中考数学动态问题折叠中图形存在性问题

(圆满版)2020年中考数学动向问题折叠中图形存在性问题(含答案)(圆满版)2020年中考数学动向问题折叠中图形存在性问题(含答案)14/14(圆满版)2020年中考数学动向问题折叠中图形存在性问题(含答案)专题06动点折叠类问题中图形存在性问题一、基础知识点综述动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类特别拥有开放性的题目.而今后中延长出的折叠问题，更能表现其解题核心——动中求静，灵巧运用有关数学知识进行解答，有时需要借助或结构一些数学模型来解答.推行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目常常出此刻选择、填空题的压轴部分，题型众多，题意奇异，拥有创新力.其主要察看的是学生的分析问题及解决问题的能力.要修业生具备：运动看法；方程思想；数形联合思想；分类讨论思想；转变思想等等.存在性问题主要有等腰三角形存在性、直角三角形存在性、特别落点存在性等问题，常用的数学解题模型有“一线三直角”等模型，作图方法是借助圆规化动为静找落点.解题思路：分析题目→依据落点定折痕→成立模型→设出未知数列方程求解→获得结论.解题核心知识点：折叠性质；①折叠前后图形大小、形状不变；②折痕是折叠前后对应点连线的垂直均分线；勾股定理；相像图形的性质、三角函数等.★等腰三角形存在性问题解题思路：依据圆规等先确立落点，再确立折痕；★直角三角形存在性问题解题思路：依据不一样样直角极点地点分类讨论，作出图形求解.二、精选例题分析题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题例1.（2019·金水区校级模拟）如图，∠AOB=90°，点P为∠AOB内部一点，作射线OP，点M在射线OB上，且OM=3，点M与点M’对于射线OP对称，且直线MM’与射线OA交于点N，当△ONM’为等腰三角形时，ON的长为1例2.（2017·蜀山区期末）以以下列图，△ABC中，∠=90°，≤，将△沿EF折叠，使点AACBACBCABC落在直角边BC上的D点，设EF与AB、AC分别交于点E、点F，假如折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，则∠B=.题型二：折叠问题中直角三角形存在性问题例3.（2017·营口）在矩形纸片ABCD中，AD＝8，AB＝6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连结FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为．例4.（2019·唐河县三模）矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E为AD的中点，点P为线段AB上一个动点，连结EP，将△APE沿PE折叠获得△FPE，连结CE，CF，当△CEF为直角三角形时，AP的长为.3例5.（2019·许昌二模）如图，已知平行四边形ABCD中，AB=16,AD=10，sinA=5,点M为AB边上一动点，过点M作MN⊥AB交AD边于点N，将∠A沿直线MN翻折，点A落在线段AB上的点E处.当△CDE为直角三角形时，AM的长为.2例6.（2019·金水区校级一模）如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，点P为AC上一点，过点P作PD⊥BC于点，将△沿PD折叠，获得△，连结．若△为直角三角形，则＝．DPCDPEDAEAPEPC例7.（2019·卧龙区一模）如图，在△中，＝8，＝6，点D为斜边AB上一点，⊥RtABCACBCDEAB交AC于点E，将△AED沿DE翻折，点A的对应点为点F．假如△EFC是直角三角形，那么AD的长为．例8.（2019·河南模拟）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E，F分别为BC，AC上的两个动点，将△沿EF折叠，点C的对应点为，若点G落在射线AB上，且△AGF恰为直角三角形，则线段CFCEFG的长为二、精选例题分析题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题3例1.（2019·金水区校级模拟）如图，∠AOB=90°，点为∠内部一点，作射线，点M在射线PAOBOPOB上，且OM=3，点M与点M’对于射线OP对称，且直线MM’与射线OA交于点N，当△ONM’为等腰三角形时，ON的长为.【分析】分三种状况讨论：①当M’落在线段ON的垂直均分线上时，即M’N=M’O，设∠=x°，经过三角形外角定理及三角形内角和定理求得x=30°，从而利用三角函数求得ON的ONM长；②当M’N=ON时，作出图形，获得∠ONM’度数，利用三角函数求解；③当M’O=ON=OM=3，此时M、M’、N点不在一条直线上，与题意不符，此种状况不存在.【答案】1或3.【分析】解：由△ONM’为等腰三角形，分以下三种状况讨论：①当M’落在线段ON的垂直均分线上时，即M’N=M’O，以以下列图，ANM'HPOMB设∠ONM’=x°，则∠OM’M=∠OMM’=2x°,∵∠AOB=90°，∴x+2x=90，解得：x=30，OMRt△NOM中，ON=tan30°=3；②当M’N=ON时，以以下列图所示，4AM'HNPOMB由①知：∠NOM’=30°，M’作M’H⊥OA于H，13∴HM’=OM'=,22在Rt△HNM’中，NM’=HM'°=1，cos30即ON=1；③当M’O=ON=OM=3，ANM'POMB此时M、M’、N点不在一条直线上，与题意不符，此种状况不存在.故答案为：1或3.例2.（2017·蜀山区期末）以以下列图，△ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点，设EF与AB、AC分别交于点、点，假如折叠后△与△均为等腰三EFCDFBDE角形，则∠B=.【分析】由题意知，△CDF是等腰三角形，则CD=CF，△BDE是等腰三角形时，分三种状况讨论：①当DE=BD时，设∠B=x°，经过翻折性质及三角形内角和定理求得x=45；②当BD=BE时，作出图形，设∠B=x°，经过翻折性质及三角形内角和定理求得x=30；5③当BE=DE时，得∠FDB=90°，∠FDB+∠CDF=135°≠180°，此时C、D、B点不在一条直线上，与题意不符，此种状况不存在.【答案】45°或30°.【分析】解：由题意知，△CDF是等腰三角形，则CD=CF，∠CDF=∠CFD=45°，∴∠FDB=135°，△BDE是等腰三角形时，分以下三种状况讨论：①当DE=BD时，见以下列图，CFDAEB设∠B=x°，则∠DEB=x，∠EDB=180°－2x，由折叠知：∠A=∠FDE=90°－x，∴180－2x+90－x=135，解得：x=45，即∠B=45°；②当BD=BE时，以以下列图所示，CDFAEB设∠B=x°，180°x则∠EDB=，2由折叠知：∠A=∠FDE=90°－x，x+90－x=135，解得：x=30，2即∠B=30°；6③当BE=DE时，得∠B=∠EDB，∴∠FDB=∠FDE+∠EDB=∠A+∠B=90°，∠FDB+∠CDF=135°≠180°，此时C、D、B点不在一条直线上，与题意不符，此种状况不存在.故答案为：45°或30°.题型二：折叠问题中直角三角形存在性问题例3.（2017·营口）在矩形纸片ABCD中，AD＝8，AB＝6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连结FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为．【分析】依据题意作出图形，经过分析可知：点E、F均可为直角极点，所以分两种状况讨论，作出图形后，依据勾股定理等知识求得结果.【答案】3或6.【分析】解：∵AD＝8，AB＝6，四边形ABCD为矩形，∴BC＝AD＝8，∠B＝90°，依据勾股定理得：AC＝10．由分析知，△EFC为直角三角形分下边两种状况：①当∠EFC＝90°时，以以下列图所示，由折叠性质知：∠AFE＝∠B＝90°，∠EFC＝90°，AF=AB=6,∴A、F、C三点共线，AE均分∠BAC，∴CF=AC－AF=4，设BE=x，则EF=x，EC=8－x，在Rt△EFC中，由勾股定理得：x24228x，解得：x=3，即BE=3；②当∠FEC＝90°时，以以下列图所示．7由题意知：∠FEC＝90°，∠FEB＝90°，∴∠AEF＝∠BEA＝45°，∴四边形ABEF为正方形，∴BE＝AB＝6．综上所述：BE的长为3或6．故答案为：3或6．例4.（2019·唐河县三模）矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E为AD的中点，点P为线段AB上一个动点，连结EP，将△APE沿PE折叠获得△FPE，连结CE，CF，当△CEF为直角三角形时，AP的长为.【分析】当△CEF为直角三角形时，经过分析知：∠FCE<90°，不能够能为直角极点，故分两种状况讨论：∠EFC=90°或∠FEC=90°，作出图形求解；【答案】9或1.4【分析】解：分以下两种状况讨论：（1）∠EFC=90°，以以下列图所示，由折叠性质知：∠A=∠PFE=90°，AP=PF所以点P、F、C在一条直线上，8∵EF=ED=3，∴Rt△CEF≌Rt△CED，由勾股定理得：CE=5，∴CD=CF=4，AP=x，则PF=x，PC=x+4，BP=4－x，在Rt△BCP中，由勾股定理得：2262，x4x49，即AP=9解得：x=；44（2）∠FEC=90°，以以下列图所示，F作FH⊥AD于H，过P作PG⊥FH于G，易知∠EFH=∠ECD，FHDE∴,EFCEFH3∴,35912,AH=3即=,∴==，555由∠FPG=∠HFE，∴cos∠FPG=cos∠HFE，PGFH即,PFEF395,PF3解得：PF=1；故答案为：9或1.49例5.（2019·许昌二模）如图，已知平行四边形ABCD中，AB=16,AD=10，sinA=3,点M为AB5边上一动点，过点M作MN⊥AB交AD边于点N，将∠A沿直线MN翻折，点A落在线段AB上的点E处.当△CDE为直角三角形时，AM的长为.【分析】分两种状况讨论：当∠CDE＝90°，依据折叠的性质及勾股定理求解；当∠DEC＝90°，过D作DH⊥AB于H，依据相像三角形的性质：获得DH＝6，AH＝8，设＝，依据勾股定理获得x＝8EHx﹣27，＝8+27（舍去），得AE＝AH+＝16﹣27，于是获得AM＝8﹣7．xHE【答案】4或8﹣7.【分析】解：当△CDE为直角三角形时，①当∠CDE＝90°，以以下列图所示，在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴DE⊥AB，由折叠知：MN⊥AB，AM＝EM，∴MN∥DE，1∴AN＝DN＝AD＝5，2MN＝3由sinA＝，AN5∴MN＝3，AM＝4；②当∠DEC＝90°，以以下列图所示，过D作DH⊥AB于H，10由题意知：∠HDC＝90°，∴∠HDC+∠CDE＝∠CDE+∠DCE＝90°，∴∠HDE＝∠DCE，∴△DHE∽△CED，DECD∴，EHDE3∵sinA＝，AD＝10，∴DH＝6，AH＝8，5EH＝x，∴DE＝4x，由勾股定理得：DH2+HE2＝DE2，62+x2＝16x，解得：x＝8﹣27，x＝8+27（不合题意舍去），∴＝AH+＝16﹣27，AEHE∴＝8﹣7，AM故答案为：4或8﹣7．例6.（2019·金水区校级一模）如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，点P为AC上一点，过点P作PD⊥BC于点D，将△PCD沿PD折叠，获得△PED，连结AE．若△APE为直角三角形，则PC＝．15【答案】.16【分析】解：当∠AEP＝90°时，34设PC＝x，在Rt△PDC中，sinC＝，cosC＝，5511所以PD＝3x，CD＝4x．554由折叠知：DE＝CD＝x．512∴BE＝BC﹣CE＝x．5在△ABE和△EDP中，∠B＝∠PDE，∠BAE+∠AEB＝90°，∠PED+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠PED．∴△ABE∽△EPD．BEDP12x315∴，即5，解得x＝．ABDE3416故答案为:15．16例7.（2019·卧龙区一模）如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，点D为斜边AB上一点，DE⊥AB交AC于点E，将△AED沿DE翻折，点A的对应点为点F．假如△EFC是直角三角形，那么AD的长为．【分析】依据勾股定理获得AB＝10，分三种状况讨论：∠CFE＝90°，∠ECF＝90°，∠CEF＝90°时，获得结论．7【答案】或5.5【分析】解：在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得：AB＝10，（1）若∠CFE＝90°，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠1+∠2＝∠B+∠A＝90°，12由折叠知：∠A＝∠2，AE＝EF，∴∠1＝∠B，CF＝BC＝6，在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2＝EF2+CF2，CE2＝（8﹣CE）2+62，25∴CE＝，47∴AE＝，4AEAD由△ADE∽△ACB，得：ABAC7∴AD＝；52）当∠ECF＝90°时，点F与B重合，AD＝5；3）当∠CEF＝90°时，则EF∥BC，∠AFE＝∠B，∵∠A＝∠AFE，∴∠A＝∠B，∴AC＝BC（与题设矛盾），∴这类状况不存在，7故答案为：或5．5例8.（2019·河南模拟）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E，F分别