＝xd：y＝2－xC．：＝xayb：y＝x2c：y＝2－xd：y＝xD．：＝xay2解析：依照幂函数、指数函数、对数函数的性质和图象的特点，a，c对应的函数分别是幂指数大于1和幂指数大于0小于1的幂函数，且b，d对应的函数分别为底数大于1和底数大于0小于1的指数函数．

答案：C

12．已知a＝2，b＝log2，c＝2，则a，b，c的大小关系

为________．

解析：∵a＝2<1<2＝c，∴c>a>0.

又∵b＝log20.3<log21＝0，∴c>a>b.

答案：c>a>b113．现有某种细胞100个，其中占总数2的细胞每小时分裂一次，

即由1个细胞分裂为2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以高出1010个？(参照数据：lg3＝，lg2＝0.301)

解析：现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总

数；

1h后，细胞总数为

1132×100＋2×100×2＝2×100；

2h后，细胞总数为

131392×2×100＋2×2×100×2＝4×100；

3h后，细