2023届高三数学一轮复习专题 正弦、余弦函数的性质 讲义 （解析版）

第Page\*MergeFormat16页共NUMPAGES\*MergeFormat16页高三数学第一轮复习专题正弦、余弦函数的性质一、正弦、余弦函数的性质：1．定义域：2．值域：①②二次函数求最值方法：注意三个关键点。①先看开口方向；②再找对称轴位置（）；③再看所在区间。题型：求三角函数值域和最值：1．化为二次函数求值域和最值。（★★）规律：对于“非齐次式”，要化为二次函数求最值。例1．求最大值。分析：本题要化为二次函数求最值，开口向下，对称轴为，所在区间为，故在处取得最大值，在处取得最小值。解：故当时，取得最大值；当时，取得最小值。例2．求最值。例3．求，求值域。2．求一般形式的值域和最值。①求一般形式在R上的最值及相应的x的集合。★★★一般形式或的研究：其本质是一个两层复合函数。必须从四个层次来把握一般形式的值或范围：例1．求下列函数的最大值及相应的x的集合。（1）（2）分析：当遇到与类型的三角函数时，需要用到“整体思维”。即把看成一个整体。规律：要从整体出发，“下求，上求”。解：（1）当，即时，取最大值3。故使取最大值时的x的集合为：。（2）分析：，故当时，取到最大值2，则整体。解答如下：当时，取最大值2。故使取最大值时的x的集合为：。②求一般形式在部分区间上的值域和最值及相应的x的值。（★★★★★）例1．，求f(x)最值及相应x的值。解：两步四行当，f(x)取得最大值1。当，f(x)取得最小值。三步六行归纳：这种思路为“对整体进行数形结合分析”。过程：必须从四个层次来把握一般形式的值或范围：例2．已知函数，当，f(x)的最小值是-2，最大值是，求实数a,b的值。解：因f(x)的最小值是-2，最大值是，求实数a,b的值。。图象分析法：练1：，求的最大值与最小值及相应的值。练2.，求的最大值与最小值及相应的值。3．周期性：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有，则称为周期函数，T称为的周期。注意：指的是自变量本身加T。因，因，故均为与的周期，我们取最小的正数作为与周期的代表，称之为最小正周期。即与的最小正周期为。以后指的周期都是指最小正周期。例1．求下列函数的周期：（1）（2）（3）（4）分析：可以根据、最小正周期为，化成形式，求T。解：（2）因周期为。（3）因（4）因一般形式：故与的周期性研究：规律：周期减半4．单调性：注意：单调区间是定义域的一个子集，是x本身的范围。题型：求三角函数单调区间。1．求R上的单调区间。（★★）例1．求单调区间：（1）（2）（3）解：（1）当，即，时，单调递增；当，时，单调递减。故单调递增区间为，单调递减区间为。（2）当，时，单调递增；当，时，单调递减。故单调递增区间为，单调递减区间为。注意：要保证x的系数永远为正。（3）★★当，时，单调递减；当，时，单调递增。故单调递增区间为，单调递减区间为。2．求部分区间上的单调区间。（★★★★★）例1．求函数的单调递增区间与递减区间。解：（方法一：“由大到小”，即先求出全部的增减区间，再与取交集）当，时，单调递增；当，时，单调递减。又的增区间为；减区间为：。解：（方法二：整体思维，从整体出发，“三步走”的方法）整体图象当，单调递增；当，单调递减。故单调递增区间为，单调递减区间为。归纳：这种思路为“对整体进行数形结合分析”。过程：两种思路的比较：一般来说，用“三步走”的方法较为简单。例1。，则下列区间哪个是的单调增区间：（）A。B。C。D。，故A错误。例2.求的递增区间和递减区间。5．奇偶性与对称性：因故余弦函数的图象可由正弦函数的图象向左平移个单位得到。而对称轴与对称中心的间隔正好为，故正弦、余弦函数的对称轴与对称中心互换。规律总结：正弦、余弦函数图象的对称轴与对称中心互换。题型：对称性的应用。1.对称轴方程与对称中心坐标：（★★★★）对于一般形式的三角函数，即或，可以从两个角度把握对称轴方程与对称中心坐标。①对称轴方程对称中心坐标方法一般结论法代入法②对称轴方程对称中心坐标方法一般结论法代入法例1．函数图象的一个对称中心是（）ABCD解析：本题有两种方法：①利用一般结论；即：，故一个对称中心为；②代入法：各选项代入，利用对称中心出现在中间点处判断，即：，故一个对称中心为。例2．函数图象的一条对称轴方程是（）ABCD解析：本题有两种方法：①利用一般结论；即：，故一条对称轴方程是；②代入法：各选项代入，利用对称轴出现在最值处判断，即：，故一条对称轴方程是。2．是奇函数或偶函数求的取值问题。（★★★★）例。故本来是奇函数，但在变为一般形式时，奇偶性可能会变为：奇函数、偶函数、非奇非偶函数三种可能。则是奇函数或偶函数时的取值规律如下：。解释：为奇函数，为偶函数。根据诱导公式的规律“奇变偶不变，符号看象限”，若为奇函数，说明正弦依然是正弦，函数名不变，故；若为偶函数，说明正弦变成了余弦，函数名改变，故。同理。例1．函数是奇函数，则（）ABCD解析：由题意得：，。例2．图象关于y轴对称，则最小正值为（）ABCD解析：由题意得：，故最小正值为。例3．函数为偶函数，则的一个取值为（）ABCD解析：由题意得：，故的一个取值为。练1。函数的最小正周期为，若其图象向