(甘志国)解抽象函数问题

解抽象函数问题甘志国(已发表于数理化学习(高一二版)，2014(5)：14-15)赋值法——将抽象的问题具体化题1 (2009年高考四川卷理科第12题)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零 5的偶函数，若对任意的实数x都有xf(x1)(1x)f(x)，则ff2的值( ) 1 5A.0 B. C.1 D. 2 2解A.可得f(0)f当 x0

10.22，

1xf(x1) f(x)x

， 所 以f5

f353

10,

f5f(0)0.2

3 2 3

2

2 1注fn20(nZ). 题2 (2009年上海交通大学自主招生考试试题第二题第1题)众所周知指数函数ax恒x

ax

ax

x

axx

xx .1 21 2 1

12 1 2如果一个函数f(x)满足类似的两个性质，即：若实数x1

xf(x2

)f(x2

)；对任意xxf(xxf(xf(x

).能否判断f(x)也恒大于0？说明你的理由.1 2 1 2 1 2解f(x)0.理由如下：令xx1

0得f)0或1.若f(0)0得f)f0) ) ) 这f(0)1.得 f(0)f(xx)f(x)f(x)1 ，所以 f( ，得xxf( ) 2f

0R).(x 3(2009RRff(xyf(xyf(xfyxyxyf(x.解记f(f(xy))f(xy)f(x)f(y)xy ①y0，得f(f(x))f(x)f(0)f(x) ②由②，得

f(f(xy))(1f(0))f(xy)再由①，得

f(0)f(xy)f(x)f(y)xy ③y1，得f(0)f(x1)ff(x)x ④由③，得

f(0)f(x)f(0)f(x1f(x1)fx1 ⑤由④⑤，得(f2(0)f(1)f(1))f(x)(f(0)f(1))xf(0)f(0)f(1)f2(0ff0，得f(0)

，所以f(0)f(1)0.y1x0(xR)，这不可能！f2(0ff0f(xaxb(aba2

a(1b)abb2a0 a1 或0 0而ab0f(x)x.函数与方程——抽象函数永恒的主题题4 (2005年复旦大学自主招生数学试题第一大题第9题)若定义在R上的函数x 2002f(x)(x满足f(x)2f 4015x，则f(2004) . x1 解2005.可得f

x20022f(x)4015

x2002，解函数方程组，可得 x1 x1 f(x) 3 3(x1) 3f(2004)2005题5 (2008年上海财经大学自主招生考试试题第9题)若定义在R上的函数yf(x)，1它具有下述性质：(1)xRf(x3)f3(x)；(2)x1

,xR，xx2 1

，都有f(x1

)f(x2

)，则ff(0)f .解在(1)xff,f(0)f(0)]3,ff.再 3由 (2) 知 ，

f(1),f(0),fxxx

， 所 以ff(0)f0110.题6 (2006年复旦大学自主招生考试试试构造函数f(x),g(x)使其定义域值域为[0,1]，且(1)a[0,1],f(x)a只有一解；(2)a[0,1],f(x)a有无穷多个解.解(1)选函数f(x)满足 f10, 2

1 n2

1(nN*),f(x)x(0x1xn

1(n2,nN*)n 01 x201 x 1即 f(x)12x

x (n3,nN)n1x

0x且x

(n2,nN)n可证函数f(x)满足题意.1x(2)可证函数g(x)sin (0x1)满足题.1x奇偶性、单调性——不可忽视的常规性质题7 (2008高考辽宁卷理科第12题若f(x)是连续的偶函数，且当x0时f(x)是单调函数，则满足f(x)f

x3的所有x之和为( )x x 4A.3 B.3 C.8 D.8x3xx3x4x3x4解C.f(x)在[0,fxf

，所以x .x3当 x即x23x30时，x

3；x4 1 2x3当 x即x25x30时，xx5.x4 3 4所以所求答案为8.题8 (2008年高考重庆卷理科第6题若定义在R上的函数f(x)满足：x,x1 2

R，有f(x1

x)f(x2

)f(x2

)1，则下列说法一定正确的( )f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数C.f(x)1为奇函数 D.f(x)1为偶函数解C.g(x)f(x1g(x

x)g(x)g(

g(x)f(x1为奇函数.

1 2 1 2题9 (2009年华南理工大学自主招生考试试题第四题 )已知函数f(x)是定义在[4,上的单调递增函数，要使对一切实数xf(cosxb2f(sin2xb3)恒成立，求实数b的取值范围.解题意即cosxb2

sin2

xb34(xR)恒成立.得b2b7

且b1，所以所求实数b的取值范围是1 2,1.4对称性——以形养数的典型范例

2 题10 (2007年复旦大学自主招生考试试题)若函数yf(x)对一切实数x均满足f(2x)f(2x)，且方程f(x)0恰好有7个不同的实根，则这7个不同的实根的和为( )A.0 B.10 C.12 D.14解D.yf(xx2f(x)07个不同实根中一个是2，另外6个两两之和是4，所以所有根之和是14.题11 (2008年复旦大学自主招生考试试题第72)设f(x)的定义域是全体实数，且f(x)的图象关于直线xa和xb对称，其中ab，则f(x)是( )一个以ba为周期的周期函数 B.一个以2b2a为周期的周期函数C.一个非周期函数 D.以上均不对解 B.得f(x)f(2ax),f(x)f(2bx)，所以f(x) f(x)f(2b2ax)f(x).注Ryf(x，有以下结论成立：yf(x)xaxbyf(x)是周期函数且有一个周期是2(ab；yf(x)有两个不同的对称中心(acbcyf(x)是周期函数且有一个周期是2(ab；若曲线yf(x)有一个对称中心(a,c)和一条对称轴xb(ab)yf(x)是周期函数且有一个周期是4(ab)()周期性——“重复造就完美”12(200786)f(x)为2的周期函数，且是偶函数.x[2,3]时，f(x)xx[2,0]时，f(x)()A.x1 B.2x1 C.3x1 D.2x1解A.x[2,1]f(x)f(x4)x4.x[1,0]f(x)f(x)f(x2)x2.由此可得答案.题13 (2006年武汉大学自主招生考试试)已知f(x)是定义在R上的偶函数并满足1f(x2) ；当2x3时，f(x)x，则f(5.5)( )1f(x)A.5.5 B.C.D.2.51解D.得f(x4) f(x)，所以f(5.5)f(2.5)f(2.5)2.5.1f(x2)1 注 笔者发现此题有误：一方面，f(1) 1 f(3) 3f(1) f( )f (.)2x32x32x3”即可.题14 (2010 年高考重庆卷理科第15 题)已知函数f(x)满足：1f(1) 4

,f4x(f)( )fx( y f+x( R(f(2010) .1 1 .取x1,y0得f(0) .2 2xny1f(nf(n1)f(nf(n1)f(n2)f(n，得f(n2)f(n1)，所以数列(n)是以6 为周期的周期数列，得f2010f(0)1.2

1.由题设可联想到积化和差公式2coscoscos()cos()，2 1 进一步得出函数f(x) cos x满足所有的题设，得f(2010) .2 3 2题15 (2013年华东师范大学自主招生数学试题第4题)已知函数f(x)不恒为0，且对xyRf(xyf(xy)2f(xf(y)，且存在常数T0),f0，求证：f(x的一个周期，且1f(x1.解xy0f(0)0或1.f(0)0y0f(x0f(0)0f(0).再令x0后，可得f(x)是偶函数.又令yT 后，可得f( ) ( x 0 f(xT)f(x) .所以f(4

f即f(xf2(xf2x1，便得1f(x1.令yx，得f(2x

x由此式，得f(T2x

(.又f(xf(x),f(x)f(2T2x)f(2xf(2x)1f(x) f x )再由得到的f(2x)12f2(x)，可得欲证成立.递推式——在与数列的整合中发现规律题16 (2002年上海市高中数学竞赛第一题第7题)若函数f定义在正整数集上，且满足f2002和ff(2)f(n)n2f(n)(n，则f(2002) .2 f)f(2)f(n)n2f(n) (n解 .可得2003 f)f(2)f(n)f(n)(n

f(n

N*)，相减后可得

nf(n)(n2)f(n1)n(n1)f(n)(n1)(n2)f(n1)即 数 列 1)f(n) 是 常 数 列 ， 所 以n(n1)f(n)12ff(n)

4004 ,f(2002) 2 .n(n1) 2003题17 (1993年上海市高中数学竞赛第二试第三)对正整数k,g(k)表示k的最大奇子(如g(3)g(20)5)，求g(2)g(3)g(2n)(nN*).解f(ng(2g(3g(2n)(nN*).对正奇数kg(kk；且对任意正整数kg(2kg(k).所以当正整数n2时，得f(n1)g(3)g(5)g(2n1[g(2)g(4)g(6)g(2n1)][135(2n1[g(1)g(2)g(3)g(2n)]4nf(n)f(n1)f(n)4n4n2用累加法可求得f(n) 3f(f(n题18 若f(n)n3

(n9)(n

(nN)，则f(5) .解8.f(5)f(f(10))f(7)f(f(12))f(9)f(f(14))f(11)8.题19 (2001 年美国犹他州数学竞赛(高中)第13 题)若函数f 满足f(n2)f(n)2(n2),f(2)1，则f(256)( )A.3 B.5 C.7 D.9解C.f(256)f2f(4)4f(2)67.题20 《通讯杯》高中数学综合应用能力竞赛训练(一第7题)若x,y,z有f(f