巴特沃斯模拟带阻滤波

数字IIR带阻滤波器设计

（基于巴特沃斯滤波法）学院:指导老师：姓名：学号：目录1、带阻滤波器的指标规范32、带阻滤波器的系数计算6TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3、带阻滤波器的实现结构9\o"CurrentDocument"4、有效字长效应分析10\o"CurrentDocument"5、带阻滤波器的软件实现12数字IIR带阻滤波器的设计(基于巴特沃斯法)1、带阻滤波器的设计规范：1、本设计中分别用h(t)、Ha(s)、Ha(j)表示模拟滤波器的单位脉冲相应、系统函数、频率响应函数，三者的关系如下:Ha(s)=LT[ha(t)]=fha(t)e小dt—sHa(jq)=FT[ha(t)]=fha(t)e*dt—s可以用h(t)、Ha(s)、Ha(jq)中任一个描述模拟滤波器，也可以用线性常系数微分方程描述模拟滤波器。但是设计模拟滤波器时，设计指标一般由幅频相应函数IHa(jq)1给出，而模拟滤波器设计就是根据设计指标，求系统函数Ha(s)。工程实际中通常用所谓的损耗函数即衰减函数A(q)来描述滤波器的幅频响应特性，对归一化幅频响应函数，A(q)定义如下：A(q)=-20lgIHa(jq)I=-10lgIHa(jq)I2dB模拟带阻滤波器的设计指标参数有q「q「q0、qsu、qpu。q和qpu分别表示带阻滤波器的通带下边界频率和通带上边界频率；q1和qsu分别表示带阻滤波器的阻带下边界频率和阻带上边界频率。51和52分别称为通带和阻带波纹幅度图1、带阻滤波器带阻滤波器的技术指标要求必须是几何对称的。如果带阻滤波器不是几何对称的，为了使对称的带阻滤波器满足最小阻带衰减要求，在由非对称的带阻滤波器变换为对称的带阻滤波器时，保留非对称带阻滤波器的阻带截止频率调整两个通带截止频率中的一个，调整过程步骤如下：（1）计算Q02=Q1Qsu（2）计算Qp1若2，pu如果Qp1>Q「用Qp1代替Q1；（3）如果Qp1<Q1，计算矿=Q02puQp1，并用矿代替Qpu；pu（4）如果A丰A，选择A=min{A,A}。plp2Pplp2所有类型的变换，包括各自与低通原型的频率变换如表1所示。用频率变换法设计一个模拟滤波器的步骤如下：1、确定低通、高通、带通和带阻模拟滤波器的技术要求。当要求的带通或带阻滤波器是非几何对称时，根据上面描述的过程使这些技术要求成几何对称的；2、根据表1中的变换关系，确定归一化低通滤波器的技术要求：通带截止频率为人，阻带截止频率为人，阻带衰减为A(dB)，阻带衰减为As(dB)；3、、根据人、人、A：和As，用巴特沃斯设计归一化低通滤波器；4、根据表1最右栏的变换关系，得到要求的非归一化模拟滤波器。表1模拟滤波器的频率变换滤波器类型归一化低通滤波器H度(p)的技术指标要求要求的滤波器H(s),H(s)=H(p)|p=q(s)低通H(p)一低通H度⑴人=1Q人=s-saOpP=saOp低通H(p)一高通HHp(s)"广aO人=——p-saOsp-Op_—pas低通H(p)—带通H时(s)X=-pa—1*O2一O1saO—OP—1s2+O2上__*0-aBs低通H(p)—带阻H职(S)ya1O—OX=—*——p2p1s2s1P=】*Bsas2+O20

卜而我们用巴特沃斯滤波法来设计一个数字IIR带阻型岸」2岸」2、带阻滤波器的系数计算:滤波器：滤波器规范：通带下边界频率：50HZ通带上边界频率：450HZ阻带下边界频率：200Hz阻带上边界频率：300Hz通带最大衰减：3dB阻带最小衰减：20dB抽样频率：1KHZ首先确定所要求的带阻滤波器是否为几何对称的：Q,1qpu=2丸*50*2兀*450=4丸2*2.25*104q“q泌=2丸*200*2丸*300=4丸2*6*104因为Q1Qpu,Q1Qsu，而且设计的是带阻滤波器，所以需要调整这个带阻滤波器的通带上下边界频率。因为：7^—--2兀*200*2兀*300Qp1=2兀*450用再7^—--2兀*200*2兀*300Qp1=2兀*450用再T值代替Qp值p1即令布T=q1=2丸*133.3HZo因此，所要求的带阻滤波器的指标调整为:Q=2丸*133.3/1000rad/sQpu=2丸*450/1000rad/sQ=2兀*200/1000rad/ss1qsu=2丸*300/1000rad/sB=2丸*266.7/1000rad/sQ0=2丸*245/1000rad/sA=A=3dBA=A=20dB根据表1中间栏的变换关系式，将上述给定的带阻滤波器指标要求转化为相应的归一化低通技术要求，有人=1X_Qp2pl_2兀*450-2兀*133.3_s=Q~Q.=2兀*300-2兀*200=2.6

s2s1根据上面的技术要求，可以采用查表法或计算法来设计归一化的巴特沃斯低通滤波器，这里采用计算法。由式防*逅邛取整数）arcosh(确定最小的的滤波器阶数，得

(lgV100.1a.-1100.1A.-12lgV人(lgV2lgV.人p取n=2,计算巴特沃斯滤波器的归一化极点k=0,1p=e彳J=-0.5000+0.8660jPLe妃+3；j=-1.0000+0.0000j七(p)=(p-p"f)2+p+1)因此，低通滤波器的归一化传输函数Hp(p)为七(p)=(p-p"f)2+p+1)根据表1最右边栏的变换关系式，把归一化低通滤波器变成所要求的带阻滤波器的传输函数H时(s)H时(s)=HLp(p)p=氏205.6108*1012.4+4.7274*106.2+15.6108*1012.4+6.6392*109.3+8.6655*106.2+2.8029*101.+1由双线性变换法求得数字巴特沃斯带阻滤波器的传递函数为：0.6389+1.2779z-2+0.6389z-4H（Z）=HBP（S）s=Z"1=1+1.143z-2+0.4128z-43、带阻滤波器的实现结构：令H(Z)=H(Z)H(Z)：b+bz-2其中H(Z)=1\/；-212b+bz-2H(Z)=f+a"z-222对应的定义滤波器的差分方程如下：滤波器部分1：w(n)=(1/s)x(n)-aw(n-2)y(n)=bw(n)s/s+bw(n-2)s/s1011212112滤波器部分2：w2(n)=y1(n)-a&w2(n-2)y(n)=bw(n)s+bw(n-2)s20222222系数a.和b,的精确值依赖于我们对H(Z)的多项式的分子和分母如何组对，以及实现多项式的二阶滤波器部分是如何排序的。最好的组对和排序只能通过有限字长分析来确定。实现的结构图如下：

x(n)y(n)图2、滤波器的实现结构图x(n)y(n)4、有效字长效应分析：由给定的性能规范，我们将假设使用的算法是定点的2的补码算术，每一个系数被舍入量化到16位字长。这里我们主要的是评估不同量化误差对滤波器性能的影响，以及根据信噪比确定最好的滤波器结构用于实现，所要考虑的误差源主要是：1、溢出误差2、舍入误差3、系数量化误差为了避免图2所示的加法器输出的溢出，在图示的加法器的前面要引入一个适当的比例因子。因为H（Z）是4阶的，我们把它用两个二阶部分来实现，它的分子和分母因式可以用下面4种可能的方式进行组对和排序：

N(乙)N(z)TOC\o"1-5"\h\zH.(Z)=D(Z)A12HB(Z)=Hc(Z)=Hc(Z)=N2(z)N〔(z)DW~D(HB(Z)=Hc(Z)=Hc(Z)=21N\z)N2(z)~DTz)D^BN(z)N1(z)D(z)Diz)其中四个可能的滤波器结构的每一个都有不同的比例因子，以及不同的信号舍入误差。这个步骤的目标是根据信噪比性能方面来确定最好的组对和排序。溢出和舍入误差是紧密相连的，所以伸缩变换和舍入分析应该同时进行。利用有限字长的分析程序，可以得到对于上面四个可能的滤波器的比例因子，它们是基于L、L2和L的范数。在这个例子里，我们利用了L的范数，对于一个以两个标准部分串联实现的四阶滤波器，在伸缩变换以后，输出端的舍入噪声为:°2=竺[3s2llH(Z)H(Z)ll2+5s2IIH(z)ll2+3]012112222其中q是量化步长或舍入，ll』2是L范数的平方。H(Z)是第一级滤波器的传递函数，H(Z)是第二级滤波器的传递函数，s1是第一个滤波器阶段的伸缩比例因子，s2是第二个滤波器的比例因子。系统的量化误差的效应：我们检查那些给出的系数字长是否满足稳定和频率响应的规范。当极点不是非常靠近单位圆时，16位的系数字长对保持稳定是足够的。例如，对于第一个滤波器部分，实验程序表明2位就足以满足稳定要求，把系数量化成16位仅改变极点半径。采用16位系数字长时，滤波器的响应实际上和未量化的滤波器的响应是一样的。图3描绘了未量化的滤波器的频率响应。5、带阻滤波器的软件实现：由系统指标规范可编程：N为滤波器的阶数；zz和pz为系统的零点和极点；kz为系统的增益：Fs=1000;Ap=3;As=20;Wp=[50/500,450/500];Ws=[200/500,300/500];[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Ap,As);[zz,pz,kz]=butter(N,Ws,’stop’);[b,a]=butter(N,Ws,’stop’);Subplot(2,1,1)[H,f]=freqz(b,a,512,Fs);Plot(f,abs(H))

Xlabel(‘频率/(HZ)’)Ylabel(‘幅度/(dB)’)Subplot(2,1,2)Zplane(b,a)系统指标：田田田田田一Ap333As202020Fs1000WQO1000H<512x1double>01N22极点(pz)：1i-0.1884+0.7791i2-0.1884-0.7791i30.1884+0.7791i0.1884-0.7791i5田pz^4x1double)-田田田田田一Ap333As202020Fs1000WQO1000H<512x1double>01N22极点(pz)：1i-0.1884+0.7791i2-0.1884-0.7791i30.18