教学课件 6 7-定积分在经济学中的应用汇总

6-7定积分在经济学中的应用16-7定积分在经济学中的应用11.成本函数总成本

=固定成本+可变成本平均成本(单位成本)=2.收益函数

收益=价格×销量，即R(Q)

=PQ.

3.利润函数

利润=总收益-总成本，即L(Q)

=R(Q)-C(Q).

复习21.成本函数总成本=固定成本+可4.边际f(x)

在

x=x0处的边际值为f′(x0).

边际的经济意义:当时,x改变一个单位,y改变个单位.5.常用的边际函数边际成本；边际收益；边际利润34.边际f(x)在x=x0处的边际值为f′(x0).

第七节

定积分在经济学中的应用一、已知边际函数求总函数二、资金流的现值和未来值第六章4第七节

定积分在经济学中的应用一、已知边际函数一、已知边际函数求总函数

问题：已知某边际经济函数，求该总经济量.设某个经济函数u(x)的边际函数为,则有

于是

5一、已知边际函数求总函数问题：已知某边际经济函数，求该总经2.已知销售某产品的边际收益为，x为销售量，R(0)=0,则总收益函数为1.已知生产某产品的边际成本为，x为产量，固定成本为C(0),则总成本函数为62.已知销售某产品的边际收益为，3.设利润函数L(x)=R(x)-C(x),其中x为产量，

R(x)是收益函数,C(x)是成本函数，若

L(x),R(x),C(x)均可导，则边际利润为：

L

(x)=R(x)-C(x).因此总利润为：73.设利润函数L(x)=R(x)-C(x),其中x为产

例1生产某产品的边际成本函数为

固定成本

C(0)

=

1000,

求生产

x

个产品的总成本函数

.

解

8例1生产某产品的边际成本函数为例2已知边际收益为,设R(0)=0,求收益函数R(x).

解

9例2已知边际收益为

例3：设某商品的边际收益为(1)求销售50个商品时的总收益和平均收益；(2)如果已经销售了100个商品，求再销售100个商品的总收益和平均收益；解:(1)总收益函数:平均收益:10例3：设某商品的边际收益为(1)求销售50个商品时的总例3：设某商品的边际收益为(1)求销售50个商品时的总收益和平均收益；(2)如果已经销售了100个商品，求再销售100个商品的总收益和平均收益；解:(2)总收益为:平均收益:11例3：设某商品的边际收益为(1)求销售50个商品时的总

例4：已知生产某产品x台的边际成本为(万元/台)，边际收入为(万元/台).(1)若不变成本为C(0)=10(万元/台),求总成本函数，总收入函数和总利润函数；(2)当产量从40台增加到80台时,总成本与总收入的增量;解:

(1)总成本为12例4：已知生产某产品x台的边际成本为(万元/台)，边际收由于当产量为零时总收入为零,即R(0)=0,于是总收入为总利润函数为13由于当产量为零时总收入为零,即R(0)=0,于是总收入为（万元）(2)当产量从40台增加到80台时,总成本的增量为;当产量从40台增加到80台时,总收入的增量为;（万元）14（万元）(2)当产量从40台增加到80台时,总成本的增量为;

二、由变化率求总量

例5某工厂生产某商品,在时刻t的总产量变化率为(单位/小时).求由

t

=

2

到

t

=

4

这两小时的总产量

.

解

总产量

例6生产某产品的边际成本为,

当产量由200增加到300时,需追加成本为多少?

解

追加成本15二、由变化率求总量

例7在某地区当消费者个人收入为

x

时,消费支出W(

x

)

的变化率

,当个人收入由

900

增加到

1600

时,消费支出增加多少?

解

16例7在某地区当消费者个人收入为x时,消费解设有本金A0,年利率为r,则一年后得利息A0r,本利和为A0＋A0r＝A0(1＋r),n年后所得利息nA0r,本利和为An=A0+nA0r=A0(1+nr)．这就是单利的本利和计算公式．1.单利假设在期初投资一个单位的本金，在每一时期内都得到完全相同的利息金额，这种计息方式为单利.三、收益流的现值与未来值17设有本金A0,年利率为r,则一年后得利息A0r,本利第二年以第一年后的本利和A1为本金,则两年后的本利和为A2＝A0(1＋r)＋A0(１＋r)r＝A0(１＋r)2，照此计算,n年后应得本利和为An＝A0(1＋r)n．这就是一般复利的本利和计算公式.

2.复利这种计息方式的基本思想是：利息收入自动被计入下一期的本金.就像常说的“利滚利”.三、收益流的现值与未来值18第二年以第一年后的本利和A1为本金,则两年后的本利资金周转过程是不断持续进行的,若一年中分n期计算,年利率仍为r,于是每期利率为r/n,则一年后的本利和为A1＝A０(1＋r/n

)n，t年后本利和为At＝A０(1＋r/n

)nt

，若采取瞬时结算法,即随时生息,随时计算,也就是n→∞时,得t年后本利和为

这就是连续复利公式．19资金周转过程是不断持续进行的,若一年中分n期计算因此，在年利率为r的情形下,若采用连续复利，有：（1）已知现值为A0,则t年后的未来值为At＝A０ert，（2）已知未来值为At,则贴现值为A０

＝Ate-rt期数趋于无穷大的极限情况下的计息方式，即每时3.连续复利每刻计算复利的方式称为连续复利.贴现值：时刻t的一个货币单位在时刻0时的价值.20因此，在年利率为r的情形下,若采用连续复利，有：我们知道,若以连续复利率r计息,一笔P元人民币从现在起存入银行,t年后的价值(将来值)

若t年后得到B元人民币,则现在需要存入银行的金额(现值)

下面先介绍收益流和收益流量的概念

.

若某公司的收益是连续地获得的,则其收益可被看作是一种随时间连续变化的收益流.而收益流对时间的变化率称为收益流量.4、收益流的现值和将来值21我们知道,若以连续复利率r计息,收益流量实际上是一种速率,一般用R

(t)表示;若时间t以年为单位,收益以元为单位,则收益流量的单位为:元/年.(时间t一般从现在开始计算).若

R(t)=

b为常数,则称该收益流具有均匀收益流量.

将来值：现在一定量的资金在未来某一时点上的价值现值：将来某一时点的一定资金折合成现在的价值，俗称“本金”例如：假设银行利率为5%,你现在存入银行10000块,一年以后可得本息10500元.10500为10000的将来值,而10000为10500的现值.22收益流量实际上是一种速率,一般用R(t和单笔款项一样,收益流的将来值定义为将其存入银行并加上利息之后的本利和;而收益流的现值是这样一笔款项,若把它存入可获息的银行,将来从收益流中获得的总收益,与包括利息在内的本利和,有相同的价值.在讨论连续收益流时,为简单起见,假设以连续复利率r计息

.

23和单笔款项一样,收益流的将来值定若有一笔收益流的收益流量为

R(t)

(元/年),下面计算其现值及将来值

.

考虑从现在开始(t=0)到

T

年后这一时间段

.利用元素法,在区间[

0

,T

]内,任取一小区间[

t

,t

+

dt

],在该小区间内将

R

(t)

近似看作常数

,则应获得的金额近似等于

R

(t)

dt

(元).从现在(

t=0

)算起,R

(t)

dt

这一金额是在t年后的将来而获得,因此在

[

t

,t

+

dt

]

内,

从而，总现值为收益的现值24若有一笔收益流的收益流量为R(t)在计算将来值时,收入R(t)

dt在以后的(

T

–

t

)年内获息,故在[

t

,t

+

dt

]内

例8假设以年连续复利率

r=0.1

计息

(1)求收益流量为100元/年的收益流在20年期间的现值和将来值;

(2)将来值和现值的关系如何?解释这一关系

.

解(1)

从而，将来值为收益流的将来值25在计算将来值时,收入R(t)dt(2)显然

若在t=0时刻以现值作为一笔款项存入银行,以年连续复利率

r=0.1计息,则20年中这笔单独款项的将来值为

而这正好是上述收益流在20年期间的将来值

.

26(2)显然例9

某公司投资100万元建成1条生产线，并于1年后取得经济效益，年收入为30万元，设银行年利率为10%，问公司多少年后收回投资．解设T年后可收回投资，投资回收期应是总收入的现值等于总投资的现值的时间长度，因此有即解得T=4.055，即在投资后的4.055年内可收回投资．27例9

某公司投资100万元建成1条生产线，并于1年后取得作业：P267:1,3,8(注：e-0.9=0.4066)周三、五复习第六章28作业：P267:1,3,8(注：e-0.9=0.406一般来说,以年连续复利率r计息,则在从现在起到

T

年后该收益流的将来值等于将该收益流的现值作为单笔款项存入银行T年后的将来值.

例1设有一项计划现在(

t=0

)需要投入1000万元,在

10

年中每年收益为

200

万元.若连续利率为

5%,求收益资本价值W.(设购置的设备10年后完全失去价值)

解资本价值=收益流的现值–投入资金的现值

29一般来说,以年连续复利率r计息,

例2某企业一项为期10年的投资需购置成本80万元,每年的收益流量为10万元,求内部利率(注:内部利率是使收益价值等于成本的利率).

解由收益流的现值等于成本,得

可用近似计算得

30例2某企业一项为期10年的投资需购设有一笔数量为A0元的资金存入银行，若年利率为r，按复利方式每年计息一次，则该笔资金t年后的本利和为1.连续复利概念如果每年分n次计息，每期利率为r/n，则t年后的本利和为当n无限增大时，由于，故三、收益流的现值与未来值31设有一笔数量为A0元的资金存入银行，若年利率为r，按称为t年末的At元的资金在连续复利方式下折算为现值的计算公式．为A0元的现值(即现在价值)在连续复利方式下折算为t年后的未来值(将来价值)的计算公式．建立资金的现值和未来值概念，是为了对不同时点的资金进行比较，以便进行投资决策．32称为t年末的At元的资金在连续复利方式下折算为现值的计算公6-7定积分在经济学中的应用336-7定积分在经济学中的应用11.成本函数总成本

=固定成本+可变成本平均成本(单位成本)=2.收益函数

收益=价格×销量，即R(Q)

=PQ.

3.利润函数

利润=总收益-总成本，即L(Q)

=R(Q)-C(Q).

复习341.成本函数总成本=固定成本+可4.边际f(x)

在

x=x0处的边际值为f′(x0).

边际的经济意义:当时,x改变一个单位,y改变个单位.5.常用的边际函数边际成本；边际收益；边际利润354.边际f(x)在x=x0处的边际值为f′(x0).

第七节

定积分在经济学中的应用一、已知边际函数求总函数二、资金流的现值和未来值第六章36第七节

定积分在经济学中的应用一、已知边际函数一、已知边际函数求总函数

问题：已知某边际经济函数，求该总经济量.设某个经济函数u(x)的边际函数为,则有

于是

37一、已知边际函数求总函数问题：已知某边际经济函数，求该总经2.已知销售某产品的边际收益为，x为销售量，R(0)=0,则总收益函数为1.已知生产某产品的边际成本为，x为产量，固定成本为C(0),则总成本函数为382.已知销售某产品的边际收益为，3.设利润函数L(x)=R(x)-C(x),其中x为产量，

R(x)是收益函数,C(x)是成本函数，若

L(x),R(x),C(x)均可导，则边际利润为：

L

(x)=R(x)-C(x).因此总利润为：393.设利润函数L(x)=R(x)-C(x),其中x为产

例1生产某产品的边际成本函数为

固定成本

C(0)

=

1000,

求生产

x

个产品的总成本函数

.

解

40例1生产某产品的边际成本函数为例2已知边际收益为,设R(0)=0,求收益函数R(x).

解

41例2已知边际收益为

例3：设某商品的边际收益为(1)求销售50个商品时的总收益和平均收益；(2)如果已经销售了100个商品，求再销售100个商品的总收益和平均收益；解:(1)总收益函数:平均收益:42例3：设某商品的边际收益为(1)求销售50个商品时的总例3：设某商品的边际收益为(1)求销售50个商品时的总收益和平均收益；(2)如果已经销售了100个商品，求再销售100个商品的总收益和平均收益；解:(2)总收益为:平均收益:43例3：设某商品的边际收益为(1)求销售50个商品时的总

例4：已知生产某产品x台的边际成本为(万元/台)，边际收入为(万元/台).(1)若不变成本为C(0)=10(万元/台),求总成本函数，总收入函数和总利润函数；(2)当产量从40台增加到80台时,总成本与总收入的增量;解:

(1)总成本为44例4：已知生产某产品x台的边际成本为(万元/台)，边际收由于当产量为零时总收入为零,即R(0)=0,于是总收入为总利润函数为45由于当产量为零时总收入为零,即R(0)=0,于是总收入为（万元）(2)当产量从40台增加到80台时,总成本的增量为;当产量从40台增加到80台时,总收入的增量为;（万元）46（万元）(2)当产量从40台增加到80台时,总成本的增量为;

二、由变化率求总量

例5某工厂生产某商品,在时刻t的总产量变化率为(单位/小时).求由

t

=

2

到

t

=

4

这两小时的总产量

.

解

总产量

例6生产某产品的边际成本为,

当产量由200增加到300时,需追加成本为多少?

解

追加成本47二、由变化率求总量

例7在某地区当消费者个人收入为

x

时,消费支出W(

x

)

的变化率

,当个人收入由

900

增加到

1600

时,消费支出增加多少?

解

48例7在某地区当消费者个人收入为x时,消费解设有本金A0,年利率为r,则一年后得利息A0r,本利和为A0＋A0r＝A0(1＋r),n年后所得利息nA0r,本利和为An=A0+nA0r=A0(1+nr)．这就是单利的本利和计算公式．1.单利假设在期初投资一个单位的本金，在每一时期内都得到完全相同的利息金额，这种计息方式为单利.三、收益流的现值与未来值49设有本金A0,年利率为r,则一年后得利息A0r,本利第二年以第一年后的本利和A1为本金,则两年后的本利和为A2＝A0(1＋r)＋A0(１＋r)r＝A0(１＋r)2，照此计算,n年后应得本利和为An＝A0(1＋r)n．这就是一般复利的本利和计算公式.

2.复利这种计息方式的基本思想是：利息收入自动被计入下一期的本金.就像常说的“利滚利”.三、收益流的现值与未来值50第二年以第一年后的本利和A1为本金,则两年后的本利资金周转过程是不断持续进行的,若一年中分n期计算,年利率仍为r,于是每期利率为r/n,则一年后的本利和为A1＝A０(1＋r/n

)n，t年后本利和为At＝A０(1＋r/n

)nt

，若采取瞬时结算法,即随时生息,随时计算,也就是n→∞时,得t年后本利和为

这就是连续复利公式．51资金周转过程是不断持续进行的,若一年中分n期计算因此，在年利率为r的情形下,若采用连续复利，有：（1）已知现值为A0,则t年后的未来值为At＝A０ert，（2）已知未来值为At,则贴现值为A０

＝Ate-rt期数趋于无穷大的极限情况下的计息方式，即每时3.连续复利每刻计算复利的方式称为连续复利.贴现值：时刻t的一个货币单位在时刻0时的价值.52因此，在年利率为r的情形下,若采用连续复利，有：我们知道,若以连续复利率r计息,一笔P元人民币从现在起存入银行,t年后的价值(将来值)

若t年后得到B元人民币,则现在需要存入银行的金额(现值)

下面先介绍收益流和收益流量的概念

.

若某公司的收益是连续地获得的,则其收益可被看作是一种随时间连续变化的收益流.而收益流对时间的变化率称为收益流量.4、收益流的现值和将来值53我们知道,若以连续复利率r计息,收益流量实际上是一种速率,一般用R

(t)表示;若时间t以年为单位,收益以元为单位,则收益流量的单位为:元/年.(时间t一般从现在开始计算).若

R(t)=

b为常数,则称该收益流具有均匀收益流量.

将来值：现在一定量的资金在未来某一时点上的价值现值：将来某一时点的一定资金折合成现在的价值，俗称“本金”例如：假设银行利率为5%,你现在存入银行10000块,一年以后可得本息10500元.10500为10000的将来值,而10000为10500的现值.54收益流量实际上是一种速率,一般用R(t和单笔款项一样,收益流的将来值定义为将其存入银行并加上利息之后的本利和;而收益流的现值是这样一笔款项,若把它存入可获息的银行,将来从收益流中获得的总收益,与包括利息在内的本利和,有相同的价值.在讨论连续收益流时,为简单起见,假设以连续复利率r计息

.

55和单笔款项一样,收益流的将来值定若有一笔收益流的收益流量为

R(t)

(元/年),下面计算其现值及将来值

.

考虑从现在开始(t=0)到

T

年后这一时间段

.利用元素法,在区间[

0

,T

]内,任取一小区间[

t

,t

+

dt

],在该小区间内将

R

(t)

近似看作常数

,则应获得的金额近似等于

R

(t)

dt

(元).从现在(

t=0

)算起,R

(t)

dt

这一金额是在t年后的将来而获得,因此在

[

t

,t

+

dt

]

内,

从而，总现值为收益的现值56若有一笔收益流的收益流量为R(t)在计算将来值时,收入R(t)

dt在以后的(

T

–

t

)年内获息,故在[

t

,t

+

dt

]内

例8假设以年连续复利率

r=0.1

计息

(1)求收益流量为100元/年的收益流在20年期间的现值和将来值;

(2)将来值和现值的关系如何?解释这一关系

.

解(1)

从而，将来值为收益流的将来值57在计算将来值时,收入R(t)dt(2)显然

若在t=0时刻以现值作为一