中考数学压轴题分类思想

..中考数学压轴题分类思想一、耐心填一填——一锤定音1.矩形ABCD中,AB=5,BC=12,如果分别以A、C为圆心的两圆相切,点D在圆C内,点B在圆C外,那么圆A的半径r的取值范围是__________________.解析:分⊙A与⊙C内切、外切两种情况.答案:1<r<8或18<r<252.在半径为1的⊙O中,弦AB、AC分别是3和2,则∠BAC的度数为__________________.解析:<1>∠BAC=∠CAD-∠BAD=45°-30°=15°.<2>∠BAC=∠CAD+∠BAD=45°+30°=75°.答案:15°或75°3.直角三角形三边之长为5、4、m,则此三角形斜边上的高为_____________.解析:5和m都有可能为斜边.答案:4.若正方形四个顶点分别在直角三角形三条边上,直角三角形的两直角边的长分别为3cm和4cm,则此正方形的边长为____________cm.解析:分以下两种情况讨论.答案:5.一个等腰三角形的周长为14cm,且一边长是4cm,则它的腰长是_______________.解析:一边长为4cm,可能为腰也可能为底.答案:4cm或5cm6.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分,则底边长为____________.答案：9或57.要做两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,欲使这两个三角形相似,三角形框架的另两边长可以是_______________.解析:与2对应的边中,4、5、6均有可能.答案:8.用一张边长分别为10cm、8cm的矩形纸片做圆柱的侧面,所得圆柱的底面半径为_________________<结果可带π>.解析:10cm、8cm均有可能为圆柱的高.答案:二、精心选一选——慧眼识金9.如图1-3-2,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数,则满足条件的点P有<>图1-3-2A.2个B.3个C.4个D.5个答案：D10.在同一个平面内,四条直线的交点个数不能是<>A.2B.3C.4D.5答案：A11.P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点,过点P作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,满足这样条件的直线有<>A.1条B.2条C.3条D.4条解析:如图.答案:C12.如图1-3-3,在△ABC中,AB=24,AC=18,D是AC上一点,AD=12.在AB上取一点E,使A、D、E三点组成的三角形与△ABC相似,则AE的长为<>图1-3-3A.16B.14C.16或14D.16或9解析:<1>.答案:D13.若实数a、b满足a2-8a+5=0,b2-8b+5=0,则的值为<>A.-20B.2C.2或-20D.2或20解析:分a=b,a≠b两种情况.答案:D14.在直角坐标系中,已知点A<-2,0>、B<0,4>、C<0,3>,过点C作直线交x轴于点D,使得以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似,这样的直线最多可以作<>A.2条B.3条C.4条D.6条答案：C15.若解方程产生增根,则m的值是<>A.-1或-2B.-1或2C.1或2D.1或-2解析:原式化为x2-2x-m-2=0.原方程有增根,即x=0或x=-1.答案:D16.在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,则这个三角形的外接圆直径是<>A.5B.10C.5或4D.10或8解析:BC=8有可能是直角边,也有可能是斜边.答案:D三、用心做一做——马到成功17.<2005XX课改中考,21>下面是数学课堂的一个学习片断.阅读后,请回答下面的问题:学习等腰三角形有关内容后,张老师请同学们交流讨论这样一个问题:"已知等腰△ABC的角A等于30°,请你求出其余两角".同学们经片刻的思考与交流后,李明同学举手讲："其余两角是30°和120°"；王华同学说："其余两角是75°和75°".还有一些同学也提出了不同的看法……<1>假如你也在课堂中,你的意见如何?为什么?<2>通过上面数学问题的讨论,你有什么感受?<用一句话表示>分析:此题应树立分类讨论思想,考虑问题要全面.答案:<1>上述两同学回答的均不全面,应该是其余两角的大小是75°和75°或30°和120°.理由如下:<ⅰ>当∠A是顶角时,设底角是α.∴30°+α+α=180°,α=75°.∴其余两角是75°和75°.<ⅱ>当∠A是底角时,设顶角是β,∴30°+30°+β=180°,β=120°.∴其余两角分别是0°和120°.<2>感受中答:有"分类讨论""考虑问题要全面"等能体现分类讨论思想的即可.18.<2006XXXX中考,21>如图1-3-4,抛物线y=ax2-8ax+12a<a<0>与x轴交于A、B两点<点A在点B的左侧>,抛物线上另有一点C在第一象限,满足∠ACB为直角,图1-3-4<1>求线段OC的长.<2>求该抛物线的函数关系式.<3>在x轴上是否存在点P,使△BCP为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的P点的坐标;若不存在,请说明理由.解:<1>由ax2-8ax+12a=0<a<0>得x1=2,x2=6,即OA=2,OB=6.∵△OCA∽△OBC,∴OC2=OA·OB=2×6.∴OC=<-舍去>.∴线段OC的长为.<2>∵△OCA∽△OBC,∴.设AC=k,则BC=k.由AC2+BC2=AB2得k2+<k>2=<6-2>2.解得k=2<-2舍去>.∴AC=2,BC==OC.过点C作CD⊥AB于点D,∴OD=OB=3.∴CD=.∴C的坐标为<3,>.将C点的坐标代入抛物线的解析式得=a<3-2><3-6>,∴a=-.∴抛物线的函数关系式为y=.<3>①当P1与O重合时,△BCP1为等腰三角形.∴P1的坐标为<0,0>.②当P2B=BC时,<P2在B点的左侧>,△BCP2为等腰三角形.∴P2的坐标为<6-,0>.③当P3为AB的中点时,P3B=P3C,△BCP3∴P3的坐标为<4,0>.④当BP4=BC时<P4在B点的右侧>,△BCP4为等腰三角形.∴P4的坐标为<6+,0>.∴在x轴上存在点P,使△BCP为等腰三角形,符合条件的点P的坐标为<0,0>,<6-,0><4,0>,<6+,0>.19.<2006上海中考,25>已知点P在线段AB上,点O在线段AB延长线上.以点O为圆心,OP为半径作圆,点C是圆O上的一点.图1-3-5<1>如图1-3-5,如果AP=2PB,PB=BO.求证:△CAO∽△BCO;<2>如果AP=m<m是常数,且m>1>,BP=1,OP是OA、OB的比例中项.当点C在圆O上运动时,求AC∶BC的值<结果用含m的式子表示>;<3>在<2>的条件下,讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系,并写出相应m的取值范围.<1>证明:∵AP=2PB=PB+BO=PO,∴AO=2PO.∴.∵PO=CO,∴.∵∠COA=∠BOC,∴△CAO∽△BCO.<2>解:设OP=x,则OB=x-1,OA=x+m,∵OP是OA、OB的比例中项,∴x2=<x-1><x+m>,得x=,即OP=.∴OB=.∵OP是OA、OB的比例中项,即.∵OP=OC,∴.设圆O与线段AB的延长线相交于点Q,当点C与点P、点Q不重合时,∵∠AOC=∠COB,∴△CAO∽△BCO.∴;当点C与点P或点Q重合时,可得=m,∴当点C在圆O上运动时,AC∶BC=m.<3>解:由<2>得,AC>BC,且AC-BC=<m-1>BC<m>1>,AC+BC=<m+1>BC,圆B和圆C的圆心距d=BC,显然BC<<m+1>BC,∴圆B和圆C的位置关系只可能相交、内切或内含.当圆B与圆C相交时,<m-1>BC<BC<<m+1>BC,得0<m<2.∵m>1,∴1<m<2.当圆B与圆C内切时,<m-1>BC=BC,得m=2.当圆B与圆C内含时,BC<<m-1>BC,得m>2.20.我市英山县某茶厂种植"春蕊牌"绿茶,由历年来市场销售行情知道,从每年的3月25日起的180天内,绿茶市场销售单价y<元>与上市时间t<天>的关系可以近似地用如图1-3-6中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z<元>与上市时间t<图1-3-6图1-3-7<1>直接写出图1-3-6中表示的市场销售单价y<元>与上市时间t<天><t>0>的函数关系式;<2>求出图1-3-7中表示的种植成本单价z<元>与上市时间t<天><t>0>的函数关系式;<3>认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价,问何时上市的绿茶纯收益单价最大?<说明:市场销售单价和种植成本单价的单位:元/500克解:<1>依题意,可建立的函数关系式为y=<2>由题目已知条件可设z=a<t-110>2+20.∵图象过点<60,>,∴=a<60-110>2+20.∴a=.∴z=<t-110>2+20<t>0>.<3>设纯收益单价为W元,则W=销售单价-成本单价.故W=化简得W=①当W=-<t-10>2+100<0<t<120>时,有t=10时,W最大,最大值为100;②当W=-<t-110>2+60<120≤t<150>时,由图象知有t=120时,W最大,最大值为;③当W=-<t-170>2+56<150≤t≤180>时,有t=170时,W最大,最大值为56.综上所述,在t=10时,纯收益单价有最大值,最大值为100元.21.<2006XX课改中考,25>如图1-3-8,在直角坐标系中,O为坐标原点,OABC的边OA在x轴上,∠B=60°,OA=6,OC=4,D是BC的中点,延长AD交OC的延长线于点E.图1-3-8<1>画出△ECD关于边CD所在直线为对称轴的对称图形△E1CD,并求出点E1的坐标;<2>求经过C、E1、B三点的抛物线的函数表达式;<3>请探求经过C、E1、B三点的抛物线上是否存在点P,使以点P、B、C为顶点的三角形与△ECD相似.若存在这样的点P,请求出点P的坐标;若不存在这样的点P,请说明理由.解:<1>过点E作EE1⊥CD交BC于F点、交x轴于E1点,则E1点为E点的对称点.连结DE1、CE1,则△CE1D为所画的三角形.∵△CED∽△OEA,,∴.∵EF、EE1分别是△CED、△OEA的对应高,∴.∴EF=EE1.∴F是EE1的中点.∴E点关于CD的对称点是E1点,△CE1D为△CED关于CD的对称图形.在Rt△EOE1中,OE1=cos60°×EO=×8=4.∴E1点的坐标为<4,0>.<2>∵OABC的高为h=sin60°×4=.过C作CG⊥OA于G,则OG=2.∴C、B点的坐标分别为<2,>、<8,>.∵抛物线过C、B两点,且CB∥x轴,C、B两点关于抛物线的对称轴对称,∴抛物线的对称轴方程为x=5.又∵抛物线过E1<4,0>,则抛物线与x轴的另一个交点为A<6,0>.∴可设抛物线为y=a<x-4><x-6>.∵点C<2,>在抛物线上,∴=a<2-4><2-6>,解得a=.∴y=<x-4><x-6>=.<3>根据两个三角形相似的条件,由于在△ECD中∠ECD=60°,若△BCP与△ECD相似,则△BCP中必有一个角为60°.下面进行分类讨论:①当P点在直线CB的上方时,由于△PCB中,∠CBP>90°或∠BCP>90°.∴△PCB为钝角三角形.又∵△ECD为锐角三角形,∴△ECD与△CPB不相似.从而知在直线CB上方的抛物线上不存在点P使△CPB与△ECD相似.②当P点在直线CB上时,点P与C点或B点重合,不能构成三角形.∴在直线CB上不存在满足条件的P点.③当P点在直线CB的下方时,若∠BCP=60°,则P点与E1点重合.此时,∠ECD=∠BCE1,而,∴.∴△BCE1与△ECD不相似.若∠CBP=60°,则P点与A点重合.根据抛物线的对称性,同理可证△BCA与△CED不相似.22.<2006XXXX中考,22>如图1-3-9,在平面直角坐标系xOy中,点M在x轴的正半轴上,⊙M交x轴于A、B两点,交y轴于C、D两点,且C为的中点,AE交y轴于G点,若点A的坐标为<-2,0>,AE=8.图1-3-9<1>求点C的坐标.<2>连结MG、BC,求证:MG∥BC.<3>如图1-3-10,过点D作⊙M的切线,交x轴于点P.动点F在⊙M的圆周上运动时,的比值是否发生变化,若不变,求出比值;若变化,说明变化规律.图1-3-1答案：<1>解:方法一:∵直径AB⊥CD,∴CO=CD.∵,C为的中点,∴.∴.∴CD=AE.∴CO=CD=4.∴C点的坐标为<0,4>.方法二:连结CM,交AE于点N,∵C为的中点,M为圆心,∴AN=AE=4,CM⊥AE.∴∠ANM=∠COM=90°.在△ANM和△COM中,∴△ANM≌△COM.∴CO=AN=4.∴C点的坐标为<0,4>.<2>证明:设半径AM=CM=r,则OM=r-2.由OC2+OM2=MC2得42+<r-2>2=r2.解得r=5.∵∠AOC=∠ANM=90°,∠EAM=∠MAE,∴△AOG∽△ANM.∴.∵MN=OM=3,即.∴OG=.∵.∵∠BOC=∠BOC,∴△GOM∽△COB.∴∠GMO=∠CBO.∴MG∥BC.<说明:直接用平行线分线段成比例定理的逆定理不扣分><3>解:连结DM,则DM⊥PD,DO⊥PM,∴△MOD∽△MDP,△MOD∽△DOP.∴DM2=MO·MP,DO2=OM·OP,<说明:直接使用射影定理不扣分>即42=3·OP.∴OP=.当点F与点A重合时,,当点F与点B重合时,.当点F不与点A、B重合时,连结OF、PF、MF.∵DM2=MO·MP,∴FM2=MO·MP.∴.∵∠AMF=∠FMA,∴△MFO∽△MPF.∴.∴综上所述,的比值不变,比值为.23.<2006XX中考,24>在平面直角坐标系xOy中,已知直线l1经过点A<-2,0>和点B<0,>,直线l2的函数表达式为y=-,l1与l2相交于点P.⊙C是一个动圆,圆心C在直线l1上运动,设圆心C的横坐标是a.过点C作CM⊥x轴,垂足是点M.图1-3-11<1>填空:直线l1的函数表达式是________________,交点P的坐标是________________,∠EPB的度数是________________.<2>当⊙C和直线l2相切时,请证明点P到直线CM的距离等于⊙C的半径R,并写出R=3-2时a的值.<3>当⊙C和直线l2不相离时,已知⊙C的半径R=-2,记四边形NMOB的面积为S<其中点N是直线CM与l2的交点>.S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时a的值;若不存在,请说明理由.解:<1>y=P<1,>60°<2>设⊙C和直线l2相切时的一种情况如图甲所示,D是切点,连结CD,则CD⊥PD.过点P作CM的垂线PG,垂足为G,则Rt△CDP≌Rt△PGC.<∠PCD=∠CPG=30°,CP=PC>所以PG=CD=R.当点C在射线PA上,⊙C和直线l2相切时,同理可证.取R=-2时,a=1+R=-1或a=-<R-1>=3-.甲<3>当⊙C和直线l2不相离时,由<2>知分两种情况讨论:①如图乙,当0≤a≤-1时,S=.乙当a=-=3时<满足a≤-1>,S有最大值,此时S最大值=.②当3-≤a<0时,显然⊙C和直线l2相切,即a=3-时,S最大,此时S最大值=［］·|3-|=.综合以上①和②,当a=3或a=3-时,存在S的最大值,其最大面积为.24.<2006XXXX中考,26>把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起,使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合,其中∠ABC=∠DEF=90°,∠C=∠F=45°,AB=DE=4,把三角板A