弧长和扇形面积讲义

WORD完美格式编辑WORD完美格式编辑专业资料整理专业资料整理学科教师辅导讲义教学内容同步知识梳理.圆周长：C■2・圆面积：S■■2.圆的面积C与半径R之间存在关系C■2BR，即360°的圆心角所对的弧长，因此，1°的圆心角所对的弧长就是2大^就^是 - 。n°的圆心角所对的弧长是n!R180P120P120两*这里的180、n在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。.由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。.在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S・*2，所以圆心角为n°的扇形面积是：S ■n^RL11R（n也是1°的倍数，无单位）扇形360 25.圆锥的概念观察模型可以发现：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。如图，从点S向底面引垂线，垂足是底面的圆心0，垂线段SO的长叫做圆锥的高，点5叫做圆锥的顶点。卜口锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。也就是说，把直角三角形SOA绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。其中旋转轴SO叫做圆锥的轴，圆锥的轴通过底面圆的圆心，并且垂直于底面。另外，连结圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段SA、SA1、SA2、……都叫做圆锥的母线，显然，圆锥的母线长都相等。母线定义：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。P1226.圆锥的性质由图可得（1）圆锥的高所在的直线是圆锥的轴，（2）圆锥的母线长都相等恨

底

沁车洪它垂直于底面，经过底面的圆心;7.圆锥的侧面展开图与侧面积计算圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长。圆锥侧面积是扇形面积。如果设扇形的半径为l，弧长为C,圆心角nH，则它们之间有如下关系:180同时，如果设圆锥底面半径为r,周长为c,侧面母线长为l，那么它的侧面积是:1,圆侧向2c1■■1圆锥的全面积为：■lBlt2例：在。中，120°的圆心角所对的弧长为80Ifcm,那么。O的半径为答案：120cm。解：由弧长公式：l■180幽■18。■8°・B120cmn・ 120・例：若扇形的圆心角为120°,弧长为10Um,则扇形半径为,扇形面积为答案：15:25n例：如果一个扇形的面积和一个圆面积相等，且扇形的半径为圆半径的2倍，这个扇形的中心角为答案：90°例：已知扇形的周长为28cm,面积为49cm2答案：7则它的半径为cm。BCDOBCDO例：两个同心圆被两条半径截得的AB■10-,CD■6■，又AC=12,求阴影部分面积。1口兀解：设OC=r，贝OA=r+12,NO=nl

CDl

CD喘・6・2CD2■962CD2■96■例：如图，已知正方形的边长为a,求以各边为直径的半圆所围成的叶形的总面积。■■60:■18・•・OC=18,OA=OC+AC=30■S.-S扇ab・S扇cod2AB_1___1 ■—・10・・30■—■6・・18解：二•正方形边长为a・・・工・a2,S半圆・・・工・a2,S半圆22■1”8_1 1■—IK.2■—■S正方形■2S ■S半圆 两个空白处1 1■a2■2■—M■a2■—M■S四个空白处・■S四个空白处・2s2个空白■S四个空白处1■2a2■—M21 1■a2■(2a2■—•2)■—M■a22 21.•.叶的总面积为一・2■a22*也可看作四个半圆面积减去正方形面积1a 1■4S■S■4■—■—)2■a2・一・2■a2半正2 2 2例：已知AB、CD为。O的两条弦，如果AB=8,CD=6,AB的度数与CD的度数的和为180°,那么圆中的阴例：影部分的总面积为？解：将弓形CD旋转至8,使D、B重合如图，C点处于E点■ABE的度数为180AAE是。O的直径•・NABE=90°又•••AB=8,BE=CD=6由勾股定理AE■482|62■10，， 1——•・半径OA■—■10■52■S■S ■S阴半圆 4BE■S■S ■S阴半圆 4BE_1___1 52 ■6■垩.242例：在4AOB中，N0=90°,OA=OB=4cm,以O为圆心，OA为半径画AB，以AB为直径作半圆，求阴影部分的面积。

解：•••OA=4cm,NO=90°・•・S扇形AOB解：•••OA=4cm,NO=90°・•・S扇形AOB.90■■■42360■41tmAB■4v2cmS■8(cm2),S J2"2)2■4.cm2)4OB 半圆2S ■S ■S ■(4aa8)(cm2)弓形AmB 扇形AOB 4OB则阴影部分的面积为：S ■S ■S阴影半圆 弓形AmB4aa(4aa8)■8(cm2)、凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以o、凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以例：①、②……m是边长均大于2的三角形，四边形、为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，(1)图①中3条弧的弧长的和为图②中4条弧的弧长的和为中n条弧的弧长的和(用n表示)⑵求图中n条弧的弧长的和(用n表示)解：(1)n,2n(2)解法1：n边形内角和为：(n-2)180°TOC\o"1-5"\h\z前n条弧的弧长的和为：(n・2)180■1(n■2)个以某定点为圆心，以1为半径的圆周长360 2•・n条弧的弧长的和为：2・・1・1(n■2)■(n■2)・2解法2：设各个扇形的圆心角依次为■。,■。，…,■。1 2 n则■。■■。■…■。・(n■2)180。1 2 n' /・•・n条弧长的和为:B5・i ・i….BJm180 180 180—(■■■…”)1801 2J—(n■2)■180180(n■2)・例：如图，在RtAABC中，已知/8。人=90°,/8人。=30°,AC=6m,把4ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转到AB边的延长线上的点C'处，那么AC边扫过的图形(阴影部分)的面积为？分析：在RtAACB中，NC=90°,NBAC=30°,AB=6BC■2.AB■3,■CBA■60。AC■vAB2■BC2■3<3法一：S ■1BC'IA'C'■1■3■3v3■出TOC\o"1-5"\h\z"A'C'B2 2 2S ■n52■120・・62■12.扇A'BA360 360S ■W32■3・扇形c'bc 360S ISISISIS ■9・阴影扇A'BAHA'C'B扇C'BC4CB法二：以B为圆心，BC为半径画弧交A'B于D,AB于D'有S.A'C'B S…'S扇C,BD・S扇CBD,

■SJS扇ABA,■■SJS扇ABA,■S扇D,BD120・・62■120・・32■12»3»9・360360例：如图，已知RtAABC的斜边AB=13cm,一条直角边AC=5cm,以直线AC为轴旋转一周得一个圆锥。求这个圆锥的表面积。如果以直线AB为轴旋转一周，能得到一个什么样的图形？解：BC■<132■52■12(cm)以直线AC为轴旋转一周所得的圆锥如图所示，它的表面积为:S■S■S■■■122■■■12B13■30011cm2)表底侧以直线AB为轴旋转一周，所得到的图形如图所示。1CD■13 5■122CD■竺13S■S■S■■■CD■BC■■■CD■AC上下

■■■60■■■60■12■■■60■513■■■60■171313例：一个圆锥的模型，这个模型的侧面是用一个半径为9cm,圆心角为240°的扇形铁皮制作，再用一块圆形铁皮做底，则这块图形铁皮的半径为。答案：6例：若圆锥的轴截面是一个边长为2cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是。答案：2n例：已知圆锥的底面半径为40cm,¥线长为90cm,则它的侧面展开图的圆心角为答案：160°例：若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面展开图的圆心角是答案：180°例：如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm,¥线长50cm。(1)画出它的展开图；(2)计算这个展开图的圆心角及面积。解：(1)烟囱帽的展开图是扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面周长(如图)(2)设扇形的半径为l，弧长为c,圆心角为a,则l=50cm,c■80・m■■■照■■■180■80・ooo1后、■c■ ■ =288(度)180 50・S■・l■■40■50■6280(cm2)扇形例：一个圆锥的高是10cm,侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积。

2・,c■2・解：设圆锥底面半径为r,2・,c■2・22・即——■2・,・l■2r2在RtASOA中，12■r2■10210v3 20v3.、由此求得r■ (cm),l■ (cm)3 3故所求圆锥的侧面积为S圆侧町l■■■手■学■2r（加2）例：蒙古包可以近似地看作圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为91m2,高为3.5m,外围高4m的蒙古包，至少要多少平方米的毛毡?解：■S--9-r■3Vh1=4,Al■qhj.r2.5・l■2・h■■■3■5■2・3■3.515・21・36・S■20■36・720・总答：至少要720■平方米的毛毡。【模拟试题】

［基础演练］.已知扇形的弧长为6ncm,圆心角为60°,则扇形的面积为。.已知弓形的弧所对的圆心角为60°,弓形弦长为a,则这个弓形的面积是。.如图，在平行四边形ABCD中，AB■4<3,AD■2右，BD^AD,以BD为直径的。O交AB于E,交CD于F,则图中阴影部分的面积为 。.如图，AB是。O1的直径，AO1是。O2的直径，弦MN//AB,且MN与。O2相切于C点，若。O1的半径为2,■■则O1B、BN、CN、01c所围成的阴影部分的面积是。.如图，4ABC为某一住宅区的平面示意图，其周长为800m,为了美化环境，计划在住宅区周围5m内，（虚线以内，4人8。之外）作绿化带，则此绿化带的面积为 。.如图，两个同心圆被两条半径截得的AB■6-m,CD■10-m,0O′与AB,CD都相切，则图中阴影部分的面积为。

120［综合测试］7.如图,AC和线段BC所围成的图形面积是.一■扇形纸扇完全打开后8.如图,,贴纸部分的面积为（)B.C.8001fcm25001fcm2D.9.如图，在同心圆中两圆半径分别为2、4，，，A.120［综合测试］7.如图,AC和线段BC所围成的图形面积是.一■扇形纸扇完全打开后8.如图,,贴纸部分的面积为（)B.C.8001fcm25001fcm2D.9.如图，在同心圆中两圆半径分别为2、4，，，A.4■B.D.■C.4■3则阴影部分的面积为（ ）10.一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平翻滚（如图），那么，B点从开始至结束所走过的路径长度为（ ）NAOB=120°则由AB,A800A.-3-Um2500.m2外侧两竹条AB,AC的夹角为120°,AB长为30cm,贴纸部分BD长为20cm,OA是。O的半径，AB是以OA为直径的。O的弦，OB的延长线交。O于点C,且OA=4,NOAB=45°,C.4B.C.43（2004•湖北黄冈）如图，要在直径为50cm的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面，问怎样才能截出直径最大的凳面，最大直径是多少厘米？［探究升级］（2004•新疆）在相距40km的两个城镇A、B之间，有一个近似圆形的湖泊，其半径为10km,圆心恰好位于A、B连线的中点处，现要绕过湖泊从A城到B城，假设除湖泊外，所有的地方均可行走，有如图所示两种行走路线，请你通过推理计算，说明哪条路线较短。（1）的路线:（2）的路线:（1）的路线:（2）的路线:线段AC■CD■线段DB线段AE■EF■线段FB（其中E、F为切点）［参考答案］1.27・m23.1515J3■3・24.1.27・m23.1515J3■3・24.oJ322.(6■7a2—■◎■112 25.(25・400)m26.60・m27.ABB11.截法如图所示根据圆的对称性可知：01,03都在。O的直径AB上，设所截出的凳面的直径为r则O,Ojr,00=r,OO■.；,2r12 23 13又丁OO■AB■(OA■OB)■50■r13 1 3；2r■50■r,・(v-2■1)r■50r■50