飞行器固有特性分析课件

飞行器结构动力学第六章飞行器结构固有特性分析

1飞行器结构动力学第六章飞行器结构固有特性分析1第6章飞行器结构固有特性分析6.1 前言6.2 结构动态有限元理论与模型6.3 结构动态特性分析6.4 子结构模态综合法简介6.5 计算实例2第6章飞行器结构固有特性分析6.1 前言2第6章飞行器结构固有特性分析6.1前言

3第6章飞行器结构固有特性分析6.1前言36.1前言结构固有振动特性分析为总体设计和控制系统设计提供模态参数。外激励下结构动态响应分析；气动弹性稳定性分析；飞行器动载荷条件的确定；控制回路分析和结构与控制系统耦合干扰分析；飞行器内部装载与设备的减振设计；飞行器敏感元件合理位置的确定；旋转稳定飞行器临界旋转速度的确定。

飞行器结构固有特性分析作用飞行器弹性模态1飞行器弹性模态2飞行器弹性模态346.1前言结构固有振动特性分析为6.1前言分析模型复杂，自由度多结构动力学参数具有时变性存在非结构影响因素模态实验具有重要意义

飞行器结构固有特性分析特点56.1前言分析模型复杂，自由度多飞行器结构固第6章飞行器结构固有特性分析6.2结构动力有限元法理论与模型6第6章飞行器结构固有特性分析6.2结构动力有限元法6.2 结构动力有限元法理论与模型

基本原理

在实际问题中的求解中，应用最多的是基于位移的有限元素法。有限元动态分析的基本过程：首先选择合适的单元将工程结构离散化确定单元的刚度、质量、阻尼、载荷矩阵进行全结构分析，建立系统的结构动力学方程有限元数值方法求解结构动力学有限元法采用的单元位移函数与静力分析相同。76.2 结构动力有限元法理论与模型基本原理6.2 结构动力有限元法理论与模型

动态分析模型的确定结构动态分析非常复杂，计算工作量大，有限元分析模型要尽量简单，减小计算工作量。1.模型确定的基本原则分析模型应与分析的目的相适应分析模型应与选用的计算工具与计算条件相适应模型应正确反映结构的实际特性86.2 结构动力有限元法理论与模型动态分析模型的确定6.2 结构动力有限元法理论与模型

动态分析模型的确定2.影响分析模型的主要因素

(1)刚度分布（a）刚体

（b）集中刚度模型

集中刚度模型示意图1—板；2—集中质量；3—线弹簧；4—梁。96.2 结构动力有限元法理论与模型动态分析模型的确定26.2 结构动力有限元法理论与模型

动态分析模型的确定2.影响分析模型的主要因素（c）分段连续模型刚度分段连续模型示意图1—板；2—线弹簧。（d）连续分布模型106.2 结构动力有限元法理论与模型动态分析模型的确定26.2 结构动力有限元法理论与模型

动态分析模型的确定动态分析模型示意图(a)集中参数模型；(b)有限元模型。1—板；2—梁；3—集中质量。

116.2 结构动力有限元法理论与模型动态分析模型的确定动

动态分析模型的确定2.影响分析模型的主要因素(2)质量分布（a）集中质量模型——将质量认为集中到选定的节点上。它是一个对角线矩阵，其形式6.2 结构动力有限元法理论与模型12动态分析模型的确定2.影响分析模型的主要因素6.2 结

动态分析模型的确定当质量均匀分布时，可将质量平均分配给各相关节点上。如果质量分布不均匀（如下图所示），较简便的方法是酌情规定各节点所分担的区域，然后再把各区域分配给各节点。质量矩阵是对角线矩阵，便于一维存贮。网格划分较细的可采用集中质量模型。（a）集中质量模型6.2 结构动力有限元法理论与模型13动态分析模型的确定当质量均匀分布时，可

动态分析模型的确定（b）一致质量模型它之所以称为一致质量矩阵是因为建立刚度矩阵和质量矩阵所用的插值函数是一致的。把所有单元矩阵叠加起来得到整个结构的总体质量矩阵。一致质量矩阵是正定满秩矩阵。6.2 结构动力有限元法理论与模型(3)边界条件自由条件固支边界条件弹性支持条件

14动态分析模型的确定（b）一致质量模型它

动态分析模型的确定6.2 结构动力有限元法理论与模型土星-Ⅴ在不同设计阶段的动力学模型(a)土星-V火箭；(b)梁-杆模型；(c)梁-杆-1/4壳模型；(d)1/4壳模型；(e)三维模型

15动态分析模型的确定6.2 结构动力有限元法理论与模型土

动态分析模型的确定3.合理地进行结点布置与单元划分通常情况下，结点、分割线或分割面应置于结构几何形状、载荷以及材料特性发生突变处。结点位置宜取在以下位置：(1)结构几何形状的拐点、结构开口处、厚度突变处(2)载荷作用点(3)应力集中点(4)结构的约束点或支撑处(5)结构部件或零构件之间连接点(6)结构中主要受力元件之间的相交点（连接点）(7)要求输出位移或应力的点6.2 结构动力有限元法理论与模型16动态分析模型的确定3.合理地进行结点布置与单元划分

动态分析模型的确定在进行网格划分时，首先应选择合适的单元。在具体划分网格时应考虑以下情况：(1)几何形状、边界条件、外力等变化剧烈的部分，网格相对较密；(2)二维和三维单元在各方向的长度应尽量接近，避免畸形单元；(3)相邻单元的尺寸不宜相差太大；(4)选取不同单元组合时，应考虑结点上不同单元自由度的协调；(5)单元疏密视需要而定，尽量减小计算规模；(6)应充分利用结构的对称性，以减小计算规模；(7)单元的力学特性与结构的力学特性相符合。如，板单元模拟长度远大于厚度的结构；梁单元模拟长度远大于截面尺寸的结构等。3.合理地进行结点布置与单元划分6.2 结构动力有限元法理论与模型17动态分析模型的确定在进行网格划分时，首

运动方程的建立采用瞬时最小势能原理建立运动方程。1.单元分析取单元内任意一点的位移向量y(x,t)为基本未知量，它是位置x和时间t的函数。由有限元素法知而且6.2 结构动力有限元法理论与模型18运动方程的建立采用瞬时最小势能原理建立运动方程。1.

运动方程的建立1.单元分析根据瞬时最小势能原理，系统在外力作用下，满足位移边界条件和协调条件的所有位移中，真实位移必满足平衡条件并使总势能取极值，即而单元总势能式中－－弹性体应变能－－外载荷势能由弹性力学的基本理论，考虑到(6-2)、(6-3)式有式(6-7)中的第一项为体力项，第二项为外载荷项。式中－－体力向量－－外载荷向量6.2 结构动力有限元法理论与模型19运动方程的建立1.单元分析根据瞬时

运动方程的建立1.单元分析而且式中(6-8)－－单元内力向量－－阻尼系数矩阵－－体积密度－－分别为速度向量与加速度向量将(6-1)、(6-8)式代入(6-7)，考虑到仅仅是时间t的函数，可得6.2 结构动力有限元法理论与模型20运动方程的建立1.单元分析而且(6-8)－－单元内力

运动方程的建立将(6-9)、(6-6)式代入(6-5)式得单元总势能的表达式：1.单元分析并依次称为单元的刚度矩阵，质量矩阵、阻尼矩阵、结点力向量。式中6.2 结构动力有限元法理论与模型21运动方程的建立将(6-9)、(6-6)式代入(6-5)

运动方程的建立

考虑到在瞬时变分情况下：则由(6-4)式得将(6-10)式代入上式得单元的运动方程：1.单元分析而6.2 结构动力有限元法理论与模型22运动方程的建立考虑到在瞬时变分情况下：则由(6-4)

运动方程的建立2.全结构分析首先进行坐标变换，通过有限元静力分析中采用的坐标变换矩阵得将(5-13)代入(5-10)得通过相同得推导过程可得在总体坐标下单元的运动方程式式中6.2 结构动力有限元法理论与模型式中－－在总体坐标下结点位移向量23运动方程的建立2.全结构分析首先进行坐标变换，通过有

运动方程的建立2.全结构分析设全结构具有的单元数为E，结点的全部自由度为N，则全结构的总势能为式中为为全结构的结点位移向量，而刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵、结点力矩阵的集合(组装)采用与静力分析相同的方法。故全结构的各系数矩阵可写出6.2 结构动力有限元法理论与模型24运动方程的建立2.全结构分析设全结构具有的单元数为E上式表明在有限元素法中，系统的运动方程与多自由度情况相同。因此，用有限元素法进行固有特性分析时，主振型方程也与多自由度情况相同。系统的主振型方程为，属于广义特征值问题，也可以化为标准特征值形式，式中为特征值；为特征向量。因此，飞行器结构固有特性的有限元分析问题可以归结为数学上的特征值问题。

运动方程的建立2.全结构分析此时因为对于结构来说是内力，所以在全结构的运动方程中不出现。通过与单元分析相同的方法可导出全结构的运动方程为6.2 结构动力有限元法理论与模型25上式表明在有限元素法中，系统的运动方程与多自6.3结构动态特性分析

第6章飞行器结构固有特性分析266.3结构动态特性分析第6章飞行器结构固有特性分析6.3结构动态特性分析6.3.1特征值问题的性质结构无阻尼自由振动方程将简谐运动代入上式可得（6-18）（6-19）（6-20）（6-21）或写成其中，；

K，M分别为结构的刚度矩阵和质量矩阵。

276.3结构动态特性分析6.3.1特征值问题的性质结构

特征系统的一些基本特性。

（1）如果K和M都对称，且至少有一个矩阵正定，则特征值一定是实数，而特征向量也可以是实向量。如果M正定，并且K为正定或半正定，则所有特征值都是正的实数。6.3结构动态特性分析28特征系统的一些基本特性。（1）如果K和M都对称（2）

特征向量（或模态向量）关于质量矩阵M和刚度矩阵K正交，即：在式中将特征向量归一化，即：（6-22）（6-23）6.3结构动态特性分析29（2）特征向量（或模态向量）关于质量矩阵M和刚度矩阵K正上式称为归一化特征向量。则式（6-5），（6-6）有（6-25）（6-26）（6-24）6.3结构动态特性分析30上式称为归一化特征向量。则式（6-5），（6-6）有（6-

(3)

Rayleigh商和特征值的极大极小性质

定义：

对于任意{x}有得到第i阶特征值由式（6-25）和（6-26）可以看出，当｛x｝为系统的某阶特征向量时，则有（6-27）（6-28）（6-29）（6-30）6.3结构动态特性分析31(3)Rayleigh商和特征值的极大极小性质

(4)特征值的移轴性质式（6-21）两边分别减去，则有另一等价形式：或写为式中式（6-21）和式（6-32）有相同的特征向量，但特征值相差μ，即：

（6-31）（6-32）（6-33）6.3结构动态特性分析32(4)特征值的移轴性质式（6-21）两边分别减去，

(5)

特征值的分隔性质作移轴，并将作三角分解。则对角矩阵D中有i个负元素。如果有6.3结构动态特性分析33(5)特征值的分隔性质作移轴，并将作三角分解。则

(6)位移展开定理以上讨论的是广义特征值问题的一些基本特性，深入理解这些性质，对于求解特征值问题很有帮助。对于n维空间中的任意向量｛x｝都可以按模态矩阵Φ展开：系数q可按下式确定：（6-34）（6-35）6.3结构动态特性分析34(6)位移展开定理以上讨论的是广义特征值问6.3.2迭代法任意选取适当的初始向量{x1}，按迭代格式则向量序列{x1}{x2}将收敛于相应的特征向量。

向量迭代法又称幂法，它既可用于标准特征值问题，也可用于广义特征值问题。它不仅适合于对称矩阵，也适合于非对称矩阵。（6-36）6.3结构动态特性分析356.3.2迭代法任意选取适当的初始向量{x1}，按迭代格对任意向量则：按迭代格式式（6-19）有则：由于当k增大时，

｛xk+1｝可能会变得很大或很小，因此，在迭代过程中，需要将迭代向量规一化（6-37）（6-38）（6-39）（6-40）（6-41）6.3结构动态特性分析36对任意向量则：按迭代格式式（6-19）有则：

迭代法的迭代过程是自校正的。迭代向量中的误差只能延迟收敛，而不会破坏收敛性。

根据特征值的移轴性质可以构造带移轴的向量迭代方法。只要选取合适的移轴量，就可以既使迭代收敛到所需要的特征对，又可以加快收敛速度。

6.3结构动态特性分析37迭代法的迭代过程是自校正的。迭代向量中的误差只能在广义特征值问题中，质量矩阵M是对称正定，则一定存在非奇异矩阵6.3.3变换法

1.广义特征值问题化为标准特征值问题

可得到标准特征值问题所以在上式中，前乘S-1，并令则有式中（6-45）（6-46）（6-47）6.3结构动态特性分析（6-48）38在广义特征值问题中，质量矩阵M是对称正定，则一定存在非奇

2.标准特征值问题的变换法标准特征值问题常用的变换法有雅可比方法（Jacobi）、Givens方法、Householder方法，在一般的矩阵代数教材中均有详细叙述，在此我们只对雅可比方法简要介绍。考察标准特征值问题在经过k次变换后，有6.3结构动态特性分析（6-49）392.标准特征值问题的变换法标准特征雅可比方法的思想是经过多次旋转正交变换使矩阵对角化，对应的正交矩阵为6.3结构动态特性分析（6-50）40雅可比方法的思想是经过多次旋转正交变换使矩阵对当则当则，符号取决于的符号。当时，矩阵A趋向于对角阵。

6.3结构动态特性分析（6-51）41当则当则，符号取决于的符号。当时，矩阵A趋向于对角阵。

如果对广义特征值问题中的刚度矩阵K和质量矩阵M同时用雅可比方法作变换，得到矩阵M、矩阵K共同的主轴，则这种方法称为广义雅可比方法。

Givens方法与雅可比方法类似，也是进行坐标旋转变换，但它不是把实对称矩阵A对角化，而只是三对角化。

Householdes方法也是一种将实对称矩阵化为三对角阵的方法。6.3结构动态特性分析42如果对广义特征值问题中的刚度矩阵K和质量矩阵M同时用雅6.3.4Sturm序列二分法对于给定的对称三对角矩阵把矩阵三对角化后，还需要求解三对角矩阵的特征值问题。三对角矩阵求特征值比一般矩阵要容易得多，常用的方法有QR方法和Sturm序列二分法。对于标准特征值问题的三对角矩阵，则常采用Sturm序列的二分法。通常，用Householder法和Lanczos法将标准特征值问题转化为三对角矩阵。6.3结构动态特性分析（6-57）436.3.4Sturm序列二分法对于给定的对称三对角矩阵其特征值的行列式为定义其零阶主子式6.3结构动态特性分析（6-58）（6-59a）44其特征值的行列式为定义其零阶主子式6.3结构动态特性分以后的各阶主子式为p0,p1,p2,…，pn构成一个多项式序列，它是Sturm序列。

6.2结构动态特性分析（6-59b）45以后的各阶主子式为p0,p1,p2,…，pn构成6.3.5大、中型特征值问题的求解方法

1.Rayleigh-Ritz分析

在实际问题中，人们最关心的不是全部特征对，而只是其中的一小部分，例如，最低的前q阶（q<<n）特征对。在这种情况下，可以用一种近似的有效方法，将n阶广义特征值问题化为q阶广义特征值问题，这就是Rayleigh-RitZ分析法，或称为Ritz变换法。6.2结构动态特性分析466.3.5大、中型特征值问题的求解方法1.Ra若要求系统的前p阶特征对，则先选取q≥p个线性无关的向量｛yi｝，i＝1，2，…，q，令｛x｝为这些向量的线性组合，有由式（6-10）得由Rayleigh商性质，从式（6-13），有6.2结构动态特性分析（6-44）（6-45）（6-46）47若要求系统的前p阶特征对，则先选取q≥p个线性无关的向量在极小化过程中，R(｛x｝)取极小的必要条件是利用二次型对向量求偏导的法则，得：即若记K*=YTKY，M*=YTMY，则6.2结构动态特性分析（6-47）（6-48）（6-49）48在极小化过程中，R(｛x｝)取极小的必要条件是利用二次型对向同时，还可得到q个子空间的特征向量在这个分析中，计算出的特征值近似值是取上界，即：由式（6-47），则上式变为式中K*和M*都是q×p阶矩阵，｛α｝是Ritz坐标向量，式（6-50）就是｛α｝应满足的方程。6.2结构动态特性分析（6-50）（6-51）（6-52）49同时，还可得到q个子空间的特征向量在这个分析中，计算出的特征

2.子空间迭代法

子空间迭代法是求解大型特征值问题低阶特征对的有效方法。它实质上是Rayleigh-Ritz方法和同时逆迭代方法的组合。

用同时逆迭代中的初始向量组作为Ritz基向量，利用Rayleigh-Ritz法在子空间中求解低阶广义特征值问题，再用子空间中的特征向量作为Ritz基的坐标，得到一组新的Ritz基向量，即迭代向量。6.2结构动态特性分析502.子空间迭代法子空间迭代法是为了避免丢根，如果计算p个特征对，则选取q个初始迭代向量，这里q大于p，它们构成n×q阶矩阵Xi，第k步的迭代式为下面简要介绍子空间迭代的基本步骤。形成子空间投影矩阵求解子空间特征系统6.2结构动态特性分析（6-53）（6-54a）（6-54b）（6-55）51为了避免丢根，如果计算p个特征对，则选取q个初始迭代再计算近似的特征向量，也就是改进的新Ritz基向量因为于是，Xk+1可作为新的迭代矩阵，当k→∞时，有：在上面的步骤中，每一次迭代都要解q个线性方程组，求q个子空间特征对。6.2结构动态特性分析（6-56）（6-57）（6-58）52再计算近似的特征向量，也就是改进的新Ritz基向量因为于是

3.行列式搜索法

行列式搜索法是求解大型特征值问题的另一种方法。它的特点是综合运用多项式加速割线迭代，移轴向量逆迭代，Sturm序列的性质以及Gram－Schmidt正交化过程，直接计算所需要的任意特征对，通常是计算最小的部分特征值及相应的特征向量。因此，它是一种计算部分特征对的特殊求解方法。此方法具有计算速度快，精度高，灵活等优点。

6.2结构动态特性分析533.行列式搜索法行列式搜索法是

算法的基本过程行列式搜索法是分别计算每一个特征值及特征向量。在求每个特征值时，主要有以下两个步骤，现以λ1为例来说明。

对于特征方程用加速割线迭代公式求近似根μ=μk+1即

第二步以μ为移轴量，用向量逆迭代法进一步求精确的特征值λ1，以及对应的特征向量。6.2结构动态特性分析（6-61）（6-62）54算法的基本过程行列式搜索法是分别计算每以上两个步骤结束后，就求得了方程的特征值λ1。重复以上过程，就可以进一步求得更高阶的特征对。对于重根的情况，则只需通过正交化过程，重复上面的第二步即可。6.2结构动态特性分析55以上两个步骤结束后，就求得了方程的特征值λ1

4.

Lanczos法

Lanczos方法目前被认为是求解大型矩阵特征值问题的最有效方法，与子空间迭代法相比，其计算量要少得多。

Lanczos方法用于标准特征值问题称为标准Lanczos法，用于广义特征值问题称为广义Lanczos法。

6.2结构动态特性分析564.Lanczos法Lancz

（1）标准Lanczos法

设标准特征值问题其中：K为n×n阶矩阵。首先选取适当的初始迭代向量｛U1｝，且｛U1｝T｛U1｝=1计算其中，6.2结构动态特性分析（6-65）（6-66）（6-67a）（6-67b）（6-67c）57（1）标准Lanczos法设标准特征值问题其中：K为这里，k=1,2,…,m-1≤n；‖

‖

2为2范数。于是得求解此矩阵的特征值，就是K的m个最高阶特征值。6.2结构动态特性分析（6-68）58这里，k=1,2,…,m-1≤n；‖‖2为

（2）广义逆Lanczos法

广义逆Lanczos法的运算过程，基本上与标准方法相同。设广义特征值问题其中K为n×n阶实对称正定阵，M为对称阵。选取适当的初始向量｛U1｝，且｛U1｝TM｛U1｝=1，计算令β1=1，作（1）（2）（3）6.2结构动态特性分析（6-72）（6-73）（6-74a）（6-74b）（6-74c）59（2）广义逆Lanczos法广义逆这里，k=1,2,…,m。当k＝m时，作完第（1）步，即求出αm就停止迭代，于是得到全部的αk和βk就构成式（6-68）的m阶三对角矩阵Tm。式（6-75）的全部特征值λi(k

=1,2,…,m)就是广义特征值式（6-72）的最小特征值组的近似值。当m＜n时，就是截断广义逆Lanczos法。（4）（5）求解此矩阵对应的标准特征值问题：6.2结构动态特性分析（6-74d）（6-74e）（6-75）60这里，k=1,2,…,m。当k＝m时，作完第（1）第6章工程振动中的数值方法6.5子结构模态综合法简介

61第6章工程振动中的数值方法6.5子结构模态综合法简介6.5子结构模态综合法简介在结构静力分析中，对于大型复杂结构问题往往采用子结构技术，即将结构划分为若干个子结构，先进行局部分析，然后综合组集，再作整体分析。这种先局部后整体的分析方法是科学研究的普遍方法。实际上有限元法本身也就是这种分析方法的具体应用。从解决问题所采用的方式来看，一般可把动态子结构方法分为模态综合法、界面位移综合法、迁移子结构法和超单元法。在这四类方法中，目前模态综合法使用得最为普遍。626.5子结构模态综合法简介在结构

再通过各子结构的界面连接条件，作第二次坐标变换，消去不独立的模态坐标，即对整个结构的模态坐标进行独立坐标变换，得到一组用独立的各子结构模态坐标组成的描述整个系统运动的独立广义坐标。子结构模态综合法又可称为分支结构模态综合法。基本思想是：

把一复杂结构，按其结构的特点分成若干个子结构，然后用离散化方法对子结构做各种力学分析（有时也可用实验模态分析的方法）得到各子结构的分支模态。

然后对各子结构的物理坐标——结点位移坐标进行模态坐标变换，并在此基础上对子结构进行组集——把所有子结构的模态坐标简单组集成整个结构的模态坐标，6.5子结构模态综合法简介

63再通过各子结构的界面连接条件，作第二次坐标变换，消去不以上的分析过程可以归纳为两个基本步骤：

对子结构的分支模态坐标变换；

利用各子结构的界面连接条件，进行第二次坐标变换，消去不独立的模态坐标。最后得到一组独立的广义坐标。正因为模态综合方法实际上是采用子结构技术来获得一组复杂结构的品质优良的“假设模态”，而此假设模态作为Ritz基所张成的模态空间可以很好的覆盖住系统的真实的低阶模态空间，所以，用模态综合法不但可以简化复杂结构的动态特性计算，而且也可以简化其响应计算。6.5子结构模态综合法简介

64以上的分析过程可以归纳为两个基本步骤：对子结构的分支模下面我们用一个实际结构的分析，来详细说明模态综合法的基本原理与方法。为了简明起见，我们将先考虑一个没有刚体自由度的简单结构的无阻尼自由振动，并且只有两个子结构的情况。图6-8梁的子结构图6.5子结构模态综合法简介

65下面我们用一个实际结构的分析，来详细说明模态图6-8为一个两端固定的梁，将它划分为α和β两个子结构，并将每个子结构的物理坐标集U分为内部坐标集Ui与界面坐标集Uj。对α与β两个子结构，用矢量形式表示的物理坐标为根据界面位移连续条件，显然有由界面力的对接条件，有（6-151）

（6-150）

（6-151）式表示连接部分的相互作用力为作用力与反作用力的关系。6.5子结构模态综合法简介

66图6-8为一个两端固定的梁，将它划分为α和β由简单的叠加，可得整个结构的动能为而系统的势能为（6-152a）

（6-152b）

式中，分别是与α和β子结构的物理坐标相对应的质量矩阵和刚度矩阵。6.5子结构模态综合法简介

67由简单的叠加，可得整个结构的动能为而系统的势能为（6-152对各子结构作动力特性分析，并选出恰当的分支模态构成模态矩阵与，对α与β子结构分别作模态坐标变换。（6-153a）

（6-153b）

其中，和分别是两个子结构的模态坐标。通常分支模态的个数远少于子结构的自由度数。式（6-153）常称为第一次坐标变换。6.5子结构模态综合法简介

68对各子结构作动力特性分析，并选出恰当的分支模态构成模态矩阵将（6-153）式代入（6-151）式，则得到用分支模态坐标表示的系统动能与势能表达式为（6-154a）

（6-154b）

6.5子结构模态综合法简介

69将（6-153）式代入（6-151其中（6-155a）

（6-155b）

（6-155c）

6.5子结构模态综合法简介

70其中（6-155a）（6-155b）（6-155c）6显然，因为有方程（6-150）表示的约束条件，所以在系统间的模态坐标中，并非所有的坐标都是独立的，故不能把（6-154）式表示的系统动能与势能表达式直接代入第二类Lagrange方程以求得系统的运动方程。只有从中消去不独立的模态坐标后才能使用第二类Lagrange方程。（6-150）

6.5子结构模态综合法简介

71显然，因为有方程（6-150）表示的约束条件，所以在由各分支的模态坐标变换式（6-153）可得由此可得（6-156a）

（6-156b）

（6-157a）

（6-157b）

6.5子结构模态综合法简介

72由各分支的模态坐标变换式（6-153）可得由此可得（6-15由界面位移连续条件（6-150）式，可得或写成为简记为式中，。式（6-159）就是一般的线性约束方程的形式。由（6-159）式便可以很方便地进行第二次坐标变换--独立坐标的变换。（6-159）

（6-158）

6.5子结构模态综合法简介

73由界面位移连续条件（6-150）式，可得或写成为简记为中的独立广义坐标为,非独立的广义坐标为即令于是，（6-159）式可写成为由此可得因而有（6-163）

（6-160）

（6-161）

（6-162）

6.5子结构模态综合法简介

74中的独立广义坐标为,非独立的广式中称为独立坐标变换矩阵，有上面的（6-163）式，通常称为第二次坐标变换。由此可用独立的广义坐标来表示系统的动能与势能为（6-165a）

（6-165b）

6.5子结构模态综合法简介

75式中称为独立坐标变换矩阵，有上面的（6-其中于是，得出系统的无阻尼自由振动的运动方程为其相应的广义特征值问题可写为这就是经过各子结构模态综合后的新方程。显然，方程的阶数等于所选取的全部分支模态的总数减去连接坐标数（即约束方程数）。（6-166a）

（6-166b）

（6-167）

（6-168）

6.5子结构模态综合法简介

76其中于是，得出系统的无阻尼自由振动的运动方程为其相应的广义对于一般的动力方程，也可得到缩减了自由度的动力方程为式中，，仍（6-165）式决定，而和可写为缩减后的动力方程式（6-169），可通过直接积分等方法求解。（6-169）

（6-170）

6.5子结构模态综合法简介

77对于一般的动力方程，也可得到缩减了自由度的动力方程飞行器结构动力学第六章飞行器结构固有特性分析

78飞行器结构动力学第六章飞行器结构固有特性分析1第6章飞行器结构固有特性分析6.1 前言6.2 结构动态有限元理论与模型6.3 结构动态特性分析6.4 子结构模态综合法简介6.5 计算实例79第6章飞行器结构固有特性分析6.1 前言2第6章飞行器结构固有特性分析6.1前言

80第6章飞行器结构固有特性分析6.1前言36.1前言结构固有振动特性分析为总体设计和控制系统设计提供模态参数。外激励下结构动态响应分析；气动弹性稳定性分析；飞行器动载荷条件的确定；控制回路分析和结构与控制系统耦合干扰分析；飞行器内部装载与设备的减振设计；飞行器敏感元件合理位置的确定；旋转稳定飞行器临界旋转速度的确定。

飞行器结构固有特性分析作用飞行器弹性模态1飞行器弹性模态2飞行器弹性模态3816.1前言结构固有振动特性分析为6.1前言分析模型复杂，自由度多结构动力学参数具有时变性存在非结构影响因素模态实验具有重要意义

飞行器结构固有特性分析特点826.1前言分析模型复杂，自由度多飞行器结构固第6章飞行器结构固有特性分析6.2结构动力有限元法理论与模型83第6章飞行器结构固有特性分析6.2结构动力有限元法6.2 结构动力有限元法理论与模型

基本原理

在实际问题中的求解中，应用最多的是基于位移的有限元素法。有限元动态分析的基本过程：首先选择合适的单元将工程结构离散化确定单元的刚度、质量、阻尼、载荷矩阵进行全结构分析，建立系统的结构动力学方程有限元数值方法求解结构动力学有限元法采用的单元位移函数与静力分析相同。846.2 结构动力有限元法理论与模型基本原理6.2 结构动力有限元法理论与模型

动态分析模型的确定结构动态分析非常复杂，计算工作量大，有限元分析模型要尽量简单，减小计算工作量。1.模型确定的基本原则分析模型应与分析的目的相适应分析模型应与选用的计算工具与计算条件相适应模型应正确反映结构的实际特性856.2 结构动力有限元法理论与模型动态分析模型的确定6.2 结构动力有限元法理论与模型

动态分析模型的确定2.影响分析模型的主要因素

(1)刚度分布（a）刚体

（b）集中刚度模型

集中刚度模型示意图1—板；2—集中质量；3—线弹簧；4—梁。866.2 结构动力有限元法理论与模型动态分析模型的确定26.2 结构动力有限元法理论与模型

动态分析模型的确定2.影响分析模型的主要因素（c）分段连续模型刚度分段连续模型示意图1—板；2—线弹簧。（d）连续分布模型876.2 结构动力有限元法理论与模型动态分析模型的确定26.2 结构动力有限元法理论与模型

动态分析模型的确定动态分析模型示意图(a)集中参数模型；(b)有限元模型。1—板；2—梁；3—集中质量。

886.2 结构动力有限元法理论与模型动态分析模型的确定动

动态分析模型的确定2.影响分析模型的主要因素(2)质量分布（a）集中质量模型——将质量认为集中到选定的节点上。它是一个对角线矩阵，其形式6.2 结构动力有限元法理论与模型89动态分析模型的确定2.影响分析模型的主要因素6.2 结

动态分析模型的确定当质量均匀分布时，可将质量平均分配给各相关节点上。如果质量分布不均匀（如下图所示），较简便的方法是酌情规定各节点所分担的区域，然后再把各区域分配给各节点。质量矩阵是对角线矩阵，便于一维存贮。网格划分较细的可采用集中质量模型。（a）集中质量模型6.2 结构动力有限元法理论与模型90动态分析模型的确定当质量均匀分布时，可

动态分析模型的确定（b）一致质量模型它之所以称为一致质量矩阵是因为建立刚度矩阵和质量矩阵所用的插值函数是一致的。把所有单元矩阵叠加起来得到整个结构的总体质量矩阵。一致质量矩阵是正定满秩矩阵。6.2 结构动力有限元法理论与模型(3)边界条件自由条件固支边界条件弹性支持条件

91动态分析模型的确定（b）一致质量模型它

动态分析模型的确定6.2 结构动力有限元法理论与模型土星-Ⅴ在不同设计阶段的动力学模型(a)土星-V火箭；(b)梁-杆模型；(c)梁-杆-1/4壳模型；(d)1/4壳模型；(e)三维模型

92动态分析模型的确定6.2 结构动力有限元法理论与模型土

动态分析模型的确定3.合理地进行结点布置与单元划分通常情况下，结点、分割线或分割面应置于结构几何形状、载荷以及材料特性发生突变处。结点位置宜取在以下位置：(1)结构几何形状的拐点、结构开口处、厚度突变处(2)载荷作用点(3)应力集中点(4)结构的约束点或支撑处(5)结构部件或零构件之间连接点(6)结构中主要受力元件之间的相交点（连接点）(7)要求输出位移或应力的点6.2 结构动力有限元法理论与模型93动态分析模型的确定3.合理地进行结点布置与单元划分

动态分析模型的确定在进行网格划分时，首先应选择合适的单元。在具体划分网格时应考虑以下情况：(1)几何形状、边界条件、外力等变化剧烈的部分，网格相对较密；(2)二维和三维单元在各方向的长度应尽量接近，避免畸形单元；(3)相邻单元的尺寸不宜相差太大；(4)选取不同单元组合时，应考虑结点上不同单元自由度的协调；(5)单元疏密视需要而定，尽量减小计算规模；(6)应充分利用结构的对称性，以减小计算规模；(7)单元的力学特性与结构的力学特性相符合。如，板单元模拟长度远大于厚度的结构；梁单元模拟长度远大于截面尺寸的结构等。3.合理地进行结点布置与单元划分6.2 结构动力有限元法理论与模型94动态分析模型的确定在进行网格划分时，首

运动方程的建立采用瞬时最小势能原理建立运动方程。1.单元分析取单元内任意一点的位移向量y(x,t)为基本未知量，它是位置x和时间t的函数。由有限元素法知而且6.2 结构动力有限元法理论与模型95运动方程的建立采用瞬时最小势能原理建立运动方程。1.

运动方程的建立1.单元分析根据瞬时最小势能原理，系统在外力作用下，满足位移边界条件和协调条件的所有位移中，真实位移必满足平衡条件并使总势能取极值，即而单元总势能式中－－弹性体应变能－－外载荷势能由弹性力学的基本理论，考虑到(6-2)、(6-3)式有式(6-7)中的第一项为体力项，第二项为外载荷项。式中－－体力向量－－外载荷向量6.2 结构动力有限元法理论与模型96运动方程的建立1.单元分析根据瞬时

运动方程的建立1.单元分析而且式中(6-8)－－单元内力向量－－阻尼系数矩阵－－体积密度－－分别为速度向量与加速度向量将(6-1)、(6-8)式代入(6-7)，考虑到仅仅是时间t的函数，可得6.2 结构动力有限元法理论与模型97运动方程的建立1.单元分析而且(6-8)－－单元内力

运动方程的建立将(6-9)、(6-6)式代入(6-5)式得单元总势能的表达式：1.单元分析并依次称为单元的刚度矩阵，质量矩阵、阻尼矩阵、结点力向量。式中6.2 结构动力有限元法理论与模型98运动方程的建立将(6-9)、(6-6)式代入(6-5)

运动方程的建立

考虑到在瞬时变分情况下：则由(6-4)式得将(6-10)式代入上式得单元的运动方程：1.单元分析而6.2 结构动力有限元法理论与模型99运动方程的建立考虑到在瞬时变分情况下：则由(6-4)

运动方程的建立2.全结构分析首先进行坐标变换，通过有限元静力分析中采用的坐标变换矩阵得将(5-13)代入(5-10)得通过相同得推导过程可得在总体坐标下单元的运动方程式式中6.2 结构动力有限元法理论与模型式中－－在总体坐标下结点位移向量100运动方程的建立2.全结构分析首先进行坐标变换，通过有

运动方程的建立2.全结构分析设全结构具有的单元数为E，结点的全部自由度为N，则全结构的总势能为式中为为全结构的结点位移向量，而刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵、结点力矩阵的集合(组装)采用与静力分析相同的方法。故全结构的各系数矩阵可写出6.2 结构动力有限元法理论与模型101运动方程的建立2.全结构分析设全结构具有的单元数为E上式表明在有限元素法中，系统的运动方程与多自由度情况相同。因此，用有限元素法进行固有特性分析时，主振型方程也与多自由度情况相同。系统的主振型方程为，属于广义特征值问题，也可以化为标准特征值形式，式中为特征值；为特征向量。因此，飞行器结构固有特性的有限元分析问题可以归结为数学上的特征值问题。

运动方程的建立2.全结构分析此时因为对于结构来说是内力，所以在全结构的运动方程中不出现。通过与单元分析相同的方法可导出全结构的运动方程为6.2 结构动力有限元法理论与模型102上式表明在有限元素法中，系统的运动方程与多自6.3结构动态特性分析

第6章飞行器结构固有特性分析1036.3结构动态特性分析第6章飞行器结构固有特性分析6.3结构动态特性分析6.3.1特征值问题的性质结构无阻尼自由振动方程将简谐运动代入上式可得（6-18）（6-19）（6-20）（6-21）或写成其中，；

K，M分别为结构的刚度矩阵和质量矩阵。

1046.3结构动态特性分析6.3.1特征值问题的性质结构

特征系统的一些基本特性。

（1）如果K和M都对称，且至少有一个矩阵正定，则特征值一定是实数，而特征向量也可以是实向量。如果M正定，并且K为正定或半正定，则所有特征值都是正的实数。6.3结构动态特性分析105特征系统的一些基本特性。（1）如果K和M都对称（2）

特征向量（或模态向量）关于质量矩阵M和刚度矩阵K正交，即：在式中将特征向量归一化，即：（6-22）（6-23）6.3结构动态特性分析106（2）特征向量（或模态向量）关于质量矩阵M和刚度矩阵K正上式称为归一化特征向量。则式（6-5），（6-6）有（6-25）（6-26）（6-24）6.3结构动态特性分析107上式称为归一化特征向量。则式（6-5），（6-6）有（6-

(3)

Rayleigh商和特征值的极大极小性质

定义：

对于任意{x}有得到第i阶特征值由式（6-25）和（6-26）可以看出，当｛x｝为系统的某阶特征向量时，则有（6-27）（6-28）（6-29）（6-30）6.3结构动态特性分析108(3)Rayleigh商和特征值的极大极小性质

(4)特征值的移轴性质式（6-21）两边分别减去，则有另一等价形式：或写为式中式（6-21）和式（6-32）有相同的特征向量，但特征值相差μ，即：

（6-31）（6-32）（6-33）6.3结构动态特性分析109(4)特征值的移轴性质式（6-21）两边分别减去，

(5)

特征值的分隔性质作移轴，并将作三角分解。则对角矩阵D中有i个负元素。如果有6.3结构动态特性分析110(5)特征值的分隔性质作移轴，并将作三角分解。则

(6)位移展开定理以上讨论的是广义特征值问题的一些基本特性，深入理解这些性质，对于求解特征值问题很有帮助。对于n维空间中的任意向量｛x｝都可以按模态矩阵Φ展开：系数q可按下式确定：（6-34）（6-35）6.3结构动态特性分析111(6)位移展开定理以上讨论的是广义特征值问6.3.2迭代法任意选取适当的初始向量{x1}，按迭代格式则向量序列{x1}{x2}将收敛于相应的特征向量。

向量迭代法又称幂法，它既可用于标准特征值问题，也可用于广义特征值问题。它不仅适合于对称矩阵，也适合于非对称矩阵。（6-36）6.3结构动态特性分析1126.3.2迭代法任意选取适当的初始向量{x1}，按迭代格对任意向量则：按迭代格式式（6-19）有则：由于当k增大时，

｛xk+1｝可能会变得很大或很小，因此，在迭代过程中，需要将迭代向量规一化（6-37）（6-38）（6-39）（6-40）（6-41）6.3结构动态特性分析113对任意向量则：按迭代格式式（6-19）有则：

迭代法的迭代过程是自校正的。迭代向量中的误差只能延迟收敛，而不会破坏收敛性。

根据特征值的移轴性质可以构造带移轴的向量迭代方法。只要选取合适的移轴量，就可以既使迭代收敛到所需要的特征对，又可以加快收敛速度。

6.3结构动态特性分析114迭代法的迭代过程是自校正的。迭代向量中的误差只能在广义特征值问题中，质量矩阵M是对称正定，则一定存在非奇异矩阵6.3.3变换法

1.广义特征值问题化为标准特征值问题

可得到标准特征值问题所以在上式中，前乘S-1，并令则有式中（6-45）（6-46）（6-47）6.3结构动态特性分析（6-48）115在广义特征值问题中，质量矩阵M是对称正定，则一定存在非奇

2.标准特征值问题的变换法标准特征值问题常用的变换法有雅可比方法（Jacobi）、Givens方法、Householder方法，在一般的矩阵代数教材中均有详细叙述，在此我们只对雅可比方法简要介绍。考察标准特征值问题在经过k次变换后，有6.3结构动态特性分析（6-49）1162.标准特征值问题的变换法标准特征雅可比方法的思想是经过多次旋转正交变换使矩阵对角化，对应的正交矩阵为6.3结构动态特性分析（6-50）117雅可比方法的思想是经过多次旋转正交变换使矩阵对当则当则，符号取决于的符号。当时，矩阵A趋向于对角阵。

6.3结构动态特性分析（6-51）118当则当则，符号取决于的符号。当时，矩阵A趋向于对角阵。

如果对广义特征值问题中的刚度矩阵K和质量矩阵M同时用雅可比方法作变换，得到矩阵M、矩阵K共同的主轴，则这种方法称为广义雅可比方法。

Givens方法与雅可比方法类似，也是进行坐标旋转变换，但它不是把实对称矩阵A对角化，而只是三对角化。

Householdes方法也是一种将实对称矩阵化为三对角阵的方法。6.3结构动态特性分析119如果对广义特征值问题中的刚度矩阵K和质量矩阵M同时用雅6.3.4Sturm序列二分法对于给定的对称三对角矩阵把矩阵三对角化后，还需要求解三对角矩阵的特征值问题。三对角矩阵求特征值比一般矩阵要容易得多，常用的方法有QR方法和Sturm序列二分法。对于标准特征值问题的三对角矩阵，则常采用Sturm序列的二分法。通常，用Householder法和Lanczos法将标准特征值问题转化为三对角矩阵。6.3结构动态特性分析（6-57）1206.3.4Sturm序列二分法对于给定的对称三对角矩阵其特征值的行列式为定义其零阶主子式6.3结构动态特性分析（6-58）（6-59a）121其特征值的行列式为定义其零阶主子式6.3结构动态特性分以后的各阶主子式为p0,p1,p2,…，pn构成一个多项式序列，它是Sturm序列。

6.2结构动态特性分析（6-59b）122以后的各阶主子式为p0,p1,p2,…，pn构成6.3.5大、中型特征值问题的求解方法

1.Rayleigh-Ritz分析

在实际问题中，人们最关心的不是全部特征对，而只是其中的一小部分，例如，最低的前q阶（q<<n）特征对。在这种情况下，可以用一种近似的有效方法，将n阶广义特征值问题化为q阶广义特征值问题，这就是Rayleigh-RitZ分析法，或称为Ritz变换法。6.2结构动态特性分析1236.3.5大、中型特征值问题的求解方法1.Ra若要求系统的前p阶特征对，则先选取q≥p个线性无关的向量｛yi｝，i＝1，2，…，q，令｛x｝为这些向量的线性组合，有由式（6-10）得由Rayleigh商性质，从式（6-13），有6.2结构动态特性分析（6-44）（6-45）（6-46）124若要求系统的前p阶特征对，则先选取q≥p个线性无关的向量在极小化过程中，R(｛x｝)取极小的必要条件是利用二次型对向量求偏导的法则，得：即若记K*=YTKY，M*=YTMY，则6.2结构动态特性分析（6-47）（6-48）（6-49）125在极小化过程中，R(｛x｝)取极小的必要条件是利用二次型对向同时，还可得到q个子空间的特征向量在这个分析中，计算出的特征值近似值是取上界，即：由式（6-47），则上式变为式中K*和M*都是q×p阶矩阵，｛α｝是Ritz坐标向量，式（6-50）就是｛α｝应满足的方程。6.2结构动态特性分析（6-50）（6-51）（6-52）126同时，还可得到q个子空间的特征向量在这个分析中，计算出的特征

2.子空间迭代法

子空间迭代法是求解大型特征值问题低阶特征对的有效方法。它实质上是Rayleigh-Ritz方法和同时逆迭代方法的组合。

用同时逆迭代中的初始向量组作为Ritz基向量，利用Rayleigh-Ritz法在子空间中求解低阶广义特征值问题，再用子空间中的特征向量作为Ritz基的坐标，得到一组新的Ritz基向量，即迭代向量。6.2结构动态特性分析1272.子空间迭代法子空间迭代法是为了避免丢根，如果计算p个特征对，则选取q个初始迭代向量，这里q大于p，它们构成n×q阶矩阵Xi，第k步的迭代式为下面简要介绍子空间迭代的基本步骤。形成子空间投影矩阵求解子空间特征系统6.2结构动态特性分析（6-53）（6-54a）（6-54b）（6-55）128为了避免丢根，如果计算p个特征对，则选取q个初始迭代再计算近似的特征向量，也就是改进的新Ritz基向量因为于是，Xk+1可作为新的迭代矩阵，当k→∞时，有：在上面的步骤中，每一次迭代都要解q个线性方程组，求q个子空间特征对。6.2结构动态特性分析（6-56）（6-57）（6-58）129再计算近似的特征向量，也就是改进的新Ritz基向量因为于是

3.行列式搜索法

行列式搜索法是求解大型特征值问题的另一种方法。它的特点是综合运用多项式加速割线迭代，移轴向量逆迭代，Sturm序列的性质以及Gram－Schmidt正交化过程，直接计算所需要的任意特征对，通常是计算最小的部分特征值及相应的特征向量。因此，它是一种计算部分特征对的特殊求解方法。此方法具有计算速度快，精度高，灵活等优点。

6.2结构动态特性分析1303.行列式搜索法行列式搜索法是

算法的基本过程行列式搜索法是分别计算每一个特征值及特征向量。在求每个特征值时，主要有以下两个步骤，现以λ1为例来说明。

对于特征方程用加速割线迭代公式求近似根μ=μk+1即

第二步以μ为移轴量，用向量逆迭代法进一步求精确的特征值λ1，以及对应的特征向量。6.2结构动态特性分析（6-61）（6-62）131算法的基本过程行列式搜索法是分别计算每以上两个步骤结束后，就求得了方程的特征值λ1。重复以上过程，就可以进一步求得更高阶的特征对。对于重根的情况，则只需通过正交化过程，重复上面的第二步即可。6.2结构动态特性分析132以上两个步骤结束后，就求得了方程的特征值λ1

4.

Lanczos法

Lanczos方法目前被认为是求解大型矩阵特征值问题的最有效方法，与子空间迭代法相比，其计算量要少得多。

Lanczos方法用于标准特征值问题称为标准Lanczos法，用于广义特征值问题称为广义Lanczos法。

6.2结构动态特性分析1334.Lanczos法Lancz

（1）标准Lanczos法

设标准特征值问题其中：K为n×n阶矩阵。首先选取适当的初始迭代向量｛U1｝，且｛U1｝T｛U1｝=1计算其中，6.2结构动态特性分析（6-65）（6-66）（6-67a）（6-67b）（6-67c）134（1）标准Lanczos法设标准特征值问题其中：K为这里，k=1,2,…,m-1≤n；‖

‖

2为2范数。于是得求解此矩阵的特征值，就是K的m个最高阶特征值。6.2结构动态特性分析（6-68）135这里，k=1,2,…,m-1≤n；‖‖2为

（2）广义逆Lanczos法

广义逆Lanczos法的运算过程，基本上与标准方法相同。设广义特征值问题其中K为n×n阶实对称正定阵，M为对称阵。选取适当的初始向量｛U1｝，且｛U1｝TM｛U1｝=1，计算令β1=1，作（1）（2）（3）6.2结构动态特性分析（6-72）（6-73）（6-74a）（6-74b）（6-74c）136（2）广义逆Lanczos法广义逆这里，k=1,2,…,m。当k＝m时，作完第（1）步，即求出αm就停止迭代，于是得到全部的αk和βk就构成式（6-68）的m阶三对角矩阵Tm。式（6-75）的全部特征值λi(k

=1,2,…,m)就是广义特征值式（6-72）的最小特征值组的近似值。当m＜n时，就是截断广义逆Lanczos法。（4）（5）求解此矩阵对应的标准特征值问题：6.2结构动态特性分析（6-74d）（6-74e）（6-75）137这里，k=1,2,…,m。当k＝m时，作完第（1）第6章工程振动中的数值方法6.5子结构模态综合法简介

138第6章工程振动中的数值方法6.5子结构模态综合法简介6.5子结构模态综合法简介在结构静力分析中，对于大型复杂结构问题往往采用子结构技术，即将结构划分为若干个子结构，先进行局部分析，然后综合组集，再作整体分析。这种先局部后整体的分析方法是科学研究的普遍方法。实际上有限元法本身也就是这种分析方法的具体应用。从解决问题所采用的方式来看，一般可把动态子结构方法分为模态综合法、界面位移综合法、迁移子结构法和超单元法。在这四类方法中，目前模态综合法使用得最为普遍。1396.5子结构模态综合法简介在结构

再通过各子结构的界面连接条件，作第二次坐标变换，消去不独立的模态坐标，即对整个结构的模态坐标进行独立坐标变换，得到一组用独立的各子结构模态坐标组成的描述整个系统运动的独立广义坐标。子结构模态综合法又可称为分支