固体物理习题详解

固体物理习题详解固体物理习题详解固体物理习题详解第一章晶体结构1.试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特点性质。解：晶态固体资料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。非晶态固体资料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体资料，其特点是原子有序排列，但不拥有平移周期性。其他，晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完好一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由好多取向不同样的单晶体颗粒无规则积聚而成的。2.晶格点阵与实质晶体有何差异和联系？解：晶体点阵是一种数学抽象，其中的格点代表基元中某个原子的地址或基元质心的位置，也能够是基元中任意一个等价的点。当晶格点阵中的格点被详尽的基元代替后才形成实质的晶体结构。晶格点阵与实质晶体结构的关系可总结为：晶格点阵＋基元＝实质晶体结构3.晶体结构可分为Bravais格子和复式格子吗？解：晶体结构能够分为Bravais格子和复式格子，当基元只含一个原子时，每个原子的周围情况完好同样，格点就代表该原子，这类晶体结构就称为简单格子或Bravais格子；当基元包含2个或2个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格点同样的网格，这些格子互相错开必然距离套构在一起，这类晶体结构叫做复式格子。4.图1.34所示的点阵是布喇菲点阵（格子）吗？为什么？若是是，指明它属于那类布喇菲格子？若是不是，请说明这类复式格子的布喇菲格子属哪一种？（a）（b）（c）（d）1.34a）“面心＋体心”立方；（b）“边心”立方；（c）“边心＋体心”立方；（d）面心四方解：（a）“面心＋体心”立方不是布喇菲格子。从“面心＋体心”立方体的任一顶角上的格点看，与它最周边的有12个格点；从面心任一点看来，与它最周边的也是12个格点；但是从体心那点来看，与它最周边的有6个格点，所以顶角、面心的格点与体心的格点所处的几何环境不同样，即不满足全部格点完好等价的条件，所以不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。b）“边心”立方不是布喇菲格子。从“边心”立方体竖直边心任一点来看，与它最周边的点子有八个；从“边心”立方体水平边心任一点来看，与它最周边的点子也有八个。诚然两者最周边的点数同样，距离相等，但他们各自拥有不同样的排列。竖直边心点的最周边的点子处于互相平行、横放的两个平面上，而水平边心点的最周边的点子处于互相平行、竖放的两个平面上，显然这两种点所处的几何环境不同样，即不满足全部格点完好等价的条件，所以不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。（c）“边心+体心”立方不是布喇菲格子。从“边心+体心”立方任一极点来看，与它最周边的点子有6个；从边心任一点来看，与它最周边的点子有2个；从体心点来看，与它最周边的点子有12个。显然这三种点所处的几何环境不同样，所以也不是布喇菲格子，而是属于复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。（d）“面心四方”从“面心四方”任一极点来看，与它最周边的点子有4个，次最周边点子有8个；从“面1心四方”任一面心点来看，与它最周边的点子有4个，次最周边点子有8个，而且在空间的排列地址与极点的同样，即全部格点完好等价，所以“面心四方”格子是布喇菲格子，它属于体心四方布喇菲格子。5.以二维存心长方晶格为例，画出固体物理学原胞、结晶学原胞，并说出它们各自的特点。解：以下给出了了二维存心长方晶格表示图：由上图，我们可给出其固体物理学原胞以以下列图（a）所示，结晶学原胞以以下列图（b）所示：（a）（b）从上图（a）和（b）能够看出，在固体物理学原胞中，只幸亏极点上存在结点，而在结晶学原胞中，既可在极点上存在结点，也可在面心地址上存在结点。6.倒格子的实质意义是什么？一种晶体的正格矢和相应的倒格矢可否有一一对应的关系？解：倒格子的实质意义是由倒格子组成的空间实际上是状态空间（波矢K空间），在晶体的X射线衍射照片上的斑点实质上就是倒格子所对应的点子。设一种晶体的正格基矢为a1、a2、a3，依照倒格子基矢的定义：式中是晶格原胞的体积，即a1[a2a3]，由此能够唯一地确定相应的倒格子空间。同样，反过出处倒格矢也可唯一地确定正格矢。所以一种晶体的正格矢和相应的倒格矢有一一对应的关系。7.为什么说晶面指数（h1h2h3）和Miller指数（hkl）都能反响一个平行晶面族的方向？解：晶面指数（h1h2h3）是以固体物理学原胞的基矢a1、a2、a3为坐标轴来表示面指数的，而Miller指数（hkl）是以结晶学原胞的基矢a、b、c为坐标轴来表示面指数的，但它们都是以平行晶面族在坐标轴上的截距的倒数来表示的，而这三个截距的倒数之比就等于晶面族的法线与三个基矢的夹角余弦之比，从而反响了一个平行晶面族的方向。8.试画出体心立方、面心立方的（100），（110）和（111）面上的格点分布。解：体心立方（100），（110）和（111）面上的格点分布为：体心立方（100）面体心立方（110）面体心立方（111）面面心立方（100），（110）和（111）面上的格点分布为：面心立方（100）面面心立方（110）面面心立方（111）面9.一个物体或系统的对称性高低如何判断？有何物理意义？一个正八面体（见图1.35）有哪些对称操作？解：对于一个物体或系统，我们第一必定对其经过测角和投影今后，才可对它的对称规律，进行解析研究。若是一个物体或系统含有的对称操作元素越多，则其对称性越高；反之，含有的对称操作元素越少，则其对称性越低。晶体的好多宏观物理性质都与物体的对称性相关，比方六角对称的晶体有双折射现象。而立方晶体，从光学性质来讲，是各向同性的。正八面体中有3个4度轴，其中任意2个位于同一个面内，而另一个则垂直于这个面；6个2度轴；6个与2度轴垂直的对称面；3个与4度轴垂直的对称面及一个对称中心。10.各种晶体的配位数（近来邻原子数）是多少？解：7种典型的晶体结构的配位数以下表1.1所示：晶体结构配位数晶体结构配位数2面心立方12氯化钠型结构6六角密积体心立方8氯化铯型结构8简立方6金刚石型结构411.利用刚球密堆模型，求证球可能占有的最大体积与整体积之比为32（1）简单立方6；（2）体心立方8；（3）面心立方623（4）六角密积6；（5）金刚石16。解：（1）在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数a2R，则简立方的致密度（即球可能占有的最大体积与整体积之比）为：（2）在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数a4R/3，则体心立方的致密度为：（3）在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数a22R，则面心立方的致密度为：（4）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数a2R，c(26/3)a(46/3)R，则六角密积的致密度为：（5）在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数a(8/3)R，则金刚石的致密度为：12.试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。解：我们知体心立方格子的基矢为：依照倒格子基矢的定义，我们很简单可求出体心立方格子的倒格子基矢为：由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。同理可得出头心立方格子的倒格子为一体心立方格子，所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。对于六角密积结构，固体物理学原胞基矢为试求倒格子基矢。解：依照倒格子基矢的定义可知：3aciacj22222(i＝j)3a2ca323aciacj22222＝i(j)3a2ca3233a2k222=k3a2cc214.一晶体原胞基矢大小a41010m，b61010m，c81010m，基矢间夹角90，90，120。试求：1）倒格子基矢的大小；2）正、倒格子原胞的体积；3）正格子(210)晶面族的面间距。解：(1)由题意可知，该晶体的原胞基矢为：由此可知：a2a3bc(3i1j)21b12=222(ia3]3=j)a1[a2a3abc2b22a3a1=2acj=22ja1[a2a3]3abcb32a1a2ab3k2b32=22k[a2a3]3abc=a1c2所以b1＝212(1)2＝41.81381010m1a33ab2＝2(2)2＝41.20921010m1b33bb3＝212＝20.78541010m1cc正格子原胞的体积为：a1[a2a3]＝(ai)[b(1i3j)(ck)]＝3abc1.66281028m3222倒格子原胞的体积为：b1[b2b3]＝2(i1j)[2(2j)2(k)]＝1631.49181030m3a3b3c3abc4(3)依照倒格子矢量与正格子晶面族的关系可知，正格子(210)晶面族的面间距为：2=2=2dh2b11b244Kh0b34i)ja(3b3a=211.44121010m41)2(11)2(a3a3b15.如图1.36所示，试求：1）晶列ED，FD和OF的晶列指数；2）晶面AGK,FGIH和MNLK的密勒指数；3）画出晶面（120），（131）。1.36解：（1）依照晶列指数的定义易求得晶列ED的晶列指数为[111]，晶列FD的晶列指数[110]，晶列OF的晶列指数为[011]。2）依照晶面密勒指数的定义晶面AGK在x，y和z三个坐标轴上的截距依次为1，-1和1，则其倒数之比为:1:11:1:1，故该晶面的密勒指数为（111）。111晶面FGIH在x，y和z三个坐标轴上的截距依次为1/2，∞和1，则其倒数之比为11:1:12:0:1，故该晶面的密勒指数为（201）。/21晶面MNLK在x，y和z三个坐标轴上的截距依次为1/2，-1和∞，则其倒数之比为11:1:12:1:0，故该晶面的密勒指数为（210）。/21AMLk和晶面ABC所示：（3）晶面（120），（131）分别以以下列图中晶面16.矢量a，b，c组成简单正交系。证明晶面族(hkl)的面间距为解：由题意可知该简单正交系的物理学原胞的基矢为：由此可求得其倒格子基矢为：依照倒格子矢量的性质有：17.设有一简单格子，它的基矢分别为a13i，a23j，a31.5(ijk)。试求：1）此晶体属于什么晶系，属于哪一各种类的布喇菲格子？2）该晶体的倒格子基矢；3）密勒指数为（121）晶面族的面间距；4）原子最密集的晶面族的密勒指数是多少？5）[111]与[111]晶列之间的夹角余弦为多少？解：（1）由题意易知该晶体属于立方晶系，并属于体心立方布喇菲格子。（2）由倒格子基矢的定义可知：5（3）依照倒格矢的性质，可求得密勒指数为（121）晶面族的面间距为（4）由于面密度d，其中d是面间距，是体密度。对布喇菲格子，等于常数。所以，我们可设原子最密集的晶面族的密勒指数为(h1h2h3)，则该晶面族的面间距dh1h2h3应为最大值，所以有由此可知，对面指数为（100）、（010）、（101）、（011）和（111）有最大面间距3/2，所以这些面即为原子排列最亲近的晶面族。（5）[111]与[111]晶列之间的夹角余弦为18.已知半导体GaAs拥有闪锌矿结构，Ga和As两原子的近来距离d＝2.45×10-10m。试求：(1)晶格常数；(2)固体物理学原胞基矢和倒格子基矢；(3)密勒指数为(110)晶面族的面间距；(4)密勒指数为(110)和(111)晶面法向方向间的夹角。解：(1)由题意可知，GaAs的晶格为复式面心立方晶格，其原胞包含一个Ga原子和一个As原子，其中Ga原子处于面心立方地址上，而As原子则处于立方单元体对角线上距离Ga原子1/4体对角线长的地址上，如左图所示：由此可知：故a4d42.451010m=5.591010m33(2)由于GaAs的空间点阵为面心立方结构，故其固体物理学原胞基矢为：其倒格子基矢为：密勒指数为(110)晶面族的面间距为：依照倒格子矢的性质可知，密勒指数为(110)和(111)晶面法向方向间的夹角即为倒格子矢K110和K111之间的夹角，设为，则有：arccos(0.3015)107.5519.如图1.37所示，设二维正三角形晶格相邻原子间距为a，试求：正格子基矢和倒格子基矢；画出第一布里渊区，并求出第一布里渊区的内接圆半径。解：(1)取该二维正三角形晶格中任意相邻的两边为基矢，并使a1的方向和i的方向相同，于是有：a1aia2a3a那么有：ij22(2)依照第一布里渊区的定义，可作图以下所示：图1.37上图中的阴影部分即为第一布里渊区，且由图中能够求出第一6布里渊区的内接圆半径为：20.试求面心立方结构、体心立方结构和金刚石结构的几何结构因子；并谈论其衍射相消条件。解：（1）在面心立方结构的原胞中包含有4个原子，其坐标为000，110，101，011222222由此可知，其几何结构因子为2f21cosn(hk)cosn(hl)cosn(kl)2∴Fhkl由于h、k、l和n都为整数，所以上式中的正弦项为0。于是有由此可知，当nh、nk和nl奇偶混杂时，即nh、nk和nl不同样为奇数或偶数时，此时20，即出现衍射相消。Fhkl（2）在体心立方结构的原胞中包含有2个原子，其坐标为000111和222由此可知，其几何结构因子为∴Fhkl2f21cosn(hkl)2sinn(hkl)2由于h、k、l和n都为整数，所以上式中的正弦项为0。于是有由此可知，当n(hkl)为奇数时，此时有F20，即出现衍射相消。hkl（3）在金刚石结构的原胞中含有8个原子，其坐标为000，111，110，101，011，133，331，313444222222444444444由此可知，其几何结构因子为222f21cosn(hkl)sinn(hkl)1cosn(hk)∴Fhkl22由于h、k、l和n都为整数，所以上式中的正弦项为0。于是有由此可知，当nh、nk和nl奇偶混杂时，即nh、nk和nl不同样为奇数或偶数时也许当nh、nk和nl全为偶数，且n(hkl)4(2m20，1)（其中m为整数）时，有有Fhkl即出现衍射相消。21.用钯靶KX射线投射到NaCl晶体上，测得其一级反射的掠射角为5.9°，已知NaCl晶胞中Na＋与Cl－的距离为2.82×10-10m，晶体密度为2.16g/cm3。求：射线的波长；阿伏加德罗常数。解：（1）由题意可知NaCl晶胞的晶胞参数a22.8210105.641010m，又应为NaCl晶胞为面心立方结构，依照面心立方结构的消光规律可知，其一级反射所对应的晶7面族的面指数为（111），而又易求得此晶面族的面间距为d111a5.6410103.261010m1212123又依照布拉格定律可知：2d111sin23.261010sin5.96.702109m（2）由题意有以下式子成立∴NA4MNaCl458.56.03823a3(5.641010)32.16106108第二章晶体的结合1.述离子、共价、金属、范德瓦斯和的基本特点。解：（1）离子：无方向性，能相当；（2）共价：和性和方向性，其能也非常；（3）金属：有必然的方向性和和性，其价子不定域于2个原子之，而是在整个晶体中巡游，于非定域状，全部原子所“共有”；（4）范德瓦斯：依靠瞬偶极距或固有偶极距而形成，其合力一般与r7成反比函数关系，合能弱；（5）：依靠原子与2个性大而原子半径小的原子（如O，F，N等）相合形成的。也既有方向性，也有和性，而且是一种弱的，其合能50kJ/mol。2.有人“晶体的内能就是晶体的合能”，？解：句不，晶体的合能是指当晶体于定状的能量（能和能）与成晶体的N个原子在自由的能量之差，即EbENE0。（其中Eb合能，EN成晶体的N个原子在自由的能量，E0晶体的能量）。而晶体的内能是指晶体于某一状（不用然是定平衡状）的，其全部成粒子的能和能的和。3.当2个原子由相距很而逐凑近，二原子的力与能是如何逐化的？解：当2个原子由相距很而逐凑近，2个原子引力和斥力都开始增大，但第一引力大于斥力，的作用引力，f(r)0，而互相作用能u(r)逐减小；当2个原子慢慢凑近到平衡距离r0，此，引力等于斥力，的作用零，f(r)0，而互相作用能u(r)达到最小；当2个原子距离减小，由于斥力急增大，此，斥力开始大于引力，的作用斥力，f(r)0，而互相作用能u(r)也开始急增大。4.什么金属比离子晶体、共价晶体易于行机械加工而且、性优异？解：由于金属晶体中的价子不像离子晶体、共价晶体那定域于2个原子之，而是在整个晶体中巡游，于非定域状，全部原子所“共有”，所以金属晶体的延展性、性和性都好。5.有一晶体，在平衡的体V0，原子之的互相作用能U0，若是原子互相作用能由下式出：u(r)rmrn，明性模量可由/(9)出。U0mnV0解：依照性模量的定可知KVdPVd2U⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1）dVV0dV2V09上式中利用了PdU的关系式。dV系包含N个原子，系的内能能够写成UNu(r)N(rmrn)⋯⋯⋯⋯⋯（2）22r又因可把N个原子成的晶体的体表示成近来原子距的函数，即VNvNr3⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3）上式中与晶体构相关的因子（如面心立方构，2/2）。又因(dU)1(dU)RNmn1⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4）dV3Nr2dr02rm1rn13Nr2d2Udrd1Nmn(2)V0dVdr3Nr2(m1rn1dV2rrr01Nm2n23m3n⋯⋯⋯⋯⋯（5）9V022r0mr0nr0mr0ndUmn考平衡条件(dV)r00，得r0mr0n，那么（5）式可化1NmnnmmnNr0mr0nmn(U0)⋯⋯（6）9V022r0nr0m9V0229V02将（6）式代入（1）式得：6.上表示的互相作用能公式中，若m2，n10，且两原子组成定分子距31010m，离解能4eV，算和之。解：在平衡地址有u(r)r02r010EK⋯⋯⋯⋯（1）du(r)2100⋯⋯⋯⋯（2）drr03r0110将离解能Ek4eV和r031010m3A代入（1）和（2）式可得：4.51019eV·m2，5.91096eV·m10。ABr02.81010m，合能7.某晶体每原子的能具r9r的形式，平衡1019810J，算A和B以及晶体的有效性模量。解：由意有以下方程成立：把r0，U的详尽数代入上述方程，即得：由此可得：A1.057810105Jm9，B2.521028Jm晶体的有效性模量：KV0(d2u2)V0又∵VNvNr3dV（上式中N表示晶体中所含的原子个数，表示与晶体构相关的因子）1d2u)r190A2B)＝111故K(＝(r033.2797109Nr0dr209Nr0r0119N8.KCl晶体的体性模量1.74×1010Pa，若要使晶体中相离子距小0.5%，需要施加多大的力。解：KCl晶体内包含N个原胞，合考到吸引能和重叠排斥能，系的内能能够写成UAB⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1）Nrnr其他，由于KCl每个原胞体2r3，晶体的体V2Nr3⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2）其中（1）和（2）式中的r都指KCl晶体中相K＋和Cl－之的距离。依照体性模量的定有：KVdPVd2U⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3）dVV0dV2V0平衡晶体内相离子的距离r0，平衡体V02Nr03，那么平衡的体性模量Kd2U。又依照KCl晶体内能表达式（dU0，可V21）式及平衡条件()V0dVV0dV得AnB0或B1n1。r02r0n1Anr0将（1）和（2）式代入（3）式，并利用平衡条件可得上式中的前一由于平衡条件而等于0，后一求微商后利用平衡条件化得由此知A

18Kr04n111当使晶体中相离子距小0.5%，即便相离子距r1r0(10.5%)0.95r0，此需施加的外力中表2.2及表2.5可知，n9.0，r03.141010m，代入上式可得F2.17109N9.由N个原子（离子）所成的晶体的体可写成VNvNr3。式中v每个原子（离子）平均所占有的体；r粒子的最短距离；与构相关的常数。求以下各种构的：求：立方点；面心立方点；体心立方点；金石点；NaCl点；解：（1）在立方点中，每个原子平均所占有的体va3r3，故1；（2）在面心立方点中，每个原子平均所占有的体v131323，故24a(2r)r；422（3）在体心立方点，每个原子平均所占有的体v13123433，故43a(r)r；22399（4）在金石点中，每个原子平均所占有的体v1314r)3833，故83a8(9r；839（5）在NaCl点中，每个原子平均所占有的体v1a31(2r)3r3；故1。8810.于由N个惰性气体原子成的一原子，平均每2个原子：u(x)u0()122()6。xx求：（1）原子的平均距离x0；（2）每个原子的平均晶格能；（3）系数k。解：（1）在平衡，有下式成立du(x)u012122660⋯⋯⋯⋯⋯（1）dxx013x07xx0由上式可得x0（2）N个惰性气体原子成的一原子的的互相作用能U(x)，那么有U(x)Nu0()122()6⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2）2jx1jx1j12X2个原子的最短距离，有x1iajX，那么（2）式可化U(X)Nu0A()12B()6⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3）2XX其中（3）式中A1(111)2.00048，2212312ja12jB21211)4.07809。2(136ja6j26那么每个原子的平均晶格能（3）依照系数的定可知1dV111k2d⋯⋯（4）VdPVdPdUNxdU2dX()dVV(dV2)NdX将（3）式代入（4）式得：011.若NaCl晶体的德隆常数Μ=1.75，晶格常数a=5.64A，指数n=9。晶体拉伸而达到定极限，求：离子距增加多少？的理是多大？解：（1）NaCl晶体的含有N个离子，其互相作用能U(r)NMq2B⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1）240rrn上式中的r指NaCl晶体中相两离子的距离。又NaCl晶体于平衡状，相两离子的距离r0，有r01a。2由平衡条件可知dU(r)NMq2nB0⋯⋯⋯⋯⋯（2）dr240r2rn1rr0rr0Mq2n1由（2）式可得：Br0。40n当晶体拉伸而达到定极限，此相离子的引力达到最大，即有d2U(r)N2Mq2n(n1)B0⋯⋯（3）dr2240r3rn2rr1rr1将BMq2r0n1代入（3）式可得40n0所以离子距增加了rr1r03.452.820.63A13（2）由（1）可求出晶体拉伸定的理11.75(1.91019)21.75(1.91019)2(2.821010)91243.148.8541012(3.451010)243.148.8541012(3.451010)911.91109Pa12.已知有N个离子成的NaCl晶体，其合能：r

U(r)N(e2rn)240r。若排斥rn由ce来代替，且当晶体于平衡，两者互相作用能的献同样。求出n和的关系。解：由平衡条件可知dU(r)N(e2drr0240r0240n1由（1）式可求得r0n1e2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（

nn1)0⋯⋯⋯（1）r02）r0又由意有r0nce⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3）将（2）式代入（3）式可得：13.假设在某个离子晶体中，某离子的空能被一种介常数的平均流体渗而不至于影响离子的排斥作用，但互相作用减少原来的1/。算种情况下NaCl的点常数和合能。解：由意可知，当NaCl晶体被介常数的平均流体渗，其互相作用能：NMq2BU(r)2(40rrn)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1）由平衡条件可知有dU(r)N(Mq2nB)0⋯⋯⋯（2）drr240r02r0n10由（2）式可求得NaCl晶体于平衡状，相两个离子的距离1140nBn1a2r040nBn1r02那么NaCl的点常数：2Mq2MqN(Mq2n1(Mq2n12合能EbU(r0))n1(nB)n1)n1(nB)n12404014A14.察看一条直，其上有q交的2N个离子，近来之的排斥能Rn。（1）明在平衡，（2）令晶体被，使R0R0(1)。明在晶体被程中，外力做功的主1C每离子平均2

2。其中，(n1)q2ln2C0R04解：（1）型离子晶体的合能U(R)Nq211AMq2A')⋯⋯⋯⋯⋯（1）(aj)janjN(40RjRn40RRn其中（1）式中的M(1)，即型离子晶体的德隆常数，等于2ln2；jajAA'janj当晶体于平衡，有平衡条件：dU(R)Mq2dRRN(40R020由（2）式可得2A'MqR0n140n将（3）式代入（1），并将M2ln2也代入（1）可得：

nA'R0n1)0⋯⋯⋯⋯（2）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3）（2）使R0R0(1)，当很小，在RR0周边把U(R)张开泰勒数U[R0(1)]U(R0)dU(R)R01d2U(R)(R0)2（4）dRRR02dR2RR0dU(R)上式中依照平衡条件有0，还有dRRR0离子晶体被l2NR0，外力所作的功的主（略去二以上微量）得12Nq2ln2(n1)21C'2上式中，C'2Nq2ln2(n1)240R0240R0量l2NR0是属于2N个离子所共有的，即2N个度R0的段的量l。所以，外力一个离子所做的功W平均15WFl1C'21C2上式中，CC'q2ln2(n1)。2N22N22N40R016第三章晶格振动与晶体的热学性质1.什么是近似？解：当原子在平衡地址周边作渺小振，原子的互相作用能够与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡地址周边做振。个近似即称近似。2.定性出一原子中振格波的相速度和群速度波矢的关系曲，并要明其意。解：由一原子的色散关系的相速度

2qasinm2，可求得一原子中振格波qasinvpa2qmqa2⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1）而其群速度vgdacosqadqm2⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2）由（1）式和（2）式可做出一原子中振格波的相速度和群速度波矢的关系曲以下3.1所示：3.1sinqavpa2AaqmqaBa。曲1代表2，曲上中m，2代表vgdamcosqadq2。由（1）式及合上3.1中能够看出，由于原子的不性，相速度不再是常数。但当q0，vpam一常数。是因当波很，一个波范含有若干个原子，相原子的位相差很小，原子的不效很小，格波凑近与媒中的性波。由（2）式及合上3.1中能够看出，格波的群速度也不等于相速度。但当q0，vgvpa当q于第一布区界上，q0，m，体出性波的特点，即a，vg17vp2a而m，表示波矢位于第一布里渊区界上的格波不能够在晶体中播，上它是一种波。3.周期性界条件的物理含是什么？引入个条件后致什么果？若是晶体是无量大，的取将会怎？解：由于晶体的大小是有限的，存在界，而然界上原子所的境与体内原子的不同样，从而造成界原子的振状和内部原子有所差。考到界内部原子振状的影响，波恩和卡引入了周期性界条件。其详尽含是想在一Na的有限晶体界之外，依旧有无多个同样的晶体，而且各晶体内相的原子的运情况一，即第j个原子和第tNj个原子的运情况一，其中t＝1，2，3⋯。引入个条件后，致描述晶格振状的波矢q只能取一些分立的不同样。若是晶体是无量大，波矢q的取将于。4.什么叫声子？于必定的晶体，它可否有必然种和必然数目的声子？解：声子就是晶格振中的振子的能量量子，它是一种玻色子，遵从玻色－因斯坦，即拥有能量wj(q)的声子平均数于必定的晶体，它所的声子种和数目不是固定不的，而是在必然的条件下生化。5.比格波的量子声子与黑体射的量子光子；“声子气体”与真谛想气体有何同样之和不同样之？解：格波的量子声子与黑体射的量子光子都是能量量子，都拥有必然的能量和量，但是声子在与其他粒子互相作用，能量守恒，但量却不用然守恒；而光子与其他粒子互相作用，能量和量却都是守恒的。“声子气体”与真谛想气体的同样之是粒子之都无互相作用，而不同样之是“声子气体”的粒子数目不守恒，但真谛想气体的粒子数目倒是守恒的。6.晶格比容的因斯坦模型和德拜模型采用了什么化假？各获取了什么成就？各有什么限制性？什么德拜模型在极低温度下能出精确果？解：我知道晶体比容的一般公式由上式能够看出，在用量子理求晶体比容，的关在于如何求角率的分布函数()。但是于详尽的晶体来，()的算特别复。此，在因斯坦模型中，假晶体中全部的原子都以同样的率振，而在德拜模型中，以介的性波来代表格波以求出()的表达式。因斯坦模型获取的最大成就在于出了当温度近于零，比容cV亦近于零的果，是典理所不能够获取的果。其限制性在于模型出的是比容cV以指数形式18近于零，快于出的以T3近于零的果。德拜模型获取的最大成就在于它出了在极低温度下，比和温度T3成比率，与果相吻合。其限制性在于模型出的德拜温度D恒定，适用于全部温度区，但上在不同样温度下，德拜温度D是不同的。在极低温度下，其实不是全部的格波都能被激，而只有声学波被激，比容生影响。而于声学波，晶格能够介，声学波拥有性波的性，所以德拜的模型的假基本吻合事，所以能得出精确果。7.声子碰撞的准量守恒什么不同样于一般粒子碰撞的量守恒？U程物理像是什么？它背了宽泛的量守恒定律？解：声子碰撞，其前后的量不用然守恒，而是足以下的关系式其中上式中的Gn表示一倒格子矢量。于Gn0的情况，即有q1q2q3，在碰撞程中声子的量没有生化，种情况称正程，或N程，N程可是改了量的分布，而不影响流的方向，它阻是没有献的。于Gn0的情况，称翻程或U程，其物理像可由下3.2来描述：3.2U程物理表示在上3.2中，q1q2是向“右”的，碰撞后q3是向“左”的，从而破坏了流的方向，所以U程阻是有献的。U程没有背宽泛的量守恒定律，因声子不是物量子，所以其足的是准量守恒关系。8.要明近似下晶体不会生膨的物理原因；能的非起了哪些作用？解：由于在近似下，原子互相作用能在平衡地址周边是称的，随着温度高升，原子的能量增高，但原子的距离的平均不会增大，所以，近似不能够解膨象。能的非在晶体的和膨中起了至关重要的作用。9.已知由N个同样原子成的一原子晶格格波的密度可表示2N(m22)1()2。式中m是格波的最高率。求它的振模数恰好等于N。解：由意可知晶格的振模数10.若格波的色散关系cq2和0cq2，出它的状密度表达式。解：依照状密度的定式可知()nlim0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1）19其中n表示在隔内晶格振模式的数目。若是在q空中，依照(q)const作出等率面，那么在等率面和之的振模式的数目就是n。由于晶格振模在q空分布是平均的，密度V/(2)3（V晶体体），所以有VdSdq(2)3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2）将（2）式代入（1）式可获取状密度的一般表达式()VdS(2)3q(q)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3）（3）式中q(q)表示沿法方向率的改率。cq2，将之代入（3）式可得0cq2，将之代入（3）式可得11.求量m，原子距a/2，力常数交1，2的一原子振的色散关系。101，求在q0和q(q)，并大概画优异散关系。当2a的解：下3.3出了一原子的表示2β1m2β12x2n-2x2n+1x2nx2n+1x2n+2x2n+3a3.32在近来近似和近似下，第2n和第（2n+1）个原子的运方程d2x2n2(x2n1x2n)1(x2nx2n1)mdt2d2x2n1(x2n2x2n1)2(x2n1x2n)m21dt⋯⋯⋯⋯⋯（1）2101，上述方程（1）可md2x2n101(x2n1x2n)1(x2nx2n1)dt2md2x2n1(x2n2x2n1)101(x2n1x2n)dt21⋯⋯⋯⋯⋯（2）20求格波解，令i[(2n)qat]x2nAe2qai[(2n1)t]x2n1Be2⋯⋯⋯⋯⋯（3）将（3）式代入（2）式，可出性方程(1112)A1(10eiqa/2eiqa/2)B0mm1112)B1(eiqa/210eiqa/2)A(0mm⋯⋯⋯⋯⋯（4）12令m0，从A，B有非零解的系数行列式等于零的条件可得(11由（5）式可解出

22)24iqa/2eiqa/2iqa/210eiqa/2)000(10e)(e⋯⋯（5）202(1120cosqa101)当q0，cosqa1，220，0qa，cosqa1，200，20当其色散关系曲以下3.4所示：3.4原子的力常数不相等的双原子的晶格振色散关系曲12.如有一布喇菲格子，第2n个原子与第2n1个原子之的力常数；而第2n个原子与第2n1个原子的力常数'。1）写出个格子振的力学方程；2）明种情况也有声学波和光学波；（3）求q0，声学波和光学波的率；（4）q2a（a晶格常数），声学波和光学波的率。求解：（1）此与（11）基实情似，在近来近似和近似下，同能够写出第2n和第2n1个原子的力学方程21d2x2n(x2n1x2n)'(x2nx2n1)m2dtmd2x2n1'(x2n2x2n1)(x2n1x2n)dt2⋯⋯⋯⋯⋯（1）（2）求出方程（1）的格波解，可令x2nAei[(2n)qat]x2n1Bei[(2n1)qat]⋯⋯⋯⋯⋯（2）于是将（2）式代入（1）式，可出性方程('2)A(eiqa'eiqa)B0mmm('eiqaeiqa)A('2)B0mmm⋯⋯⋯⋯⋯（3）'22'2m012从A、B有非零解的系数行列式等于零的条件可令，m，m得(由（4）式可解出

22)2(44222cos2qa)001212⋯⋯⋯⋯⋯（4）2244222cos2qa01212⋯⋯⋯⋯⋯（5）由此可知，的取也有和之分，即存在声学波和光学波（3）由（5）式可知当q0，cos2qa1，有222)，光学波率222声学波率0(120(12)（4）同由（5）式可知q2a，cos2qa1，有当222222声学波率012，光学波率01213.在一双原子中，如M/m1，2(1112sinqa2mcos2qa)2（1）求：M；mM。（2）画出与q的关系（M/m10）。22解：（1）在一双原子中，其第2n个原子与第2n1个原子的运方程d2x2n(x2n1x2n12x2n)mdt2d2x2n1(x2nx2n22x2n1)M2dt⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1）x2nAei[(2n)qat]解方程（1）可令将（2）式代入（1）式可得出

x2n1Bei[(2n1)qat]⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2）(22)A(2cosqa)B0mm(2cosqa)A(22)B0MM⋯⋯⋯（3）从A、B有非零解，方程（3）的系数行列式等于零的条件出，可得2()()24sin2qa可解出得MmMmMm⋯⋯⋯⋯⋯（4）当（4）式中取“－”号，有(Mm)4Mm121(12sin2qa)21mM(Mm)⋯⋯⋯⋯⋯（5）∵M/m1，∴（5）式中有(Mm)M4Mmsin2qa4Mmsin2qa4msin2qa1MmMmm，(Mm)2M2M那么（5）式可化12sinqaM∴当（4）式中取“＋”号，有122

(Mm)(Mm)4Mm22MmMm1(Mm)2cosqa⋯⋯⋯⋯⋯（6）∵M/m1，∴（6）式中有(Mm)M(Mm)MMmMmm，MmMmm那么（6）式可化23122(1mcos2qa)2∴mM211121222sin2qa（2）当M/m10，（4）式可化10m100m25m2此，与q的关系，即色散关系以下3.5所示：3.5一双原子振的色散关系曲14.在一复式格子中，若是m51.671024g，M/m4，1.5N/m。求：光学波率的最大、最小及声学波率的最大；相的声子能量是多少eV?3种声子在300K各有多少个？若是用磁波激光振，要激最大光学率的声子所用的磁波在什么波段？解：(1)由于光学波率的最大和最小的算公式分：mMm51.6710246.681024g上式中mMm/M11/41化量所以有：而声学波率的最大的算公式：所以有：相的声子能量：(3)由于声子属于玻色子，遵从玻色—因斯坦，有如用磁波来激光振，要激最大光学率的声子所用的磁波足以下关系式：q15.在一双原子晶格振的情况下，明在布里渊区界2a，声学支格波中全部原子m静止，而光学支格波中全部重原子M静止。画出原子振的像。解：第2n个原子原子，其量m，第2n1个原子重原子，其量M，它的运方程d2x2n(x2n1x2n12x2n)mdt2Md2x2n1(x2nx2n22x2n1)dt2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1）解方程（1）可令x2nAei[(2n)qat]x2n1Bei[(2n1)qat]⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2）将（2）式代入（1）式可得出24(22)A(2cosqa)B0mm(2cosqa)A(22)B0MM⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3）A、B有非零解，方程（3）的系数行列式等于零的条件出，可得可解出得2()()24sin2qaMmMmMm⋯⋯⋯⋯⋯（4）q222a，可求得声学支格波率M，光学支格波率m令由方程（3）可知，在声学支中，原子m与重原子M的振幅之比由此可知，声学支格波中全部原子m静止。而在光学支中，重原子M与原子m的振幅之比由此可知，光学支格波中全部重原子M静止。此原子振的像以下3.6所示：3.6（a）声学支格波原子振；（b）光学支格波原子振16.从一双原子晶格色散关系出，当m逐凑近M和mM，在第一布里渊区中，晶格振的色散关系如何化？与一原子的色散关系比，并果行。解：一双原子晶格的色散关系由此可做出以下3.7的一双原子振的色散关系曲3.7一双原子振的色散关系曲由上能够看出，当m逐凑近M，在第一布里渊区界，即q2a，声学波的率开始增大，而光学波的率开始减小，而当mM，声学波的率和光学2q波的率在2a相等，都等于M而在一原子中，其色散关系

。24sin2qa2，由此可，在一原子O中只存在一支格波，其色散关系曲与一双原子中的声学波的色散关系曲基实情似，q2在其布里渊区界，即a，其格波率M，是双原子的格波在布里渊25界的率的2倍。()9N2317.晶体由N个原子成，用德拜模型明格波的状密度m。式中m格波的截止率。解：在德拜模型中，假晶体的振格波是介的性波，即有色散关系vpq⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1）那么格波的状密度()V14q22(2)3dVdq22v3p⋯⋯⋯（2）m又依照()d3N⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3）0将（2）式代入（3）式得mV2vp3d3N022⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4）由（4）式可得v3pVm3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5）182N()9N2把（5）式代入（2）式即可得3m118.晶体中每个振子的零点振能是2，用德拜模型求一、二和三晶体的零点振能。原子数N，一晶格度L，二晶格的面S，三晶格的体V。解：(1)一晶体的零点振能：()d表示角率在d之的格波数，而且m()dN0(1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯上式中：m是最大的角率；N晶体中的原子数。上述的零点能能够写成：m1()d02(2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯26考到一晶体中，其状密度：dZdZdq()dqdd⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3)由于德拜模型考的是声学波的影响，而声学波能够看作媒性波。于性波，一个波矢一个状，有：dZL故dq⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(4)dvPvPq，dq于性波，⋯⋯⋯⋯⋯(5)(L)将(4)和(5)式代入(2)式，得：vP⋯⋯⋯(6)mNvP将(6)L式代入(1)式，可得：将(6)式代入(2)式，可得一晶体的零点振能：于二晶体来，算其零点振能基本方法与一晶体的方法相似，可是(1)式要改：m()d2N0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(7)S()而于二晶体，其状密度函数：vP2⋯⋯⋯⋯⋯(8)1224NvPm将(8)式代入(7)式可得：

S将(8)式代入(2)式可得二晶体的零点振能：于三晶体来，算其零点振能基本方法与一晶体的方法也基实情似，可是于(1)式要改：m()d3N0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(9)()3V2而于三晶体，其状密度函数：22vP3⋯⋯⋯(10)16N2vP33mV将(10)式代入(9)式可得：将(10)式代入(2)式可得三晶体的零点振能：19.用德拜模型，算一、二情况下晶格振的状密度、德拜温度、晶格比容。27解：在德拜模型中，假晶体的振格波是介的性波，即有色散关系vpq⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1）L1L()d22vp（1）在一情况下，晶格振的状密度dq（2）上式中，L表示一晶格的度。m又由关系式()dN⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3）0mLNNvpdm将式（3）代入式（2）可得0vp，由此求得LDmNvpkBkBL于是德拜温度晶体的比容2m/(kBT)2exkBTLxdxxvpx1)20(e（其中kBT）（2）在二情况下，晶体振的格波有2支，即一支波和一支横波，在德拜模型中，假波和横波的波速相等，都等于vp，即波和横波都有以下的色散关系S1S1()d2q(2)22vp2先考率波，其状密度dq2()S2vp2似地能够写出横波的状密度()1()S2()加起来的状密度vp2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4）m又由关系式()d2N⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5）021m2Sd2N4NvP将（4）式代入（5）式得0v2pmS，由此可得28mD于是得德拜温度为kBcVmkB(0而晶体的比热容为kB3T2S

2124NvPkBS2e/(kBT))(e/(kBT)1)2kBTm/(kBT)3exx

Sv2p

d2v2p

(ex1)2dx0

x（其中kBT）20.已知金刚石的弹性模量为1×1012N/m2，密度为3.5g/cm3。试计算金刚石的德拜温度D。解：假设金刚石的原子振动的格波为一连续介质的弹性波，其波速为vpK110121.6943.510310m/snN03.51036.0210231.7561029而又金刚石的原子密度为MC12103个/m3由此可知金刚石的德拜温度为2817K21.拥有简单立方布喇菲格子的晶体，原子间距为2×10-10m，由于非线性互相作用，一个沿[100]方向流传，波矢大小为q1.31010m-1的声子同另一个波矢大小相等当沿[110]方向流传的声子互相作用，合成为第3个声子，试求合成后的声子波矢。解：易知简单立方格子的倒格子仍是一简单立方格子，其倒格基矢b1、b2和b3互相223.143.141010垂直，长度为a21010m-1，第一布里渊区就是原点和六个近邻格点连线的垂直均分面围成的立方体。又由于由此可知q1q2落在第一布里渊区之外，即可知题所述两声子的碰撞过程是一个翻转过程或U过程，此时两声子的碰撞产生第三声子满足准动量守恒，即有q1q2q3Gn（其中Gn表示一倒格矢）为使q3落在第一布里渊区里，取Gn3.141010i，则有q30.921010i0.921010j1.31010-1其大小为m29u(r)e2B40rr2。式中B为待定常数；r为22.设某离子晶体离子间的互相作用势能为近邻原子间距。求该晶体的线膨胀系数。已知近邻原子的平均距离为3×10-10m。du(r)0dr解：由平衡条件r0，可得e22B0Be2r040r02r038由此可得0于是可求得1d2u(r)e21d3u(r)e2C2!(dr2)r080r03，g3!(dr3)r040r04那么线膨胀系数为5.4105K-130第四章金属自由电子理论1.金属自由子作了哪些假？获取了哪些果？解：金属自由假金属中的价子在一个平均中互相独立，仿佛理想气体中的粒子一是“自由”的，每个子的运由薛定方程来描述；子足泡利不相容原理，所以，子不遵从典而遵从量子的米－狄拉克。依照个理，不出了魏德曼－佛定律，而且而得出子气晶体比容的献是很小的。2.金属自由子在k空的等能面和米面是何形状？米能量与哪些因素相关？解：金属自由子在k空的等能面和米面都是球形。米能量与子密度和温度相关。3.在低温度下子比容比典理出的果小得多，什么？解：因在低温，大多数子的能量低于米能，由于受泡利原理的限制基本上不能够参加激，而只有在米面周边的子才能被激从而比容有献。4.豫的物理意是什么？它与哪些因素相关？解：豫的物理意是指子在两次碰撞之的平均自由，它的引入是用来描述晶格子漂移运的阻拦能力的。豫的大小与温度、子量、子度、子所量及金属的率相关。5.当2金属接触，什么会生接触差？解：由于2金属中的子气系的米能高低不同样而使子射的逸出功不同样，所以2金属接触，会生接触差。6.已知一金属晶体共含有N个子，晶体的度L，T0K。求：1）子的状密度；2）子的米能；3）晶体子的平均能量。解：(1)一金属晶体的子状密度：dZdZdk⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1）(E)dkdEdE考在k空中，在半径k和kdk的两段之所含的状数：dZ2dkLdk⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2）k又由于E2k22m所以dE2k⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3）dkm将（2）和（3）式代入（1）式，并考到每个状可容2个自旋相反的子，得一金属晶体中自由子的状密度：31(E)2Lm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4）2E（2）由于子是米子，遵从米—狄拉克，即在平衡，能量E的能被子占有的几率：f(E)1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5）EEFeKBT1于是，系中的子数可表示：Nf(E)(E)dE⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6）0由于T0K，所以当EEF0，有f(E)0，而当EEF0，有f(E)1，故（6）式可化：EF02LmdE＝4LmEF0＝202E由此可得：EF0N222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7）8mL2（3）在T0K，晶体子的平均能量：E01Ef(E)(E)dE＝1EF0E2LmdEN0N02E32221EF0＝2L2m(EF0)2＝N3N24mL237.限制在L的正方形中的N个自由子，子的能量2E(kx,ky)(kx2ky2)。2m求：（1）能量E～EdE之的状数；2）此二系在零度的米能量；3）子的平均能量。解：（1）K空中，在半径k和kdk的两面之所含的状数dZL222kdkL2kdk⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1）42也就是能量在E～EdE之的状数，由子的能量表达式可得kdk2mE2m1dEmdE⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2）2222E32将（2）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，这样可得能量dE之间的状态数为dZ2mL22在E～E2dEmL2dE22）由（1）问可知，该系统的自由电子的状态密度为在绝对零度下，由下式由此可得此二维系统在绝对零度的费米能量为3）电子的平均能量为8.金属锂是体心立方晶格，晶格常数为a3.51010m。试计算绝对零度时电子气的费米能量EF0（以eV表示）解：由题意可求得金属锂的电子浓度为n2(3.524.661028/m3a31010)3故绝对零度时金属锂的电子气的费米能量为7.571019J4.72eV9.在低温下金属钾的比摩尔热容的实验结果可写成cv(2.08T2.57T3)mJ/(molK)若1mol的钾有N61023个电子，试求钾的费米温度TF和德拜温度D。解：依照金属自由电子气模型，低温下金属的总比摩尔热容为：上式中，N02kB2，b124N0kB，所以有：2EF053D故：0N02kB2610233.142(1.381023)22.7081019EF2.081034.16103J2又由kBTF0EF0得TF02.708101.3810

19231.962104K3123.144610231.381023而D52.5710390.9K10.试比较1mol金属钠在30K和0.3K时的德拜比热容，并与电子比热容比较。已知钠的德拜温度D150K，钠的费米能级EF03.23eV。解：在30K时，1mol金属钠的德拜比热容为1.57J/K33而其电子比热容为0.0328J/K所以德拜比热容与电子比热容之比为在0.3K时1mol金属钠的德拜比热容为1.57106J/K而其电子比热容为3.28104J/K所以德拜比热容与电子比热容之比为11.有一钨丝，长0.05m，横截面积的直径为1×10-4m。试求2000K时钨丝的热电子发射电流。已知钨的电子逸出功为4.5eV。解：由里查孙－杜师曼定律可知钨丝的热电子发射电流密度为7510420002e4.51.61019/(1.3810232000)14.05A/m2故热电子发射电流为11042IjS14.053.141.103107A212.室温下利用光电效应已测得银及铯的光电效应阀值分别为4.8eV和1.8eV。求：1）采用里查孙－杜师曼公式分别估计银及铯在室温下的热电子发射电流密度；2）若温度上升至800K时，其热电子发射电流密度为多少？3）若把银与铯两种金属接触在一起，求出室温下它们的接触电势差。解：（1）在室温下银的热电子发射电流密度为8.3610在室温下铯的热电子发射电流密度为5.4710

A/m2202A/m（2）在800K时银的热电子发射电流密度为4.7210192A/m在室温下铯的热电子发射电流密度为4.80A/m2（3）若把银与铯两种金属接触在一起，它们的接触电势差为VD1WCs)3V(WAgem(dvv)e13.利用电子漂移速度v的方程dt，证明在频次下的电导率为：()(0)[1i)2]ne21(其中(0)/m0。解：设电场为0eit，则有34或dvve0eitdtm齐次方程dvv0的通解为dt设非齐次方程的特解为vAeit，则有从上式可求出特解的待定系数A为故非齐次方程的通解为上式中的第一项随时间的增大迅速衰减，表示电子在电场作用下的驰豫过程，对电流没有贡献，对电流有贡献是第二项，若是在电场的作用下，单位体积内含有n个电荷为e的电子，则其电流密度j()n(e)vne20eit)m(1i()故()ne2(11(0)1imi)1()2其中(0)

ne2m35第五章固体的能带理论1.布洛赫电子论作了哪些基本近似？它与金属自由电子论对照有哪些改进？解：布洛赫电子论作了3条基本假设，即①绝热近似，认为离子实固定在其瞬时地址上，可把电子的运动与离子实的运动分开来办理；②单电子近似，认为一个电子在离子实和其他电子所形成的势场中运动；③周期场近似，假设全部电子及离子实产生的场都拥有晶格周期性。布洛赫电子论对照于金属自由电子论，考虑了电子和离子实之间的互相作用，也考虑了电子与电子的互相作用。2.周期场对能带形成是必要条件吗？解：周期场对能带的形成是必要条件，这是由于在周期场中运动的电子的波函数是一个周期性调幅的平面波，即是一个布洛赫波。由此使能量本征值也称为波矢的周期函数，从而形成了一系列的能带。3.一个能带有N个准连续能级的物理原因是什么？解：这是由于晶体中含有的总原胞数N平时都是很大的，所以k的取值是十分密集的，相应的能级也同样十分密集，所以便形成了准连续的能级。4.禁带形成的原因如何？您可否用一物理图像来描述？解：对于在倒格矢Kh中垂面及其周边的波矢k，即布里渊区界面周边的波矢k，由于采用简并微扰计算，致使能级间产生排斥作用，从而使E(k)函数在布里渊区界面处“断开”，即发生突变，从而产生了禁带。能够用下面的图5.1来描述禁带形成的原因：E(k)<0>0DBACOk5.近自由电子模型与紧拘束图模5型.1各在有布何里特渊点区界？面它附们近有禁相带同形成之的处物？理表示图解：所谓近自由电子模型就是认为电子凑近于自由电子状态的情况，而紧拘束模型则认为电子在一个原子周边时，将主要碰到该原子场的作用，把其他原子场的作用看作微扰作用。这两种模型的同样之处是：采用一个合适的拥有正交性和齐全性的布洛赫波形式的函数集，尔后将电子的波函数在所采用的函数集中张开，其张开式中有一组特定的张开系数，将张开后的电子的波函数代入薛定谔方程，利用函数集中各基函数间的正交性，能够获取一组36各张开系数满足的久期方程。这个久期方程组是一组齐次方程组，由齐次方程组有解条件可求出电子能量的本征值，由此便揭穿出了系统中电子的能带结构。6.布洛赫电子的费米面与哪些因素相关？确定费米面有何重要性？解：布洛赫电子的费米面与晶体的种类及其电子数目相关。由于晶体的好多物理过程主若是由费米面周边的电子行为决定的，如导电、导热等，所以确定费米面对研究晶体的物理性质及展望晶体的物理行为都有很重要的作用。7.试述晶体中的电子作准经典运动的条件和准经典运动的基本公式。解：在实责问题中，只有当波包的尺寸远大于原胞的尺寸，才能把晶体中的电子看做准经典粒子。准经典运动的基本公式有：晶体电子的准动量为pk；晶体电子的速度为v1E(k)；k晶体电子碰到的外力为Fdkdt晶体电子的倒有效质量张量为112E(k)；m*2kk在外加电磁场作用下，晶体电子的状态变化满足：8.试述有效质量、空穴的意义。引入它们有何用途？解：有效质量实际上是包含了晶体周期势场作用的电子质量，它的引入使得晶体中电子准经典运动的加速度与外力直接联系起来了，就像经典力学中牛顿第二定律同样，这样便于我们办理外力作用下晶体电子的动力学问题。当满带顶周边有空状态k时，整个能带中的电流，以及电流在外电磁场作用下的变化，完好仿佛存在一个带正电荷q和拥有正质量m*、速度v(k)的粒子的情况同样，这样一个假想的粒子称为空穴。空穴的引入使得满带顶周边缺少一些电子的问题和导带底有少许电子的问题十分相似，给我们研究半导体和某些金属的导电性能带来了很大的方便。9.试述导体、半导体和绝缘体能带结构的基本特点。解：在导体中，除去完好充满的一系列能带外，还有可是部分地被电子填充的能带，后者能够起导电作用，称为导带。在半导体中，由于存在必然的杂质，或由于热激发使导带中存有少许电子，或满带中缺了少许电子，从而致使必然的导电性。在绝缘体中，电子恰好填满了最低的一系列能带，再高的各带全部都是空的，由于满带不产生电流，所以尽管存在好多电子，其实不导电。10.说明德·哈斯－范·阿尔芬效应的基根源理及主要应用。解：在低温下强磁场中，晶体的磁化率、电导率、比热容等物理量随磁场变化而表现出振荡的现象，称为德·哈斯－范·阿尔芬效应。由于德·哈斯－范·阿尔芬效应同金属费米面周边电子在强磁场中的行为相关，所以同金属费米面结构亲近相关，所以德·哈斯－范·阿尔芬效应成为人们研究费米面的有力工具。11.一维周期场中电子的波函数k(x)应当满足布洛赫定理。若晶格常数为a，电子的波函37数为（1）k(x)sinx；a（2）k(x)icos3x；a（3）k(x)if(xia)（其中f为某个确定的函数）。试求电子在这些状态的波矢。解：布洛赫函数可写成k(x)eikxuk(x)，其中，uk(xa)uk(x)或写成k(xa)eikak(x)（1）k(xa)sinxasinxk(x)aa故eika1ka显然有uk(xa)uk(x)故k(x)sinx的波矢是。aa（2）k(xa)icos3(xa)icos3xk(x)aa所以eika1ka显然有uk(xa)uk(x)故k(x)icos3x的波矢a。a（3）k(xa)f(xaia)f[x(i1)a]f(xma)k(x)iim故eika1k0故k(x)f(xia)的波矢为0。i要说明的是，上述所确定的波矢k其实不是唯一的，这些k值加上任一倒格矢都是所需的解。由于k空间中相差任一倒格矢的两个k值所描述的状态是同样的。12.已知电子在周期场中的势能为其中：a4b，为常数。（1）画出势能曲线，并求出其平均值；（2）用近自由电子模型求出此晶体的第1及第2个禁带宽度。38解：（1）该周期场的势能曲线以下所示：UO其势能平均值为：（2）依照近自由电子模型，此晶体的第1及第2个禁带宽度为其中U1和U2表示周期场U(x)的张开成傅立叶级数的第一和第二个傅立叶系数。于是有故此晶体的第1及第2个禁带宽度为13.已知一维晶体的电子能带可写成：2(71cos2ka)E(k)coskama288。式中a是晶格常数。试求1）能带的宽度；2）电子在波矢k的状态时的速度；3）能带底部和顶部电子的有效质量。解：（1）在能带底k0处，电子能量为在能带顶k处，电子能量为a故能带宽度为EE()22E(0)ama22）电子在波矢k的状态时的速度为3）电子的有效质量为于是有在能带底部电子的有效质量为