《应用数理统计》吴翊-习题解答

(完整版)《应用数理统计》吴翊_习题解答(完整版)《应用数理统计》吴翊_习题解答——PAGE13—第一章数理统计的基本概念P2612设总体X的分布函数为Fx，密度函数为fx，X，X,…，X为X的子样，求最大顺序统计量X 与1 2 n n最小顺序统计量X 的分布函数与密度函数。1Fn

xPXi

xPX1

x，X2

，Xn

Fxn。fxFn

xnFxn1fx.Fx1

x112n1PXPX n1 2 nn1 11 11Fxn

PX11fxFxn1Fxn1fx。111。3设总体X服从正态分布N14，今抽取容量为5的子样X，X，…，X，试问:1 2 5X13子样的极小值（最小顺序统计量）10子样的极大值（最大顺序统计量）15解：（i）P

X~N

14

n

， 4.X~NX~N X12 1312X131PX131P 44 131355451 15545

10.86860.1314. （ii）X

minX，X，X，X，X

，X

maxX，X，X，X，X.min

1 2 3 4

max

1 2 3 4 511imin min 1 2 5i1

PX11i

1PX111PX15.i1 i1YX122~NYX122PX10PX121012PX121PY1 22 2 221110.84130.1587.PX 1110.1587510.42150.5785.min(iii)PX 11PX 11PX1X1，X115max max 1 2 5i1

PX11PX15.iPX 1510.93319510.70770.2923.imax1.4试证：

xa2ni

xx2nxa2对任意实数a成立。并由此证明当ax时，i

xa2达到最小。ii1 i1 i1ni1

xx2nii1

x2nx2i

,其中x1nx。n ii1（i）

xa2n

xxxa2n

x22

xxaxa2xi xi1 i1

i i i1nxii1

x22xani1

xxnxa2nii1

xx22xanxnxnxa2in xx2nxa2。ii1当ax时，

xa2n xx2nxx2nxi i

x2达到最小。i1

i1

i1(ii）n

xx2n

x22xxx2

x22x

xnx2

x22xnxnx2

x2nx2.i i i i i i ii1

i1

i1 i1 i1 i1P271。5XX1

，…，Xn

为正态总体X~N2的样本，令d1n Xn ii1

，试证E 2Dd122。 nX~N2Xi

~N0，2.EdE1nXn 2121

1nEXn i1

.

1

y2

y2

2y

y22EX ye22dy2

ye22dy e22d 21212y22y222 e .0

2 0 2Ed1n 2 1n 2 2。n n i1②EXi

2DXi

E2Xi

2.DXEX

2E2X22

2 221 2。i 1

i i 1 n

1n

1 2

22。Dd

D

i

Xi

Di

Xi

DXii1

n1 21 n2 n1。6XN2XX1 2

,…，Xn

XS

与Xn1Xn1XSn1n1X,X1

，…,

X独立同分布,试求统计量Yn

的分布。

n1

和X是独立的正态变量,，X~N2， n

Xn1

~N

，且它们相互独立。E

n1

XE

n1

EX0.D

n

XD

n

DXn12。n则X

n12。n1

X~N0， n X XnX Xn1nn~N1nS2

nS2与

相互独立，~22X X Xnn1n S2n1n12

n1

X X2 n1

X XnX Xn1Sn1n1T ~tn11.7设T~tn，求证T2~F.2证明:又t分布的定义可知，若U~N，V~n,且U与V相互独立，则2VnT UVn

~tnT2U

，其中,U2~21。VnFVn

U2VnT2 ~Vn

1，n.19设X，X，…，X 和Y,Y，…，Y分别来自总体N，2和N，2且相互独立，和是两个已1 2 n 1 2 n 1 21 2知常数,试求

nSnS2nS22nn2n n11 22 21 212

的分布，其中 1

2 1

2S2 1 XX ，S2

YY 。1 n i1i1解:

2 n i2i1X~N2，Y~N2，X

与Y

相互独立, ， ，1n 2n 1 21 2X

2~N

Y

2,~N,，1 n 2 n，1 2

2 2

XY2n n212X Y2n n212

2 ~N.1 2 n n1 2nS2211~nS2211~

与相互独立，2n1 22~

n1

S2 S2nS

1nS2

2 2 1 2 .11 22~2nn22 2 1 2122n21n2n122n21n2nS2 nS211 22 nn2221 2XY

~tnn1

2，即 1 2

~tnnnS2nS2nS22nn2n n11 22 21 212

2.第二章参数估计(续)P68设总体X服从几何分布：PXkp1pk1,k，0p1，证明样本均值XEX证明：总体X服从几何分,

1n X 是n ii1EX1DX1p。p p21 EXE1n X

1En

1 1 1X n

EX.ni1

i n

i1

i n p p样本均值X

1nni1

X EX的无偏估计量。i2 DXD1n X

1Dn X

1n1p

1p。ni1

i

i1

i

p2 np2lnfX；plnp1pX1lnpX ln1p。1 1lnfX；p 1

1 1 1X 1 1 1。p p 1p p 1p2lnfX；p1

1

1X1 .p2 p2 1p2 2lnfX；p

1 1X

1

1I p E

1 E

1 E 1 p2

p2

1p2

p2

1p21 1 EX 11

1 1

11

1 1pp2 1p2 1

p2 1p2 p

p2

1p2 p1 1 pp 1p2ppp2pp2p。12 1p p4e 1。n D

nI p

1pnnp2 p2

11p样本均值X

1nni1

X EXi3limlimD

n

lim1p0，0p1.nnp2样本均值X证法二:

1nni1

X EX的相合估计量。i12 12 p

pe

1,D .n D

nIp

nIp12limDnlimDnplim

0.X

1

X EX的相合估计量。n

nIp n

ii1 即对于任给0，有limP XEX 0.n因此,样本均值X

1nni1

X EX的相合估计量。iX

1nni1

X EXi设总体X服从泊松分布P，X，X ，…,X 为其子样.试求参数2的无偏估计量的克拉美—1 2 n—劳不等式下界。解：2。g2.g2。PXkkk!

e.k，lnfX；X1

lnlnX1

.lnfX； X11 1

1.2lnfX； X12

1.2 2lnfX；

E

1I E

1 E 1E 1

1 . 2

2 2 2

2 参数2的无偏估计量的克拉美——劳不等式下界为:g

2 1

4 3

243。2nI n n n22.19设总体X服从泊松分布P，0，X，X ，…,X 为来自X的一个样本.假设有先验分布，1 2 n其密度为he，XPe

，，n。x! ii的先验分布密度为he给定，样本的分布列为：

xien nxeng，x，

n P

x

!x! x!

x，0ix!i1 2 n

ii1

1 2 ni00的后验概率密度为:

i1

，0 g，x，，x h

1 2 n

，0g x，x，，x

g，x，

hd1 2 n

1 2 n0 ，0Ex，x，，x1 2 ngx，x，，x hd0g x，xgx，x，，x hd0g x，x，，x hd1 2n01 2n0 1 2 n

nxen

edi0 n x!i

i1

nx1en1d 0

………(*）nxe

ed

nxend0 n x! 0ii1其中，

1e

d 1

1de1nx n

nx n 0 n101

nxn1

n1

0 0

en1

dnx 1 0nxe

1

d

nx1 e

d (＊*）n1

n 0

n1

nx n将(**)式代入（＊）式得：nx1

nxe

n

1d

nx1Ex，x，，x n1 0 ，1 2

nxend0

n1即为在平方损失下的贝叶斯估计量。第三章假设检验P1313。21000（小时）.25命平均值为950(小时。已知该种元件寿命服从标准差100（小时）的正态分布，试在显著水平0。下确定这批元件是否合格。HH.0 0 1 0元件寿命服从正态分布， 已知,0

成立时,选取统计量u

X0n0n

，其拒绝域为V

u0 其中X950， 1000,n25, 100.0 010025则u95010002.510025查表得u 1.645,得uu ，0.05 0.05落在拒绝域中,拒绝H，即认为这批元件不合格。03。3某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布N2，其中40kg/c2。现从一批这种钢9X，与以往正常生产时的X较20(kg/设总体方差不变，问在0.01下能否认为这批钢索质量有显著提高？HH。0 0 1 0钢索的断裂强度服从正态分布，已知,0X 0n00n0

成立时，选取统计量u

,其拒绝域为Vuu 。0 其中 40,n9，X 20，0.01.0 040 9则u 20 1.5。40 9查表得u1

u0.99

u

0.01

2.33，得u

,0.99未落在拒绝域中，接受H，即认为这批钢索质量没有显著提高.03.5测定某种溶液中的水分。它的 10个测定值给出X0.452%，S0.035%。设总体为正态分布N，2，试在水平5％检验假设：(i）H0.5%；H0.5%。0 1（ii）H：0.04%；H：0.04%。0 1（i）总体服从正态分布，未知，0X

H成立时，选取统计量t0

0 ，其拒绝域为V

ttSnSn1

n1 。查表得t 991.8331.0.05 0.95而t

4.1141.8331t0.452%0.452%0.5%0.035% 101

n1.落在拒绝域中，拒绝H.0（ii）总体服从正态分布，未知，nS2

H成立时，选取统计量20 20

，其拒绝域为V 22

n1 .查表得20.05

93.325。100.035%2 而2

0.04%2

7.6562

n1。未落在拒绝域中，接受H。03。6A（电学法）B（混合法）两种方法来研究冰的潜热,样品都是－0。72每克冰从－0。72℃0℃/克)：方法A80。02方法B:80.02,79.94，79.97,79.98，79.97，80。03,79。95，79。97假定用每种方法测得的数据都服从正态分布，且它们的方差相等。检验H:两种方法的总体均值是否相等。0（0.05）解：ABX~N，2和Y~N，2其中n1

13，n2

8,1

。

1 1 2 2H0 1

，H:2 1

。2测得的数据服从正态分布，H成立时，0

nS2nSnS2nS211 2 2nnnnn212 1 2nn1 2其拒绝域为Vtt

n 1

,. 2 查表得t0.975192.093,X80.020Y79.98，S21

113X13 i1

X20.00053,S218Y2 8 i1

Y20.00086.代入得t3.308t n1 212

22.093，落在拒绝域内，拒绝H。03.769X1 2

…X6

及Y1

,…，Y，计算得96 Xi

204.6，

X26978.93；i

Y370.8,i

Y215280.173ii1 i1 i1 i1假定零件口径服从正态分布，给定显著性水平0.05著性差异?H：H：.0 1 2 1 1 2零件口径服从正态分布，均值未知，F

nn1S212 1，n n1S22 1 2其拒绝域为VFF FF 。 1 2 1 2 2

2 F

84.82,F

8 1

1 0.148.0.975

0.025

F0.975

5

6.76而S

1n11

XX2

1n X

2Xn

XnX 2 1 2

1 21 n i1i1

n i i 11 i1 i116978.932204.6204.66204.620.3456 6

6 。同理得S20.357。2

F

nn1S212 1 1.03n n1S22 1 2P1323。8用重量法和比色法两种方法测定平炉炉渣中

的含量,得如下结果n5X20.5%S1

20.206%，比色法:n5次测量，Y21.3%,S 0.358%，2假设两种分析法结果都服从正态分布，问两种分析方法的精度（)是否相同？两种分析方法的均值（）是否相同？(0.01。解：(i）H:H：.0 1 2 1 1 2两种分析法结果都服从正态分布，且、 未知，1 2F

nn1S212 1，n n1S22 1 2其拒绝域为VFF FF . 1 2 1 2 2

2 F

4 1

0.043，F

423.15.0.005

F0.995

4

0.995nn1

S，F 1S2

0.3311，未落在拒绝域内，无显著性差异。（ii）H0 1

,H：2 1

。2由（i）知 （未知）,nnnnnn212 1 2nn1 2选取统计量t

XY ，nS2nS211 2 2其拒绝域为Vn