理论力学-cha9.0静力学能量方法概述

静力学能量方法:概述力的功虚功原理广义坐标有

系统的平衡及其稳定性静力学能量方法:概述力的功虚功原理广义坐标有

系统的平衡及其稳定性2W2W2W2W9.0

静力学能量方法：概述问题:已知各均质杆长为L，重为W，求系统在图示位置平衡时，所需水平力F

的大小。(忽略所有摩擦）FF

W

tan应用静力学的矢量方法不易求解。静力学能量方法:概述力的功虚功原理广义坐标有

系统的平衡及其稳定性在矢径增量dr下，功的增量或称元功vzOrr

dr

FyABdrx力的功1力的功元功在变力作用下的质点沿曲线运动。其中用ddW

F

d

r而不是d表示元功,表明d

W

通常不是函数W

的全微分而仅仅只是一个无限小的表达式。直角坐标系表示dFr

FdxixiFdy

yj

jFdz

kz,k自然坐标系表示F

Fnn

Fτ

Fbb,

d

r

d

sτdW

F

xd

x

F

y

d

y

Fz

d

zdW

F

d

s

F

cos

d

s1.2

功质点在的F作用下从点A运动到点B相应的功为WAB

(F

)

F

d

rAB与运动路径无关时BWAB

(F

)

F

d

rA直角坐标系表示WAB

(F

)

Fx

d

x

Fy

d

y

Fz

d

z

AB自然坐标系表示WAB

(F

)

F

d

sAB2

力系的功Fi

(i=1,2,…,n)作用在矢径为ri的各质点上质点。力系的元功为ndW

Fi

d

rii1力系的功为WA

B

(F

)

n

Fi

d

rii

ii1

Ai

Bi力系的(元)功为该力系所有力的(元)功的代数和。例1质点系内力的元功。解:

考虑一对内力FjiOxyzrijrFijrij

dW

F

d

r

F

d

r

F

d

r

F

d

r

ij

i

ji

j

ij

i

ij

j

Fijdi

j

ij

ijr

r

F

d

r当且仅当两质点间的距离不变时，非零内力的元功为零。弹簧刚性杆不可拉伸绳dl

0内力做功的例子：dl

0d

l

0,

F

0d

l

0,

F

0发

内力作正功，汽车加速行驶；机器中内摩擦作负功，转化为热能；人骑自行车,内力作功，加速行驶；外力使弹性体变形，内力作负功。

力偶的功力偶M所做的元功.M

LFFF

'OLddrdW

F

d

r

FL

d

M

ddW

M

d力矩的功

rA

d

tni12W

1

2

M

d1

作用在刚体上力的元功d

ri

d

rA

ridW

Fi

drA

ri

rA

d

t

n

ni1

i1

Fi

d

rA

Fi

ri

rA

ddW

FR

d

rA

MA

dMO例2轮在水平面上做无滑移滚动.一恒力如示作用在轮上。当轮心平移距离为

s时求力的功。解:

将力向运动已知的点O简化。元功dW

F

d

r

M

d

F

cos

d

s

Fr

d功FsoRrFsoRFM

rM

FrW

d

W12

120s

R0Fr

ds

F

cos

d

s

F

cos

d

s

Fr

dR

Fs

cos

Fr

s3

常见力的功

弹簧弹力考虑刚度为k的弹簧，其弹力与弹簧的拉伸压缩变形成正比。弹簧原长为l0。求质点在任意位移M1

到M2时弹簧力作用在质点上的功。M1M2F

d

r

W

M1M2k(r

l0

)er

d

rrr

2r2re

d

r

r

d

r

1

d(r

r)

1

d(r

2

)

d

r

l0

2l0

10k r

l

d

rW

21

2k

22

万有引力(重力)质量为m2的质点在质量为m1的质点引力场运动。引力做功1m2mm2r1r2在地球的重力场内M1M2F

d

r

W

M1M

2r2rGm1m2

e

d

rer

d

r

er

drer

er

er

d

r

r

d

er

er

er

d

r

rer

d

er

d

rer

d

er

der

er

0r2r2

Gm1m2d

rrW

11

2

Gm

m

1 1

r

r

2 1

r r

2 1

W

mgR2

1

1

mg

r2

r1

摩擦力

平移刚体的滑动摩擦vFFNNFFAvM

fM

fAW

fFN

s摩擦力的功取决于质点在力作用下的实际路径。dW

F

d

r对恒定FN,

滚动刚体滑动摩擦dW

F

d

rA

F

vA

d

t纯滚动dW

0

滚阻力偶f

fdW

M

d

M

d

tN

fF

d

s4

约束力不做功的约束

刚体固定光滑面上的平移:

支座:dr=0

或FN⊥drdW

FN

d

r

0固定铰链支座滑移支座滑动导向FN⊥drdW

FN

d

r

0

柔索,带,链,或绳:不可拉伸dW

0

刚体在固定面上的无滑滚动F

FN

活动铰链dW

FN

d

r

FNd

r

FN

d

r

FN

d

r

0dW

0静力学能量方法：概述力的功虚功原理广义坐标有

系统的平衡及其稳定性9.2

虚功原理1

虚位移虚运动用功的概念分析处于的稳态系统，需引入虚运动的概念。虚是一个历史形成的修饰语，其真正意义为虚构的或假想的。在虚运动中,假设系统从静平衡位置开始运动。在虚运动中所有作用在系统上的力大小方向保持不变。力的作用点也保持不变。虚位移任何满足约束条件(运动学所允许)的无限小假想位移称为虚位移.虚位移实际可能并未发生。通常用d表示的(真实的)无穷小位移。为强调虚位移的假象特性，通常用表示虚位移。OArAA

r

A

900OBB

rrB

r

AB

rBrBrA虚位移和真实位移虚位移和真实位移2

虚功作用在质点上的任意力在虚位移下所做的功称为虚功.W

F

r对质点系nW

Fi

rii1n平移刚体的光滑平面滑移支座纯滚动刚体接触面柔索,带,链,或绳铰链滑动导向i1理想约束若质点系中约束力在质点系任意虚位移上做的虚功之和为零，则该约束称为理想约束。

FNi

ri

03

虚功原理

Fi受理想约束的质点系其静平衡的充分必要条件为所有主动力在质点系的任意虚位移下所做的虚功之和为零.必要性：nri

0i1(i

1,!,

n)Fi

FNi

0

(Fi

FNi

)

ri

0nni1n

ni1

i1

Fi

ri

FNi

ri

0||0充分性?虚功原理,也被称为虚位移原理FiNiFiri

Fi

ri

0i1平衡例3力矩M作用在曲柄上,已知OA=r,AB=l,和。求为达到平衡作用在活塞B的水平压力F。OABθMFB

AA

r.

r

cos

r

cos

90o

r解:研究系统。受理想约束。应用虚功原理M

FrB

0.虚位移之间的关系rB

r

sin

.cosrBr

sin

cos

0.M

F

0.r

sin

cos

0.M

FF

M

cos

.r

sin

OArABθMF例4力F1

、F2

和力偶M作用在图示结构上。求固定端A处的约束力偶。解:研究系统。所受约束均为理想约束。解出所求约束力偶的约束，把约束力偶变为主动力偶，固定端变为固定铰链支对座系。统应用虚功原理F1r1

F2r2

M

MA

0.虚位移之间的关系r2

2a,3ar1

a

rC

,

rC

r2,1

3F

2a

2aF2A

M

0.

0.AM

2a

1

F

F

.3

1 2

BC

0.rC1raaa1F

2FABMDAaaa1F2Fr2AMBCCMD图示机构中，O1A=O3C=O3D=l，套筒C可在O2C杆上滑动，图示位置O1A铅直，杆CD、AB水平，O2B=BC。已知力偶矩M，求平例5Ao602OB1OO3FDδDδrδrAδrBδrCδrrCδre衡时的力F。解:

研究系统。约束均为理想约束。应用虚功原理FrD

M

0.虚位移关系(运动学分析)lδrA

δrB

cos30,

δrC

δrD

,Mδ

δrA

,δrC

δre

δrr

,2e

C2δr

1

δr

,

δrB

1

δre

,3δ

δrD

,8lD

D8lFr

M

3

δr

0.rD

0.3M

.8lF

练习图示滑块连杆机构，已知OA＝r，力偶矩M，求平衡时力F。FABCD30o30o30oO1OMrFABCDM30o30o30oO1ODδrδrCAδrδrBδ静力学能量方法:概述力的功虚功原理广义坐标有

系统的平衡及其稳定性9.3

广义坐标1

约束及其分类约束在很多物理和工程问题中,质点系并非的，而是受运动学条件约束限制了

运动。例如，大部分刚体运动因为与相邻机构连接而受到限制。限制刚体运动(包括位置、速度、甚至加速度)的条件被称为约束。约束可以看作是阻碍物体运动的周围物体。(第一章)约束的数学表示为约束方程，虽然必要时也需要不等式。

等式或不等式?用等式形式表示的约束称为双面约束。用不等式形式表示的约束称为单面约束。分类和实例y

0y

0双面约束和单面约束的例子x2

y2

l

2x2

y2

l

2双面约束单面约束

自治或非自治?数学表达式不显含时间的约束称为定常约束。数学表达式显含时间的约束称为非定常约束。x2

y2

l

2x2

y2

(l0

vt)2

可积或不可积?数学表达式不显含速度或可以积分为不显含速度形式的约束称为完整约束。s&R&

0s

R

c

0圆盘纯滚动约束方程积分完全约束的例子x2

y2

l

2非完整约束的例子冰刀xxyyo

vx!y!tan

y&x&sin

x&cos

y&

0人力车xxcyycov

x!cy!ctan

cy&x&c数学表达式显含速度且不能积分为不显含速度形式的约束称为非完整约束。2

广义坐标系统位形的独立参数称为该系统广义坐标。广义坐标选取不唯一，可以是(线性)位移或角位移。

系统中所有质点的矢径和直角坐标为广义坐标的函数：ri

ri

q1,q2,L

,

qs

,t

i

1,2,L

,

N

i

1,2,L

,

N

i

1,2,!,

N

广义速度：广义坐标的时间导数。k1

qkxi

xi

q1,q2,L

,

qs

,t

,

yi

yi

q1,q2,L

,

qs

,t

,

zi

zi

q1,q2,L

,

qs

,t

sr

r!ir

i

q!kitssx

xy

yk1

qk

k1

qk

k1

qkszzix!

i

kq!

ii,

y!

i

q!k

i

,

z!i

i

q!k

it

t

ti

1,2,!,

N

广义加速度：广义坐标的2阶时间导数。k1

qkj1k1

qkqjs

s

sk1sr

2r2r

2r!r!i

i

q!!k

iq!k

q!

j

iq!k

iqkt

ti

1

,

2

,

!

,

N

yAABO

xy图1yxMll图2ABAxylo图3图4Ay

sin

tABxylo例6求图示系统的度并选择广义坐标系。解:3度系统广义坐标的独立变分数目称为该系统的

度数，简称

度。度就等于广义坐标的数目。度就等于广义坐标的数目与非受完整约束系统的受非完整约束系统的完整约束数目的差。空间中不受约束的质点位置可由3个坐标描述.因此,受s个约束的

N个质点的质点系，其 度m为m

3N

s空间中作平移运动或一般平面运动的刚体 度为3,而绕固定轴旋转的刚体 度为1.解:

当做由3个质点A,

B

和C

(同一平面内)组成的质点系时m

2N

s

2

5

5

1当做由4个刚体O1A,O2B,AB和BC组成系统做平面运动时m

3N

s

3

4

2

5

1

1当做由5个刚体O1A,O2B,AB,BC和C组成系统做平面运动时m

3N

s

3

5

2

6

2

1ABO2例7将图示机构分别视作质点系和刚体系统，求其

度。O1C4

虚位移用广义坐标(等时)变分表示实际的无穷小的位移可以用广义坐标的微分表示类似地，由泰勒展开得出虚位移和广义坐标变分间关系sqrir

i

k

1

kqk

i

1,2,L

,

N

sssxiyiqk

1

kqk

1

kqk

1

kzix

i

q

,

y

k

i

q

,

z

k

i

qk

,

i

1,2,L

,

N

i

1,2,L

,

N

sqk

1

kri

rid

r

i

d

qk

t

d

t直角坐标表示例

8曲轴的运动可以通过广义坐标

描述.已知

OA=r,

AB=l和 。用广义

坐标变分描述A和B虚位移OABθMF是非独立的且满足约束方程l

sin

r

sin.解:几何关系xA

r

cos

,

yA

r

sin

;xB

r

cos

l

cos,

yB

0.

和rBl

cos

r

cos.

r

cos

.l

cos计算变分因此xA

r

sin

,yA

r

cos

;BBl

cos

cosx

r

sin

l

sin

r

cos

r

sin

(

)

,

y

0.与例3

比较

r

sin

.cosAr

r

,

rBOArABθMF例92W

2W

2W

2W每根杆的重量为2

W

，已知。求保持平衡需要施加的力F。Fxy123452yi

L

cos

, (i

1,

2,

3,

4),

x5

4L

sin.解:

研究系统。 度为1，约束均为理想约束。应用虚功原理Wy1

W

y2

W

y3

W

y4

F

x5

0.用选择的广义坐标

下表示相应各坐标(4WL

sin

4FL

cos

)

0.

0.F

W

tan.Lyi

2

sin

,

x5

4L

cos.代入虚功原理计算变分5

广义力虚功用广义坐标变分表示i1i

iW

N

N

sriikk

1

kq

q

F

r

F

N

siki1

k

1qkqF

ris

Niqk

1

i1

ki1F

ris

Nk

1

i1

k

iq

k

iF

q定义广义坐标qs

(s=1,2,…,n)对应的广义力k

1,2,L

,

s

Ni1riqkQ

k

iF

物理意义，在广义坐标变分qk上作功的力。直角坐标表示k

1,2,L

,

s

k

kN

xi

yi

zi

i1

k

Qk

Fix

q

Fiy

q

Fiz

qk

1s

Q

qr

qkk

k例10计算例子3,4,和8.中的广义力解:在例3中r

sin

.cosQ

M

F在例4中3Q

F1

2a

2aF2

M

A

.在例9中Q

4WL

sin

4FL

cos.例11确定重力W1

和

W2

在给定的广义坐标yA

和

下的广义力。解:

用广义坐标表示相应力作用点的坐标。yAxyloAW1W2

B

AyA

A

BAy

y

,

y

y

l

cos.k

1,2,L

,

s

kN

xiyizi

F

FiziyQk

Fix

qk

i1

W1yA应用公式1AQ

W1

yAAW2

yByy2

l

cosAAyA

yWy1

2

W

W

,22yB:令yA0

且=0.Q

W1

yA

W12A

y

l

cos

W

yAW2

W

l

sin.kj

1W

Qj

qj

Q1yA

Q2.Q1yA

W

W1yA

W2yA

W1

W2

yA.Q1

W1

W2.Q2

W2l

sin.令yA=0

且

0.Q2

W

W1

0

W2l

sin

W2l

sin.6

广义坐标表示的虚功原理虚功原理N

Fi

ri

0i1N

s

Fi

ri

Qk

qki1

k

1广义力的定义sk

1Qk

qk

0完整系统qk的独立性Qk

0

k

1,

2,...,

s

受完整理想约束系统保持静态平衡的充分必要条件是所有的广义力为零。yxl1l2m1g2m

gFO解:例12确定平衡位置，已知l1

l2

l,

m1

m2

m,

F

mg力作用点直角坐标用广义坐标表示yA

l1

cos

,yB

l1

cos

l2

cos,

xB

l1

sin

l2

sin计算广义力完整理想约束系统，广义力表示的虚功原理2mgl

sin

mgl

cos

0,mgl

sin

mgl

cos

0tan

1

2

,tan

12AQ1

m1g

m

g

yBy

F

xB2Ay

m

g

yBQ2

m1g

F

xB

2mgl

sin

mgl

cos,

mgl

sin

mgl

cos

0,

0

0,

0yx1ll2m1g2m

gF1r:Q

0,(

j

1,2)j

0,

0j12OQjqj

0W

r

r1

2m1g

r1

m2

g

r2

F

r2

0(2mgl

sin

mgl

cos

)

0r2yx1ll2m1g2m

gFOr2

0,

0m2

g

r2

F

r2

0(mgl

sin

mgl

cos)

0tan

1tan

12静力学能量方法:概述力的功虚功原理广义坐标有

系统的平衡及其稳定性9.4

有势场的平衡及其稳定行1有

场若质点在空间区域内任意位置处都受到大小和方向单值确定的力作用，则称该区域为力场。若力场作用在质点上的力沿封闭路径(初位置末位置相同)做功为零，则该力场被称作有 场或保守力场。该力称为有

或保守力.作用在质点上有

的功只与初始位置有关，与路径无关。数学等价条件(2)有势(3)无旋WAB

(F

)

Fx

d

x

Fy

d

y

Fz

d

z

AB存在函数U使得(1)保守

与路径无关；x

yzF

U

,

F

U

,

F

U

;x

y

zFz

Fy

0,

Fx

Fz

0,

Fy

Fx

0.y

z

z

x

x

y02

势能在 场中，质点系从位形A运动到参考位形A0过程中有所做的功，称为该质点系在

A处相对于A0处的势能。V

(x,

y,

z)

WA

A势能函数V(x,y,z)为力函数U的负值，即V=。设势能为V(x,y,z)的质点,受有F

Fxi

Fy

j

Fz

k则Uy

zF

V

,

F

V

,

F

Vx

yzx例如,重力势能xyzmgMOA

A0Vg

W

mg

mgzV

g

mgxyzVg

VgF

0,

F

0,

Fxyz

有

的功质点从位置A1到位置A2有

的功WA

A

WA

A

WA

A

WA

A

WA

A1

2

1

0

0

2

1

0

2

0

V

x1,

y1,

z1V

x2

,

y2

,

z2

的功等于初位置与末位置处势能之差。有例如,弹力势能2Vk

1

k

2W

k

2 2

M1

M

212k2

V

(x1,

y1,

z1,L

,

xN

,

yN

,

zN

)

Vi

(xi

,

yi

,

zi

)i1用广义坐标系qk

(k=1,2,…,s)描述该质点系，则V

(q1,

q2

,L

,

qs

)

V

(xi

(q1,

q2

,L

,

qs

),

yi

(q1,

q2

,L

,

qs

),

zi

(q1,

q2

,L

,

qs

))

势能和广义力势能为Vi(xi,yi,zi)的质点Pi

(i=1,2,…,N)构成的质点系，若只受有 ，则称该系统为保守系统

。质点系总势能kki1

Qk

Fix

q

Fiy

q

Fiz

qN

Nxiyi

zi

iV

x

V

yi

V

zik

i1

ik

y

q

z

qi

k

i k

x

q广义力Nk

VqkQQk

0

k

1,2,L

,

s

场中系统平衡的充分必要条件为V

0有3

有

场的平衡用广义坐标qk

(k=1,2,…,s)描述质点系的运动，其势能为V。根据广义坐标表示的虚功原理，平衡的充分必要条件k

1,2,L

,

s

qkW

0V

0kQ

Vqk数学上，势能为驻定值。V

0直接推导niy

iiz

ii1

ix

iF

x

F

y

F

zW

ni

iiy

zii

xi1

i

V

x

V

y

V

z

V例13台面重为W、长

l、偏心为

a，由3个不计质量的弹簧支撑，弹簧刚度为k。试确定桌面平衡位置。laWClDABkkk(a)OOyAyCyByDDW(b)解:研究系统，由度为2。选变形y

和转角

作为广义坐标D用。广义坐标表示各受力点坐标。yA

yD

l,

yC

yD

a,

yB

yD系统势能为

l.

A

B

C

D

g用广义坐标系表示势能2122D

DD2DV

(

y

,)

W

(

y

a)

1

k

(

y

l)

kyD

1

k

(

y

l)2

.2V

W

k

(

y

l)

ky

k

(

y

l)

0,

V

Wa

kl(

y

l)

kl(

y

l)

0.D

D

D

D

DyDOOAyyCDyBφy

DW(b)平衡条件y

W

,

Wa

.D3k2kl

222kC

A

DV y

,

y

,

y

,

y

V

V

Wy

1

ky2

1

ky22B

1

ky2

.例14，两个长为l

质量不计的杆AC

和BC共同支撑质量为m的物块。刚度为k的弹簧在两杆垂直时为原长。试用

表示其平衡位置。DABCllθk

Wθ

θ(a)2解:g

kV

V

V

mgl(1

cos

)

1

k

(2l

sin

)2

.平衡条件V

4kl

2

sin

cos

mgl

sin

0.解出平衡位置BVk

kx2

.mg

4kl

.1

24kl

0,

arccos

mgyyCCyCBxBθ=mgθWA

F=kxBxB:C

B应用虚功原理W

y

Fx

0.用广义坐标表示力作用点坐标yC

l

cos

,

xB

2l

sin.用广义坐标变分表示虚位移yC

l

sin

,Bx

2l

cos

.(mgl

sin

4kl

2

sin

cos

)

0.xyxBl0研究系统。标C。0度为1。取角作为广义坐2