自动控制原理 胡寿松 第四章课件

第四章

线性系统的根轨迹法第四章线性系统的根轨迹法2第四章线性系统的根轨迹法

4-1根轨迹法的基本概念

控制系统的稳定性及动态性能与系统的闭环极点和零点在s平面的位置密切相关，因此可根据闭环零极点的分布来间接地研究系统的性能。但当特征方程的阶数高于四阶时，求解零极点的过程比较复杂。如果要研究系统参数变化对闭环特征方程根的影响，那么就需要进行大量的反复计算，同时还不能直观看出影响趋势。因此对于高阶系统的求根问题来说，解析法就显得很不方便。2第四章线性系统的根轨迹法

4-1根轨迹法的基本概念3第四章线性系统的根轨迹法

4-1根轨迹法的基本概念

1948年，W·R·伊凡思在他的一篇论文“控制系统的图解分析”中提出了在复平面上由系统的开环传递函数求取闭环特征根的方法，这就是根轨迹法。当开环增益或其它参数改变时，其全部数值对应的闭环极点均可在根轨迹图上简便地确定，因此在工程实践中得到了广泛的应用。

3第四章线性系统的根轨迹法

4-1根轨迹法的基本概念4第四章线性系统的根轨迹法

4-1根轨迹法的基本概念

根轨迹：系统某一参数在规定范围内变化时，闭环系统特征方程的根在s

平面上的位置也随之变化移动，一个根形成一条轨迹。

广义根轨迹:

系统的任意一个参数变化所形成的根轨迹。

常规（狭义）根轨迹（通常情况）：变化参数为开环增益K，且其变化取值范围为0到∞。4第四章线性系统的根轨迹法

4-1根轨迹法的基本概念5第四章线性系统的根轨迹法

4-1根轨迹法的基本概念

根轨迹法是分析和设计线性定常控制系统，求解特征方程的根的图解方法，使用十分简便。特别是对于多回路系统的研究，应用根轨迹法比用其它方法更为方便。借助于根轨迹法，可以方便直观地分析系统特征根与系统参数之间的关系。5第四章线性系统的根轨迹法

4-1根轨迹法的基本概念6第四章线性系统的根轨迹法

4-1根轨迹法的基本概念

本节主要介绍根轨迹的基本概念，根轨迹与系统性能之间的关系，并从闭环零、极点与开环零、极点之间的关系推导出根轨迹方程，然后将向量形式的根轨迹方程转化为常用的相角条件和模值条件形式，最后应用这些条件绘制简单系统的根轨迹。6第四章线性系统的根轨迹法

4-1根轨迹法的基本概念74-1根轨迹法的基本概念

1.根轨迹概念例：设控制系统的结构图如图所示：特征方程：特征根：74-1根轨迹法的基本概念

1.根轨迹概念例：设控制系84-1根轨迹法的基本概念

1.根轨迹概念

令开环增益K从零变到无穷，粗实线为系统的根轨迹。箭头表示随着K值的增加，根轨迹的变化趋势，而标注的数值为与闭环极点位置相对应的开环增益K的数值。84-1根轨迹法的基本概念

1.根轨迹概念94-1根轨迹法的基本概念

2.根轨迹与系统性能（1）稳定性：当开环增益从零变到无穷时，如果根轨迹没有越过虚轴进入s右半平面，则系统对所有的K值都是稳定的，如果系统的根轨迹越过虚轴进入s右半平面，此时根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界开环增益。94-1根轨迹法的基本概念

2.根轨迹与系统性能（1）104-1根轨迹法的基本概念

2.根轨迹与系统性能（2）稳态性能：由开环系统在坐标原点处的极点数可判断出系统的型别，而此时的K值就是相应的静态误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。104-1根轨迹法的基本概念

2.根轨迹与系统性能（2114-1根轨迹法的基本概念

2.根轨迹与系统性能（3）动态性能：

当0＜K＜0.5时：过阻尼系统；当K＝0.5时：临界阻尼系统；当K＞0.5时：欠阻尼系统。114-1根轨迹法的基本概念

2.根轨迹与系统性能（3124-1根轨迹法的基本概念

2.根轨迹与系统性能

上述分析表明：根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。对于高阶系统而言，用解析的方法绘制系统的根轨迹图，显然是不适用的。希望能有简便的图解方法，可根据已知的开环传递函数迅速绘出闭环系统的根轨迹。为此，需要研究闭环零、极点与开环零、极点之间的关系。124-1根轨迹法的基本概念

2.根轨迹与系统性能133.闭环零、极点与

开环零、极点之间的关系

一般情况下，前向通路传递函数G(s)可表示为：

为前向通路增益；为前向通路根轨迹增益。133.闭环零、极点与

开环零、极点之间的关系一般情况143.闭环零、极点与

开环零、极点之间的关系反馈通路传递函数H(s)可表示为：

为反馈通路根轨迹增益。则系统的开环传递函数可表示为：称为开环系统根轨迹增益。143.闭环零、极点与

开环零、极点之间的关系反馈通路传153.闭环零、极点与

开环零、极点之间的关系

对于有

m

个开环零点和n个开环极点的系统，必有f+l=m和q+h=n

。则：153.闭环零、极点与

开环零、极点之间的关系163.闭环零、极点与

开环零、极点之间的关系结论：1)

闭环系统的根轨迹增益等于开环系统前向通路根轨迹增益。对单位反馈系统而言，闭环系统根轨迹增益就等于开环系统根轨迹增益。2)

闭环零点由开环前向通路零点与反馈通路极点组成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。3)

闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益K*

均有关。163.闭环零、极点与

开环零、极点之间的关系结论：173.闭环零、极点与

开环零、极点之间的关系

根轨迹法的基本任务在于：

如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。173.闭环零、极点与

开环零、极点之间的关系184-1根轨迹法的基本概念

4.根轨迹方程

根轨迹是系统所有闭环极点的集合，闭环系统特征方程为：即：

等价为：上式称为根轨迹方程。184-1根轨迹法的基本概念

4.根轨迹方程194-1根轨迹法的基本概念

4.根轨迹方程由于模值条件：相角条件：194-1根轨迹法的基本概念

4.根轨迹方程由于模值条204-1根轨迹法的基本概念

4.根轨迹方程

根据相角条件和模值条件，可以完全确定s平面上的根轨迹和根轨迹上对应的K*值。其中：

1、相角条件是s平面上根轨迹所要满足的充要条件；

2、模值条件可确定s平面上的根轨迹各点所对应的根轨迹增益K*。

204-1根轨迹法的基本概念

4.根轨迹方程21例单位反馈系统的开环传递函数

一个开环极点

P1=0

负实轴上点s1s2=-1-j负实轴上的点都是根轨迹上的点！

负实轴外的点都不是根轨迹上的点！

21例单位反馈系统的开环传递函数一第四章

线性系统的根轨迹法第四章线性系统的根轨迹法23第四章线性系统的根轨迹法

4-2根轨迹绘制的基本法则

当可变参数为系统的开环增益(根轨迹增益K*)时，所绘制的根轨迹为常规根轨迹。其相角遵循1800+2kπ条件，因此称为1800根轨迹，相应的绘制法则也就可以叫做1800根轨迹的绘制法则。23第四章线性系统的根轨迹法

4-2根轨迹绘制的基本法244-2根轨迹绘制的基本法则

1.绘制根轨迹的基本法则

法则1：

根轨迹的起点和终点。根轨迹起于开环极点，终于开环零点。244-2根轨迹绘制的基本法则

1.绘制根轨迹的基本法则25证明：设有m个零点,n个极点的开环系统传递函数为：则由其组成的闭环系统特征方程为：

式中：起点：特征方程为：25证明：设有m个零点,n个极点的开环系统传递函数为：则由26终点：特征方程为：

实际系统中，有m个零点,n个极点的开环系统传递函数一般满足，因此有n-m条根轨迹的终点在无穷远处，这是因为当时，根据模值条件有：26终点：特征方程为：实际系统中，有m个零点,27

如果把有限数值的零点称作有限零点，则把无穷远处的零点称为无限零点，那么根轨迹必终止于开环零点。在无限零点的意义下，系统的开环零极点数目相等。在绘制其它参数根轨迹时，可能有m>n的情况，则有m-n条根轨迹的起点在无穷远处，称为无限极点，此时系统的开环零极点数也是相等的。

根轨迹起于开环极点，终于开环零点。27如果把有限数值的零点称作有限零点，则把无穷284-2根轨迹绘制的基本法则

1.绘制根轨迹的基本法则

法则2：根轨迹的分支数、对称性和连续性。

根轨迹的分支数与开环有限零点m

和有限极点n中的大者相等，它们是连续的且对称于实轴。

284-2根轨迹绘制的基本法则

1.绘制根轨迹的基本法则29

证明：

根轨迹是开环系统某一参数在规定范围内变化时，闭环特征方程的根在s平面上的变化轨迹。因此根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目相一致。闭环特征方程根的数目就等于m和n中的大者，所以根轨迹的分支数必与开环有限零、极点数中的大者相同。29证明：根轨迹是开环系统某一参数在规定范围内变30

由于根轨迹增益K*是连续变化的，特征方程的某些系数也随之而连续变化，因而特征根也会连续变化，故根轨迹具有连续性。因为闭环特征方程的系数为实数，闭环特征方程的根只有实根和复根两种。实根位于实轴上，复根必共轭，而根轨迹是闭环特征根的集合，因此根轨迹对称于实轴。30由于根轨迹增益K*是连续变化的，特征方程314-2根轨迹绘制的基本法则

1.绘制根轨迹的基本法则

法则3：

根轨迹的渐近线：当n>m时，有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交角φa，交点为σa的一组渐近线趋向无穷远处，且有：314-2根轨迹绘制的基本法则

1.绘制根轨迹的基本法则32证明：渐近线可以理解为|s|很大时的根轨迹，故其必对称于实轴。由于：式中：当时有

近似为：32证明：渐近线可以理解为|s|很大时的根轨迹，故其必对称于33由根轨迹方程：得：或根据二项式定理将展开在s值很大时：33由根轨迹方程：得：或根据二项式定理将34代入渐近线方程，得：令：有：则：34代入渐近线方程，得：令：有：则：35解得：式中：进而有：0在s复平面上表示一条直线：与实轴的交与实轴的夹角为点为，35解得：式中：进而有：0在s复平面上表示一条直线：与实轴361）当k取不同值时，φa

有（n－m）个值，而a不变；2）根轨迹在s∞时的渐近线为 （n－m）条与实轴交点为a

、相角为a的一组射线。说明361）当k取不同值时，φa有（n－m）个值，而a不37例：设，试求出由上面三个基本法则所确定的数据并绘制相应图形。解：由开环传递函数可得：37例：设38法则1：起点：p1=0,p2=-4,p3=-1+j,p4=-1-j

终点：z1=-1和三个无穷远零点法则2：四条分支法则3：渐近线与实轴的交点及夹角为：0

-1-4-2-3-110

-1-2-3-11渐近线

渐近线

渐近线

渐近线

38法则1：起点：p1=0,p2=-4,p3=-1+j394-2根轨迹绘制的基本法则

1.绘制根轨迹的基本法则

法则4：根轨迹在实轴上的分布。实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。394-2根轨迹绘制的基本法则

1.绘制根轨迹的基本法则40证明：设开环零、极点分布如图所示。设是测试点。则为根轨迹上点的充分必要条件为：即开环零点到的相角之和减去开环极点到的相角之和是的奇数倍。40证明：设开环零、极点分布如图所示。设是测试点。则41注意到：复共轭极点到的相角之和是，不影响（*）式的奇偶性。因此，可略去不计。同理复共轭零点的情况亦可略去不计。而测试点左边的所有点到的相角均为零，其右边点到的相角均为。因此，（*）式为的奇数倍的充要条件是的右边开环实零、极点的个数之和是奇数。41注意到：复共轭极点到的相角之和是，42例：已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。[-2，-1]右侧实零、极点数=3[-6，-4]右侧实零、极点数=742例：已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。[-2434-2根轨迹绘制的基本法则

1.绘制根轨迹的基本法则

法则5：根轨迹的分离点与分离角。

两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点。分离点的坐标d

是下列方程的解：式中zj为各开环零点的数值，pi为各开环极点的数值。分离角为：434-2根轨迹绘制的基本法则

1.绘制根轨迹的基本法则44分离点的特性：因为根轨迹是对称的，所以根轨迹的分离点或位于实轴上，或以共轭形式成对出现在复平面中。一般情况下，常见的根轨迹分离点是位于实轴上的两条根轨迹分支的分离点。如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间，其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至少存在一个分离点；同样，如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间，其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间也至少有一个分离点(会合点)。44分离点的特性：45证明：由根轨迹方程，有：45证明：由根轨迹方程，46闭环特征方程为：根轨迹在s平面上相遇，说明闭环特征方程在相遇点处有重根出现。设重根为d，根据代数中重根条件：46闭环特征方程为：根轨迹在s平面上相遇，说明闭环特征方程在47代入两端微分47代入两端微分48得：d

即为根轨迹的分离点。48得：d即为根轨迹的分离点。49

当l条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，分离角可由(2k+1)π/l来决定，其中k=0,1,2,…,l-1。分离角定义为根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角。显然，当

l＝2时，分离角必为直角。49当l条根轨迹分支进入并立即离开分离点50例：系统结构图如图所示，绘制其概略根轨迹。解：

由法则4，实轴上区域[-1，0]和[-3，-2]是根轨迹。由法则2，该系统有3条根轨迹分支，且对称于实轴。50例：系统结构图如图所示，绘制其概略根轨迹。解：51

由法则1，一条根轨迹分支起于开环极点（0），终止于开环零点（-1），另外两条根轨迹分支起于开环极点（-2）和（-3），终止于无穷远处（无限零点）。

由法则3，两条终止于无穷远处的根轨迹的渐近线与实轴的交角为90o和270o，交点坐标为：51由法则1，一条根轨迹分支起于开环极点（0），终止52

由法则5，实轴区域[-3，-2]必有一个根轨迹的分离点

d，d满足分离点方程：解得：52由法则5，实轴区域[-3，-2]必有53由法则1、2：起点0，-2，-3；终点-1,共三条根轨迹，其中两条趋向无穷远点由法则3：趋向无穷远点分枝的渐近线与实轴交点σ=-2，与实轴的交角为90o和270o。由法则4：实轴上区域[-1，0]和[-3，-2]是根轨迹。由法则5：实轴区域[-2，-3]必有一个根轨迹的分离点d，

d满足分离点方程：53由法则1、2：起点0，-2，-3；终点-1,由54例：系统结构图如图所示，绘制其根轨迹。解：

54例：系统结构图如图所示，绘制其根轨迹。解：55法则1：起点：终点：-2，无穷远处。法则2：两条分支。法则3：n-m=1，故只有180o渐近线，它正好与负实轴重合。法则4：为实轴上的根轨迹。法则5：由分离点的坐标方程得：或(舍去)55法则1：起点：终点：-2，无穷远565657

结论：由两个极点(实数极点或复数极点)和一个有限零点组成的开环系统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当K*从零变化到无穷时，闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到分离点的距离为半径的一个圆，或圆的一部分。特别指出，如果此时有限极点是共轭的，则半径为零点到一个极点的距离。57结论：584-2根轨迹绘制的基本法则

1.绘制根轨迹的基本法则

法则6：根轨迹的起始角与终止角。

根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角，以标志；根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，称为终止角，以表示。584-2根轨迹绘制的基本法则

1.绘制根轨迹的基本法则59证明：设开环系统有m个有限零点，n个有限极点。在无限靠近待求起始角(或终止角)的复数极点pi(或复数零点zj)的根轨迹上取一点s1。由于s1无限接近pi(或zj)，因此除pi(或zj)外，所有开环零、极点到s1的向量相角都可以用它们到pi(或zj)的向量相角来代替，而pi(或zj)到s1的向量相角即为起始角（或终止角）。59证明：设开环系统有m个有限零点，n个有限极60

根据s1满足的相角条件，有：得到：60根据s1满足的相角条件，有：得到：61例：系统开环传递函数如下，绘制其根轨迹。解：1）实轴上区域[-1.5,0]和(-∞,-2.5]

为根轨迹。

2）n-m=1，只有一条180o渐近线。

3）无分离点。

4）起始角与终止角。

61例：系统开环传递函数如下，绘制其根轨迹。解：1）实轴上区62-1-2108.5°90°59°37°19°56.5°62-1-2108.5°90°59°37°196390°121°153°199°63.5°117°6390°121°153°199°63.56464654-2根轨迹绘制的基本法则

1.绘制根轨迹的基本法则

法则7：根轨迹与虚轴的交点。若根轨迹与虚轴相交，则交点上的K*值和ω值可用劳斯判据确定，也可令闭环特征方程中的s＝jω，然后分别令其实部和虚部为零而求得。654-2根轨迹绘制的基本法则

1.绘制根轨迹的基本法则66

证明：

若根轨迹与虚轴相交，则表示闭环系统存在纯虚根，这意味着K*的数值使闭环系统处于临界稳定状态。因此令劳斯表第一列中包含K*的项为零，即可确定根轨迹与虚轴交点上的K*值。此外，因为一对纯虚根是数值相同但符号相异的根，所以利用劳斯表中s2行的系数构成辅助方程必可解出纯虚根的数值，这一数值就是根轨迹与虚轴交点上的ω值。66证明：67

如果根轨迹与正虚轴(或者负虚轴)有一个以上交点，则应采用劳斯表中幂大于2的s偶次方行的系数构造辅助方程。确定根轨迹与虚轴交点处参数的另一种方法，是将s＝jω代入系统闭环特征方程，并令方程的实部和虚部分别为零，即可求得相应的K*

和ω。

67如果根轨迹与正虚轴(或者负虚轴)有一个以上交点，则应采68例:

系统的开环传递函数为,求根轨迹与虚轴的交点。闭环特征方程系统稳定的临界K*值：K*=6表中s2行元素构成辅助方程根轨迹与虚轴的交点

劳斯表68例:系统的开环传递函数为69例:

系统的开环传递函数求根轨迹与虚轴的交点。代入系统闭环特征方程69例:系统的开环传递函数70例：设系统开环传递函数为试绘制闭环系统的概略根轨迹。解：（1）无开环零点，开环极点为：实轴上的根轨迹为[-3，0]。70例：设系统开环传递函数为试绘制闭环系统的概略根轨迹。解71（2）n-m=4有4条分支趋向无穷远处。渐近线与实轴的交点与夹角分别为：（3）分离点：（4）起始角：71（2）n-m=4有4条分支趋向无穷远处。72（5）根轨迹与虚轴的交点（应用劳斯判据）由第一列、第四行元素为零由辅助方程72（5）根轨迹与虚轴的交点（应用劳斯判据）由第一列、第737374例：设系统开环传递函数为

解：法则1起点：试绘制系统的概略根轨迹。终点：和三个无穷远处。法则4[-2，0]，(-∞，-3]为实轴上的根轨迹。

法则3

根轨迹的渐近线：n=4，m=1，故有三条渐近线。74例：设系统开环传递函数为解：法则1起75

法则5实轴上无相邻极点或相邻零点的根轨迹，无分离点。法则6确定起始角：法则7根轨迹与虚轴的交点：闭环系统特征方程：

令s＝jω代入系统闭环特征方程：75法则5实轴上无相邻极点或相邻零点的根轨迹，无法则676令其实部和虚部分别为零，有：有(舍)，，此时：由闭环特征方程列劳斯表：根轨迹与虚轴的交点也可以用劳斯表求得。令s1行首列为零：有：76令其实部和虚部分别为零，有：有(舍)，，77[w,k]=solve('-5*w^3+(6+k)*w=0','w^4-8*w^2+2*k=0')w=05*13^(1/2)-115*13^(1/2)-11-5*13^(1/2)-11-5*13^(1/2)-11k=0(13^(1/2)-1)^(1/2)-(13^(1/2)-1)^(1/2)(-13^(1/2)-1)^(1/2)-(-13^(1/2)-1)^(1/2)77[w,k]=solve('-5*w^3+(6+k)*w=78[k]=solve('6+k-50*k/(34-k)')k=5*13^(1/2)–11=7.0278-5*13^(1/2)–11=–7.027878[k]=solve('6+k-50*k/(34-k)')79以s2行系数列辅助方程：有：故根轨迹与虚轴的交点为：此时开环增益为：79以s2行系数列辅助方程：有：故根轨迹与虚轴的交点为：80808181824-2根轨迹绘制的基本法则

1.绘制根轨迹的基本法则

法则8：根之和与根之积。系统闭环特征方程，在n>m且n-m>1时，开环n个极点之和总等于闭环特征方程n个根之和：

si为系统闭环特征方程的根。824-2根轨迹绘制的基本法则

1.绘制根轨迹的基本法则83证明：在n>m的一般情况下，系统闭环特征方程可表示为：当时，a1与K*无关，无论K*为何值：根之和不变K*增大，一些根轨迹分支向左移动，则一定会相应有另外一些根轨迹分支向右移动。83证明：在n>m的一般情况下，系统闭环特征方程可表示为：当84第四章线性系统的根轨迹法

4-3广义根轨迹

在控制系统中，除根轨迹增益K*以外，其它情形下的根轨迹统称为广义根轨迹。如系统的参数根轨迹，开环传递函数中零点个数多于极点个数时的根轨迹，以及零度根轨迹等均可列入广义根轨迹这个范畴。通常，将负反馈系统中K*变化时的根轨迹叫做常规根轨迹。

84第四章线性系统的根轨迹法

4-3广义根轨迹在控制851.参数根轨迹

以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹为参数根轨迹，以区别以开环增益K*为可变参数的常规根轨迹。绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的完全相同。只要在绘制参数根轨迹之前，引入等效单位反馈系统和等效传递函数概念，则常规根轨迹的所有绘制法则，均适用于参数根轨迹的绘制。851.参数根轨迹以非开环增益为可变参数86为此，需要对闭环特征方程做如下等效变换，变成下面形式：A为除K*以外的任意可变参数，P(s)和Q(s)为两个与A无关的首一多项式。由于上述两个式子等效，于是得到等效的单位反馈系统开环传递函数：利用此式画出的根轨迹，就是以参数A为变量的参数根轨迹。86为此，需要对闭环特征方程做如下等效变换，变成下面形式：A87

关于等效的概念：

此处的等效仅在闭环极点相同这一点上成立，而闭环零点未必相同。由于闭环零点对系统的性能也有影响，所以由闭环零极点分布来分析和估算系统性能时，可采用参数根轨迹上的闭环极点，但必须采用原来闭环系统的零点。这一处理方法和结论，对绘制开环零极点变化时，同样适用。87关于等效的概念：此处的等效仅在闭888889对于系统II和III具有相同的开环传递函数但闭环传递函数各自为绘制根轨迹时的等效开环传递函数为尽管有相同的根轨迹，但闭环系统性能却不同。这是因为各自的闭环零点不同。89对于系统II和III具有相同的开环传递函数但闭环传递函909091例：计算等效传递函数以Ta为变量绘制参数根轨迹。解：91例：计算等效传递函数以Ta为变量绘制参数根轨迹。92同除得：92同除得：939394例：设单位反馈系统的开环传递函数为

其中开环增益K可自行选定。分析时间常数对系统性能的影响。解：闭环特征方程94例：其中开环增益K可自行选定。分析时间常数95等效开环极点:注：若分母多项式为高次时，无法解析求解等效开环极点，则运用根轨迹法求解。如本例，求解分母特征根的根轨迹方程为：在本例中，K可自行选定，选定不同K值，然后将G1(s)的零、极点画在s平面上，在令绘制出变化时的参数根轨迹。95等效开环极点:注：若分母多项式为高次时，无法解析求解等效96969797982.附加零点的作用1.附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性。设开环传递函数为

附加的开环实数零点，其值可在s左半平面内任意选择，当时，表明不存在有限零点。令为不同的数值，对应的根轨迹如下所示：（a）无开环零点；（b）（c）（d）982.附加零点的作用1.附加适当的开环零点可以改善系统99开环无零点99开环无零点1002、附加开环零点的作用渐近线与实轴倾角随着m数增大而增加根轨迹向左方向弯曲渐近线与实轴交点随着zc增大（zc点在实轴上向右移）而左移提高了系统的相对稳定性开环零点对根轨迹的影响1002、附加开环零点的作用渐近线与实轴倾角随着m数增大而增101增加一个开环负实数零点对系统根轨迹的影响1、改变了实轴上根轨迹的分布。2、改变了根轨迹渐近线的条数、与实轴的交点坐标及夹角的大小。3、使系统的根轨迹向左偏移，提高了系统的稳定度，有利于改善系统的动态性能。开环负实零点离虚轴越近，这种改善作用越大。4、开环零点与极点重合或相近时，对根轨迹的影响可以忽略不计，可抵消有损系统性能的极点对系统产生的不利影响。101增加一个开环负实数零点对系统根轨迹的影响1022.附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外，还可以改善系统的动态性能。结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同时得到明显的改善。1022.附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外103

前面讨论的系统根轨迹，其闭环系统特征方程需要满足的相角条件是(2k+1)π=180o(2k+1)，k=…-2，-1,0，1,2…。这种根轨迹称作180o根轨迹。有些情况下，根轨迹的幅角满足的条件不是180o(2k+1)，而是2kπ+0o=360ok+0o，这样的根轨迹就是零度根轨迹。零度根轨迹的特征方程的表现形式为：。3.零度根轨迹103前面讨论的系统根轨迹，其闭环系统特征方程需要满104其特点是系统闭环特征方程中右侧为-1时，左侧s的首一多项式的最高次项前有“-”号。故根轨迹的幅值条件不变：但相角条件改变了：104其特点是系统闭环特征方程中右侧为-1时，左侧s的首一多105

零度根轨迹的来源：一是系统在s平面的右半侧有开环零极点，并且这种系统包含s最高次幂的系数为负的因子；这一般由于被控对象，如飞机，导弹的本身特性所产生的，或者是在系统结构图变换过程中所产生的。二是控制系统中包含有正反馈内回路。这一般是由于某种性能指标要求，使得在复杂的控制系统设计中，必须包含正反馈内回路所致。105零度根轨迹的来源：一是系统在s平面的右106解：闭环特征方程：故：例：如图示系统，其中有一开环零点在s的右半平面上。(为常数)106解：闭环特征方程：故：例：如图示系统，其中有一开环零点107解：闭环特征方程：所以：例：正反馈系统如图G(s)和H(s)均为正的首一多项式。107解：闭环特征方程：所以：例：正反馈系统如图G(s)和H108

零度根轨迹的绘制方法，与常规根轨迹的绘制方法略有不同。根据零度根轨迹方程与常规根轨迹方程对照可知，它们的模值条件完全相同，仅相角条件有所改变。因此，常规根轨迹的绘制法则，原则上可以应用于零度根轨迹的绘制，但在与相角条件有关的一些法则中，需作适当调整，从这种意义上说，零度根轨迹也是常规根轨迹的一种推广。108零度根轨迹的绘制方法，与常规根轨迹的109绘制零度根轨迹时，应调整的绘制法则计有：法则3：根轨迹的渐近线：交点不变，交角变为：

法则4：实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环零、极点个数之和为偶数，则该区域为根轨迹。法则6：根轨迹的起始角与终止角：109绘制零度根轨迹时，应调整的绘制法则计有：法则3：根轨迹110法则1：起点：终点：两个无穷远处。除上述三个法则外，其他法则不变。例：设单位正反馈系统前向通路的传递函数为：试绘制系统的概略根轨迹。解：110法则1：起点：除上述三个法则外，其他法则不变。例：设单111法则4：实轴上的根轨迹：法则3：根轨迹的渐近线：n=3，m=1，故有二条渐近线。111法则4：实轴上的根轨迹：法则3：根轨迹的渐近线：n=3112法则4：分离点：得：

即：法则5：确定起始角：%den=[2112010]%p=roots(den)112法则4：分离点：得：即：法则5：确定起始角：%de113法则6：临界开环增益：s=0时，若想使系统稳定，则需：sys=tf([-1-2],[1586])113法则6：临界开环增益：s=0时，若想使系统稳定，则需：1144-4系统性能的分析系统性能系统的开环零、极点位置根轨迹闭环极点位置一、闭环零点和闭环极点的确定1、由开环传递函数确定系统的闭环零点2、由试探法确定系统的闭环极点1144-4系统性能的分析系统性能系统的开环零、极点位置1151）闭环零点=前向通道的零点+反馈通道的极点；2）闭环根轨迹增益等于其前向通道的根轨迹增益。前向通道增益反馈通道增益=K1K2开环增益开环传递函数闭环传递函数1151）闭环零点=前向通道的零点+反馈通道的极点；2）闭环116系统闭环零、极点的分布与系统性能的关系：（2）运动形态。如果闭环极点均为负实数，且无零点，则系统的时间响应一定是单调的。如果系统存在闭环复数极点，则系统的时间响应一定是有振荡的。（1）稳定性。系统的稳定性完全取决于闭环极点的位置。（3）平稳性。系统响应的平稳性由系统阶跃响应的超调量来度量。欲使系统响应平稳，系统的闭环复数极点的阻尼角应尽可能小。（4）快速性。要使系统具有好的响应快速性，其响应的各暂态分量应具有较大的衰减因子且各暂态分量的系数应尽可能小，即系统的闭环极点应远离虚轴，或用闭环零点与虚轴附近的闭环极点构成闭环偶极子。116系统闭环零、极点的分布与系统性能的关系：（2）运动形态第四章

线性系统的根轨迹法第四章线性系统的根轨迹法118第四章线性系统的根轨迹法

4-1根轨迹法的基本概念

控制系统的稳定性及动态性能与系统的闭环极点和零点在s平面的位置密切相关，因此可根据闭环零极点的分布来间接地研究系统的性能。但当特征方程的阶数高于四阶时，求解零极点的过程比较复杂。如果要研究系统参数变化对闭环特征方程根的影响，那么就需要进行大量的反复计算，同时还不能直观看出影响趋势。因此对于高阶系统的求根问题来说，解析法就显得很不方便。2第四章线性系统的根轨迹法

4-1根轨迹法的基本概念119第四章线性系统的根轨迹法

4-1根轨迹法的基本概念

1948年，W·R·伊凡思在他的一篇论文“控制系统的图解分析”中提出了在复平面上由系统的开环传递函数求取闭环特征根的方法，这就是根轨迹法。当开环增益或其它参数改变时，其全部数值对应的闭环极点均可在根轨迹图上简便地确定，因此在工程实践中得到了广泛的应用。

3第四章线性系统的根轨迹法

4-1根轨迹法的基本概念120第四章线性系统的根轨迹法

4-1根轨迹法的基本概念

根轨迹：系统某一参数在规定范围内变化时，闭环系统特征方程的根在s

平面上的位置也随之变化移动，一个根形成一条轨迹。

广义根轨迹:

系统的任意一个参数变化所形成的根轨迹。

常规（狭义）根轨迹（通常情况）：变化参数为开环增益K，且其变化取值范围为0到∞。4第四章线性系统的根轨迹法

4-1根轨迹法的基本概念121第四章线性系统的根轨迹法

4-1根轨迹法的基本概念

根轨迹法是分析和设计线性定常控制系统，求解特征方程的根的图解方法，使用十分简便。特别是对于多回路系统的研究，应用根轨迹法比用其它方法更为方便。借助于根轨迹法，可以方便直观地分析系统特征根与系统参数之间的关系。5第四章线性系统的根轨迹法

4-1根轨迹法的基本概念122第四章线性系统的根轨迹法

4-1根轨迹法的基本概念

本节主要介绍根轨迹的基本概念，根轨迹与系统性能之间的关系，并从闭环零、极点与开环零、极点之间的关系推导出根轨迹方程，然后将向量形式的根轨迹方程转化为常用的相角条件和模值条件形式，最后应用这些条件绘制简单系统的根轨迹。6第四章线性系统的根轨迹法

4-1根轨迹法的基本概念1234-1根轨迹法的基本概念

1.根轨迹概念例：设控制系统的结构图如图所示：特征方程：特征根：74-1根轨迹法的基本概念

1.根轨迹概念例：设控制系1244-1根轨迹法的基本概念

1.根轨迹概念

令开环增益K从零变到无穷，粗实线为系统的根轨迹。箭头表示随着K值的增加，根轨迹的变化趋势，而标注的数值为与闭环极点位置相对应的开环增益K的数值。84-1根轨迹法的基本概念

1.根轨迹概念1254-1根轨迹法的基本概念

2.根轨迹与系统性能（1）稳定性：当开环增益从零变到无穷时，如果根轨迹没有越过虚轴进入s右半平面，则系统对所有的K值都是稳定的，如果系统的根轨迹越过虚轴进入s右半平面，此时根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界开环增益。94-1根轨迹法的基本概念

2.根轨迹与系统性能（1）1264-1根轨迹法的基本概念

2.根轨迹与系统性能（2）稳态性能：由开环系统在坐标原点处的极点数可判断出系统的型别，而此时的K值就是相应的静态误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。104-1根轨迹法的基本概念

2.根轨迹与系统性能（21274-1根轨迹法的基本概念

2.根轨迹与系统性能（3）动态性能：

当0＜K＜0.5时：过阻尼系统；当K＝0.5时：临界阻尼系统；当K＞0.5时：欠阻尼系统。114-1根轨迹法的基本概念

2.根轨迹与系统性能（31284-1根轨迹法的基本概念

2.根轨迹与系统性能

上述分析表明：根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。对于高阶系统而言，用解析的方法绘制系统的根轨迹图，显然是不适用的。希望能有简便的图解方法，可根据已知的开环传递函数迅速绘出闭环系统的根轨迹。为此，需要研究闭环零、极点与开环零、极点之间的关系。124-1根轨迹法的基本概念

2.根轨迹与系统性能1293.闭环零、极点与

开环零、极点之间的关系

一般情况下，前向通路传递函数G(s)可表示为：

为前向通路增益；为前向通路根轨迹增益。133.闭环零、极点与

开环零、极点之间的关系一般情况1303.闭环零、极点与

开环零、极点之间的关系反馈通路传递函数H(s)可表示为：

为反馈通路根轨迹增益。则系统的开环传递函数可表示为：称为开环系统根轨迹增益。143.闭环零、极点与

开环零、极点之间的关系反馈通路传1313.闭环零、极点与

开环零、极点之间的关系

对于有

m

个开环零点和n个开环极点的系统，必有f+l=m和q+h=n

。则：153.闭环零、极点与

开环零、极点之间的关系1323.闭环零、极点与

开环零、极点之间的关系结论：1)

闭环系统的根轨迹增益等于开环系统前向通路根轨迹增益。对单位反馈系统而言，闭环系统根轨迹增益就等于开环系统根轨迹增益。2)

闭环零点由开环前向通路零点与反馈通路极点组成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。3)

闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益K*

均有关。163.闭环零、极点与

开环零、极点之间的关系结论：1333.闭环零、极点与

开环零、极点之间的关系

根轨迹法的基本任务在于：

如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。173.闭环零、极点与

开环零、极点之间的关系1344-1根轨迹法的基本概念

4.根轨迹方程

根轨迹是系统所有闭环极点的集合，闭环系统特征方程为：即：

等价为：上式称为根轨迹方程。184-1根轨迹法的基本概念

4.根轨迹方程1354-1根轨迹法的基本概念

4.根轨迹方程由于模值条件：相角条件：194-1根轨迹法的基本概念

4.根轨迹方程由于模值条1364-1根轨迹法的基本概念

4.根轨迹方程

根据相角条件和模值条件，可以完全确定s平面上的根轨迹和根轨迹上对应的K*值。其中：

1、相角条件是s平面上根轨迹所要满足的充要条件；

2、模值条件可确定s平面上的根轨迹各点所对应的根轨迹增益K*。

204-1根轨迹法的基本概念

4.根轨迹方程137例单位反馈系统的开环传递函数

一个开环极点

P1=0

负实轴上点s1s2=-1-j负实轴上的点都是根轨迹上的点！

负实轴外的点都不是根轨迹上的点！

21例单位反馈系统的开环传递函数一第四章

线性系统的根轨迹法第四章线性系统的根轨迹法139第四章线性系统的根轨迹法

4-2根轨迹绘制的基本法则

当可变参数为系统的开环增益(根轨迹增益K*)时，所绘制的根轨迹为常规根轨迹。其相角遵循1800+2kπ条件，因此称为1800根轨迹，相应的绘制法则也就可以叫做1800根轨迹的绘制法则。23第四章线性系统的根轨迹法

4-2根轨迹绘制的基本法1404-2根轨迹绘制的基本法则

1.绘制根轨迹的基本法则

法则1：

根轨迹的起点和终点。根轨迹起于开环极点，终于开环零点。244-2根轨迹绘制的基本法则

1.绘制根轨迹的基本法则141证明：设有m个零点,n个极点的开环系统传递函数为：则由其组成的闭环系统特征方程为：

式中：起点：特征方程为：25证明：设有m个零点,n个极点的开环系统传递函数为：则由142终点：特征方程为：

实际系统中，有m个零点,n个极点的开环系统传递函数一般满足，因此有n-m条根轨迹的终点在无穷远处，这是因为当时，根据模值条件有：26终点：特征方程为：实际系统中，有m个零点,143

如果把有限数值的零点称作有限零点，则把无穷远处的零点称为无限零点，那么根轨迹必终止于开环零点。在无限零点的意义下，系统的开环零极点数目相等。在绘制其它参数根轨迹时，可能有m>n的情况，则有m-n条根轨迹的起点在无穷远处，称为无限极点，此时系统的开环零极点数也是相等的。

根轨迹起于开环极点，终于开环零点。27如果把有限数值的零点称作有限零点，则把无穷1444-2根轨迹绘制的基本法则

1.绘制根轨迹的基本法则

法则2：根轨迹的分支数、对称性和连续性。

根轨迹的分支数与开环有限零点m

和有限极点n中的大者相等，它们是连续的且对称于实轴。

284-2根轨迹绘制的基本法则

1.绘制根轨迹的基本法则145

证明：

根轨迹是开环系统某一参数在规定范围内变化时，闭环特征方程的根在s平面上的变化轨迹。因此根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目相一致。闭环特征方程根的数目就等于m和n中的大者，所以根轨迹的分支数必与开环有限零、极点数中的大者相同。29证明：根轨迹是开环系统某一参数在规定范围内变146

由于根轨迹增益K*是连续变化的，特征方程的某些系数也随之而连续变化，因而特征根也会连续变化，故根轨迹具有连续性。因为闭环特征方程的系数为实数，闭环特征方程的根只有实根和复根两种。实根位于实轴上，复根必共轭，而根轨迹是闭环特征根的集合，因此根轨迹对称于实轴。30由于根轨迹增益K*是连续变化的，特征方程1474-2根轨迹绘制的基本法则

1.绘制根轨迹的基本法则

法则3：

根轨迹的渐近线：当n>m时，有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交角φa，交点为σa的一组渐近线趋向无穷远处，且有：314-2根轨迹绘制的基本法则

1.绘制根轨迹的基本法则148证明：渐近线可以理解为|s|很大时的根轨迹，故其必对称于实轴。由于：式中：当时有

近似为：32证明：渐近线可以理解为|s|很大时的根轨迹，故其必对称于149由根轨迹方程：得：或根据二项式定理将展开在s值很大时：33由根轨迹方程：得：或根据二项式定理将150代入渐近线方程，得：令：有：则：34代入渐近线方程，得：令：有：则：151解得：式中：进而有：0在s复平面上表示一条直线：与实轴的交与实轴的夹角为点为，35解得：式中：进而有：0在s复平面上表示一条直线：与实轴1521）当k取不同值时，φa

有（n－m）个值，而a不变；2）根轨迹在s∞时的渐近线为 （n－m）条与实轴交点为a

、相角为a的一组射线。说明361）当k取不同值时，φa有（n－m）个值，而a不153例：设，试求出由上面三个基本法则所确定的数据并绘制相应图形。解：由开环传递函数可得：37例：设154法则1：起点：p1=0,p2=-4,p3=-1+j,p4=-1-j

终点：z1=-1和三个无穷远零点法则2：四条分支法则3：渐近线与实轴的交点及夹角为：0

-1-4-2-3-110

-1-2-3-11渐近线

渐近线

渐近线

渐近线

38法则1：起点：p1=0,p2=-4,p3=-1+j1554-2根轨迹绘制的基本法则

1.绘制根轨迹的基本法则

法则4：根轨迹在实轴上的分布。实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。394-2根轨迹绘制的基本法则

1.绘制根轨迹的基本法则156证明：设开环零、极点分布如图所示。设是测试点。则为根轨迹上点的充分必要条件为：即开环零点到的相角之和减去开环极点到的相角之和是的奇数倍。40证明：设开环零、极点分布如图所示。设是测试点。则157注意到：复共轭极点到的相角之和是，不影响（*）式的奇偶性。因此，可略去不计。同理复共轭零点的情况亦可略去不计。而测试点左边的所有点到的相角均为零，其右边点到的相角均为。因此，（*）式为的奇数倍的充要条件是的右边开环实零、极点的个数之和是奇数。41注意到：复共轭极点到的相角之和是，158例：已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。[-2，-1]右侧实零、极点数=3[-6，-4]右侧实零、极点数=742例：已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。[-21594-2根轨迹绘制的基本法则

1.绘制根轨迹的基本法则

法则5：根轨迹的分离点与分离角。

两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点。分离点的坐标d

是下列方程的解：式中zj为各开环零点的数值，pi为各开环极点的数值。分离角为：434-2根轨迹绘制的基本法则

1.绘制根轨迹的基本法则160分离点的特性：因为根轨迹是对称的，所以根轨迹的分离点或位于实轴上，或以共轭形式成对出现在复平面中。一般情况下，常见的根轨迹分离点是位于实轴上的两条根轨迹分支的分离点。如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间，其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至少存在一个分离点；同样，如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间，其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间也至少有一个分离点(会合点)。44分离点的特性：161证明：由根轨迹方程，有：45证明：由根轨迹方程，162闭环特征方程为：根轨迹在s平面上相遇，说明闭环特征方程在相遇点处有重根出现。设重根为d，根据代数中重根条件：46闭环特征方程为：根轨迹在s平面上相遇，说明闭环特征方程在163代入两端微分47代入两端微分164得：d

即为根轨迹的分离点。48得：d即为根轨迹的分离点。165

当l条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，分离角可由(2k+1)π/l来决定，其中k=0,1,2,…,l-1。分离角定义为根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角。显然，当

l＝2时，分离角必为直角。49当l条根轨迹分支进入并立即离开分离点166例：系统结构图如图所示，绘制其概略根轨迹。解：

由法则4，实轴上区域[-1，0]和[-3，-2]是根轨迹。由法则2，该系统有3条根轨迹分支，且对称于实轴。50例：系统结构图如图所示，绘制其概略根轨迹。解：167

由法则1，一条根轨迹分支起于开环极点（0），终止于开环零点（-1），另外两条根轨迹分支起于开环极点（-2）和（-3），终止于无穷远处（无限零点）。

由法则3，两条终止于无穷远处的根轨迹的渐近线与实轴的交角为90o和270o，交点坐标为：51由法则1，一条根轨迹分支起于开环极点（0），终止168

由法则5，实轴区域[-3，-2]必有一个根轨迹的分离点

d，d满足分离点方程：解得：52由法则5，实轴区域[-3，-2]必有169由法则1、2：起点0，-2，-3；终点-1,共三条根轨迹，其中两条趋向无穷远点由法则3：趋向无穷远点分枝的渐近线与实轴交点σ=-2，与实轴的交角为90o和270o。由法则4：实轴上区域[-1，0]和[-3，-2]是根轨迹。由法则5：实轴区域[-2，-3]必有一个根轨迹的分离点d，

d满足分离点方程：53由法则1、2：起点0，-2，-3；终点-1,由170例：系统结构图如图所示，绘制其根轨迹。解：

54例：系统结构图如图所示，绘制其根轨迹。解：171法则1：起点：终点：-2，无穷远处。法则2：两条分支。法则3：n-m=1，故只有180o渐近线，它正好与负实轴重合。法则4：为实轴上的根轨迹。法则5：由分离点的坐标方程得：或(舍去)55法则1：起点：终点：-2，无穷远17256173

结论：由两个极点(实数极点或复数极点)和一个有限零点组成的开环系统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当K*从零变化到无穷时，闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到分离点的距离为半径的一个圆，或圆的一部分。特别指出，如果此时有限极点是共轭的，则半径为零点到一个极点的距离。57结论：1744-2根轨迹绘制的基本法则

1.绘制根轨迹的基本法则

法则6：根轨迹的起始角与终止角。

根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角，以标志；根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，称为终止角，以表示。584-2根轨迹绘制的基本法则

1.绘制根轨迹的基本法则175证明：设开环系统有m个有限零点，n个有限极点。在无限靠近待求起始角(或终止角)的复数极点pi(或复数零点zj)的根轨迹上取一点s1。由于s1无限接近pi(或zj)，因此除pi(或zj)外，所有开环零、极点到s1的向量相角都可以用它们到pi(或zj)的向量相角来代替，而pi(或zj)到s1的向量相角即为起始角（或终止角）。59证明：设开环系统有m个有限零点，n个有限极176

根据s1满足的相角条件，有：得到：60根据s1满足的相角条件，有：得到：177例：系统开环传递函数如下，绘制其根轨迹。解：1）实轴上区域[-1.5,0]和(-∞,-2.5]

为根轨迹。

2）n-m=1，只有一条180o渐近线。

3）无分离点。

4）起始角与终止角。

61例：系统开环传递函数如下，绘制其根轨迹。解：1）实轴上区178-1-2108.5°90°59°37°19°56.5°62-1-2108.5°90°59°37°1917990°121°153°199°63.5°117°6390°121°153°199°63.5180641814-2根轨迹绘制的基本法则

1.绘制根轨迹的基本法则

法则7：根轨迹与虚轴的交点。若根轨迹与虚轴相交，则交点上的K*值和ω值可用劳斯判据确定，也可令闭环特征方程中的s＝jω，然后分别令其实部和虚部为零而求得。654-2根轨迹绘制的基本法则

1.绘制根轨迹的基本法则182

证明：

若根轨迹与虚轴相交，则表示闭环系统存在纯虚根，这意味着K*的数值使闭环系统处于临界稳定状态。因此令劳斯表第一列中包含K*的项为零，即可确定根轨迹与虚轴交点上的K*值。此外，因为一对纯虚根是数值相同但符号相异的根，所以利用劳斯表中s2行的系数构成辅助方程必可解出纯虚根的数值，这一数值就是根轨迹与虚轴交点上的ω值。66证明：183

如果根轨迹与正虚轴(或者负虚轴)有一个以上交点，则应采用劳斯表中幂大于2的s偶次方行的系数构造辅助方程。确定根轨迹与虚轴交点处参数的另一种方法，是将s＝jω代入系统闭环特征方程，并令方程的实部和虚部分别为零，即可求得相应的K*

和ω。

67如果根轨迹与正虚轴(或者负虚轴)有一个以上交点，则应采184例:

系统的开环传递函数为,求根轨迹与虚轴的交点。闭环特征方程系统稳定的临界K*值：K*=6表中s2行元素构成辅助方程根轨迹与虚轴的交点

劳斯表68例:系统的开环传递函数为185例:

系统的开环传递函数求根轨迹与虚轴的交点。代入系统闭环特征方程69例:系统的开环传递函数186例：设系统开环传递函数为试绘制闭环系统的概略根轨迹。解：（1）无开环零点，开环极点为：实轴上的根轨迹为[-3，0]。70例：设系统开环传递函数为试绘制闭环系统的概略根轨迹。解187（2）n-m=4有4条分支趋向无穷远处。渐近线与实轴的交点与夹角分别为：（3）分离点：（4）起始角：71（2）n-m=4有4条分支趋向无穷远处。188（5）根轨迹与虚轴的交点（应用劳斯判据）由第一列、第四行元素为零由辅助方程72（5）根轨迹与虚轴的交点（应用劳斯判据）由第一列、第18973190例：设系统开环传递函数为

解：法则1起点：试绘制系统的概略根轨迹。终点：和三个无穷远处。法则4[-2，0]，(-∞，-3]为实轴上的根轨迹。

法则3

根轨迹的渐近线：n=4，m=1，故有三条渐近线。74例：设系统开环传递函数为解：法则1起191

法则5实轴上无相邻极点或相邻零点的根轨迹，无分离点。法则6确定起始角：法则7根轨迹与虚轴的交点：闭环系统特征方程：

令s＝jω代入系统闭环特征方程：75法则5实轴上无相邻极点或相邻零点的根轨迹，无法则6192令其实部和虚部分别为零，有：有(舍)，，此时：由闭环特征方程列劳斯表：根轨迹与虚轴的交点也可以用劳斯表求得。令s1行首列为零：有：76令其实部和虚部分别为零，有：有(舍)，，193[w,k]=solve('-5*w^3+(6+k)*w=0','w^4-8*w^2+2*k=0')w=05*13^(1/2)-115*13^(1/2)-11-5*13^(1/2)-11-5*13^(1/2)-11k=0(13^(1/2)-1)^(1/2)-(13^(1/2)-1)^(1/2)(-13^(1/2)-1)^(1/2)-(-13^(1/2)-1)^(1/2)77[w,k]=solve('-5*w^3+(6+k)*w=194[k]=solve('6+k-50*k/(34-k)')k=5*13^(1/2)–11=7.0278-5*13^(1/2)–11=–7.027878[k]=solve('6+k-50*k/(34-k)')195以s2行系数列辅助方程：有：故根轨迹与虚轴的交点为：此时开环增益为：79以s2行系数列辅助方程：有：故根轨迹与虚轴的交点为：19680197811984-2根轨迹绘制的基本法则

1.绘制根轨迹的基本法则

法则8：