《复变函数》总结

PAGEPAGE8/8《复变函数》总结《复变函数》总结复变小结1.幅角（不赞成死记，学会分析）yarctg,x0x,x0,y0argz2yarctg,x0,y0x,x0,y0yargtg.2x2-∏b.对于P121.11可理解为高中所学的平面上三点（A,B,C）共线所满足的公式:(量)OC=tOA+（1-t）OB=OB+tBAc.对于P151.14中可直接转换成X和Y的表达式后判断正负号来确定其图像。d.f(z)DP171.84.解析函数，数方程在某个区域内可导与解析是等价的。但在某一点解析一定可导，可导不一定解析。柯西黎曼条件，自己牢记:（注意那个加负那个不加）c.指数函数:换成三角的定义。d.只需记住：Lnz=ln[z]+i(argz+2k)e.e时直接运算（一般转换成三角形式）e时，w=za=eaLnz(Lnln)ieeii,,e能够区分：,if.三角函数和双曲函数：eizeizeizeizcos22i其他可自己试着去推导一下。eyeycosiychy2(2.15)及eyeysiniyishy2i21iz5.复变函数的积分(arctanz),1z21(9)a.注：只有当函数解析即满足柯西-公式时求积分才与路径无关只与出没位置有关。（勿乱用）例如:zdz与路径无zdz与路径有关。ccb.柯西-f(z)CD内解析且在闭区域上连续时：重要公式f(z)dz0C2πi,n0,dzn1(zz0)0,n0.|zz0|rc.柯西积分公式和高阶导数公式及其应用于计算积分：1f(z)dz.(3.17)2πizzf(z0)0C0!f(f(n)(z)nz)dz(3.20)d.调和函数：22n12πi(zz)0Cn1,2,。xy一般与柯西-黎曼公式一起用:P523.116.级数(x,y)调和:2a.P594.2及其推导（1最重要）b.贝尔定理:判断收敛和发散区间。幂级数的收敛半径：利用比值法和根值法。（方法同于高数级数）泰勒级数：n0f(z)cn(zz0)n1(n)成立,其中cnf(z0),n0,1,2,.n!五个重要初等函数展开式：2znez1zz.(4.8)2!n!2n1z3z5znsinzz(1)3!5!(2n1)!(4.10)z2z4z2nn(cosz12!4!1)(2n)!(4.11)其余可由式：11zz2(1)nzn,|z|1.1z直接推导。（注意各展开式的[z]取值范围）洛朗展开式:Z（泰勒形式）f.零点，奇点，极点零点:f(z)=0f(z)无意义的点。（P824.18的三条关于孤立奇点的等价式实为可去奇点的特征）奇点又分为：可Z的负次数方幂。本性奇点：即展开式中存在ZZ的有限次负次数方幂。极点：即为奇点中除去可去奇点后的所有奇点。极点一定是奇点，但奇点不一定是奇点。（奇点容易判断，极点可借助P834.19点，对于第五章中求留数有用）P844.22：极点和零点的关系。7.留数a.留数定理：Res[f(z),z0]12if(z)dzC(5.3)P93-94三种情形及第五章中判断极点的阶数求留数（没什么特殊方法，希望大家通过多练来掌握）f(z),b.利用留数定理求积分：z)dz2πiRes[zk].(5.7)f(Ck1n用留数和定理：Res[f(z),]Res[f(z),zk]k1n12πiCf(z)dz12πiCf(z)dz0.更便于求解11特殊转换：Res[f(z),]Resfzz2,0c.2π0R(cos,sin)dz=ei使用条件：R(x,y)x，yR(x)dx的积分R(x)x的有理函数,而分母的次数至少比分子的次数高二次,并且R(x)在实轴上没有孤立奇点时,积分是存在的.形如：eixf(x)dx的积分使用条件:f(z)Imz≥0内除可能有有限各孤立奇点外处处解析，并且zImz≥0P1045.3中（本中的例题）老师所给划题目：P22-例、P26-例、P33-3P26-P46-P47P79-802、相关例子P97P113-6（1-5）P114-8、相关例子以上基本上是理论的东西。有些东西仅为个人理解，如有问题可提出来。例（如果找不到的可找我要扩展阅读：《复变函数》总结复变小结1.幅角（不赞成死记，学会分析）yarctg,x0x,x0,y0argz2yarctg,x0,y0x,x0,y0yargtg.2x2-∏b.对于P12例题1.11可理解为高中所学的平面上三点（A,B,C）共线所满足的公式:(量)OC=tOA+（1-t）OB=OB+tBAc.对于P151.14中可直接转换成X和Y的表达式后判断正负号来确定其图像。d.f(z)DP171.84.解析函数，数方程在某个区域内可导与解析是等价的。但在某一点解析一定可导，可导不一定解析。柯西黎曼条件，自己牢记:（注意那个加负那个不加）c.指数函数:换成三角的定义。d.只需记住：Lnz=ln[z]+i(argz+2k)e.e时直接运算（一般转换成三角形式）e时，w=za=eaLnz(Lnln)ieeii,,e能够区分：,if.三角函数和双曲函数：eizeizeizeizcos22i其他可自己试着去推导一下。eyeycosiychy2(2.15)及eyeysiniyishy2i21iz5.复变函数的积分(arctanz),1z21(9)a.注：只有当函数解析即满足柯西-公式时求积分才与路径无关只与出没位置有关。（勿乱用）例如:zdz与路径无zdz与路径有关。ccb.柯西-f(z)CD内解析且在闭区域上连续时：重要公式f(z)dz0C2πi,n0,dzn10,n0.(zz)|z0z|r0c.柯西积分公式和高阶导数公式及其应用于计算积分：1f(z)dz.(3.17)2πizzf(z0)0C0f(n)(z)n!f(z)dz(3.20)d.调和函数：22n12πi(zz)0Cn1,2,。xy一般与柯西-黎曼公式一起用:P523.116.级数(x,y)调和:2a.P594.2及其推导（1最重要）b.贝尔定理:判断收敛和发散区间。幂级数的收敛半径：利用比值法和根值法。（方法同于高数级数）泰勒级数：n0f(z)cn(zz0)n1(n)成立,其中cnf(z0),n0,1,2,.n!五个重要初等函数展开式：2nez1zzz.8).(42!n!2n1z3z5znsinzz(1)3!5!(2n1)!(4.10)z2z4z2nn(cosz12!4!1)(2n)!(4.11)其余可由式：11zz2(1)nzn,|z|1.1z直接推导。（注意各展开式的[z]取值范围）洛朗展开式:Z（泰勒形式）f.零点，奇点，极点零点:f(z)=0f(z)无意义的点。（P824.18的三条关于孤立奇点的等价式实为可去奇点的特征）奇点又分为：可Z的负次数方幂。本性奇点：即展开式中存在ZZ的有限次负次数方幂。极点：即为奇点中除去可去奇点后的所有奇点。极点一定是奇点，但奇点不一定是奇点。（奇点容易判断，极点可借助P834.19点，对于第五章中求留数有用）P844.22：极点和零点的关系。7.留数a.留数定理：Res[f(z),z0]12if(z)dzC(5.3)P93-94三种情形及第五章中判断极点的阶数求留数（没什么特殊方法，希望大家通过多练来掌握）f(z),b.利用留数定理求积分：z)dz2πiRes[zk].(5.7)f(Ck1n用留数和定理：Res[f(z),]Res[f(z),zk]k1n12πiCf(z)dz12πiCf(z)dz0.更便于求解11特殊转换：Res[f(z),]Resfzz2,0c.2π0R(cos,sin)dz=ei使用条件：R(x,y)x，yR(x)dx的积分R(x)x的有理函数,而分母的次数至少比分子的次数高二次R(x)在实轴上没有孤立奇点时,积分是存在的.形如：eixf(x)dx的积分