不定积分练习题

页眉内容不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）dx２）22xxx３）(x2)dx４）2x21x223x52xcos2x５）６）dx3cos2xsin2xx31７）(2ex)dx８）xx2)xxdx２、求下列不定积分（第一换元法）拟写、标准页眉内容１）2x)3dx２）323x３）sinttdt４）xxx)５）dxcosxsinx６）dxexex７）xcos(x2)dx８）3x31x4９）sinxdx10cos3x）1x94x2拟写、标准页眉内容11）dx2x1212）cos313)sin2xcos3xdx14)tan3xsecxdxx3115)16)dx9x3cosx4sinx22217)102arccosx1x2dx18)arctanxxx)dx3、求下列不定积分（第二换元法）1１）２）sinx1x2xdx拟写、标准页眉内容３）x24x2４）xax22dx,(a0)５）dx(x23６）12x７）x1x2８）11x2４、求下列不定积分（分部积分法）１）２）arcsinxdxx３）x2lnxdx４）e2xsindx2拟写、标准页眉内容５）x2arctanxdx６）x2cosxdx７）ln2xdx８）x2cos2x2dx５、求下列不定积分（有理函数积分）１）x3x3２）2x3x3x102dx3）x(x2（Ｂ）一曲线通过点(e2，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。拟写、标准页眉内容已知一个函数F(x)的导函数为11x23，且当x1时函数值为，试求此函数。2证明：若f(x)dxF(x)c，则1f(axb)dxF(axb)c,(a0)。a设f(x)的一个原函数为sinxx，求(x)dx。求下列不定积分１）cos2xdx２）1sin2xdx2拟写、标准页眉内容３）1x21x４）x1x1x５）(x2a2x2b2)６）xx2ax7）xx1x8）xearctanx3x2)2dx（Ｃ）求以下积分１）xexex1dx2)sin(2x)2x拟写、标准页眉内容３）ee2xxx5４）dx4x31５）x5xx81６）sinxcosxdxsinxcosx不定积分习题答案（Ａ）1xc（２）233xc2（３）13x32x24xc（４）xxc2)x（５）2x3ln2ln3c（６）xx)c（７）ex3lnxc（８）4(x27)74xc拟写、标准页眉内容1122x)4c（２）(23x)3c82（３）2costc（４）lnlnxc（５）xc（６）arctanexc13

（7）sin(x2)c（８）ln1x4c

24（9）112x1c(10)arcsin94x2c2cos2x234(11)1222x12x1c(12)x3x3c111(13)cosxcos5xc(14)sec3xsecxc21031912(15)x2x2)c(16)c22233(17)2x2ln10c(18)(arctanx)2c3、(1)lnttc（2）2(xcosxsinx)c（3）x242)c2xa2xx(4)2aa2a2x2)cx(5)c(6)2x2x)c1x2拟写、标准页眉内容1x(7)(arcsinxlnx1x2)c(8)x211x2c4、(1)xcosxsinxc(2)xx1x2c112xx

(3)x3lnxx3c(4)e2x(cos4sin)c

391722111(5)x3arctanxx2x2)c366(6)x2x2xx2sinxc（7）xln2x2xx2xc11(8)x3x2sinxxcosxsinxc62135、(1)x3x29x27lnx3c(2)x2x5c321(3)lnxln(x2c2111

(4)lnxlnx1ln(x2arctanxc

2421x2132x1(5)lnarctanc2xx1332(B)1、设曲线yf(x)，由导数的几何意义：y11，dxlnxc，点(e2代入即可。xx2、设函数为F(x)，由F(x)f(x)11x2，得3F(x)f(x)dxarcsinxC，代入)即可解出。2拟写、标准页眉内容3、由假设得F(x)f(xF(b)f(b)，故11[F(axbF(axbf(axb)dxF(axb)c。aa４、把f(x)凑微分后用分部积分法。cos2x1cosx22（２）注意cosxsinx0或cosxsinx0两种情况。11（３）利用arctanarccotx,dxd(arccotx)。x1x2（４）先分子有理化，在分开作三角代换。（５）化为部分分式之和后积分。（６）可令x2asin2t。（７）可令xa(ba)sin2t,则bx(ba)cos2t。（８）令1lnxt。（９）分部积分后移项，整理。（１０）凑ex后分部积分，再移项，整理。（１１）令tanx2t。（１２）变形为后，令x3(x2)4x2x3x2t，再由11x2t2，两端微分得1(x2)2。拟写、标准页眉内容（Ｃ）1）解：令uex1，则xu2),dxu1u2du所以原式2u)uu)22u21u2uu2)u4arctanuc2xex14ex14ex1c2）解：方法一：xxd()d(tan)dx1212原式2sinxcosx)4sincosxx4xx3tancos2222214x1tan2112xxxd(tan)tan2lntanx28242tan2c方法二：令tanx2t方法三：变形为2xx)，然后令cosxu再化成部分分式积分。3）解：原式12arctaned(e)x2x1d(ex)[earctane]2xx2ee2x)2x拟写、标准页眉内容1x（令exu）[e2xe]2uu)221dudux][e2xarctane2u1u221e2xarctanexexarctanexc21x31x3114）解：原式d(x)[d(x3)d(x3)]334x3134x31x3141[(x4d(x(31x4d(x333334473(x4(x34c395）解：原式xx31d(x2x2)dxxx2(xx)244222，令uxx2211u2c2u2242u21x42x21c42x42x216）解：原式12sinxcosx11dx2sinxcosx1xx)2112xx2xxd(x)114(sinxcosx)222sin(x)4拟写、标准页眉内