材料力学 第15章 能量法课件

第十五章能量法15.1引言15.3莫尔定理15.2杆件弹性变形能第十五章能量法15.1引言15.3莫尔定理151一、概念3.功能关系：忽略缓慢加载过程中动能和其它形式的能量损失，杆件能量守恒，即杆内所储存的应变能Vε在数量上与外力所作的功W相等。

Vε＝W2.应变能:弹性体在外力作用下产生变形而储存的能量，称为应变能或变形能，用Vε表式。1.能量法:利用功、能关系求解变形固体位移、变形和内力等的方法。15.1引言一、概念3.功能关系：忽略缓慢加载过程中动能和其它形式的能2

作用在弹性杆件上的力，其加力点的位移，随着杆件受力和变形的增加而增加，在这种情形下，力所作的功为变力功。

对于材料满足胡克定律、又在小变形条件下工作的弹性杆件，作用在杆件上的力与位移成线性关系。

这时，力所作的变力功为

FΔOΔF0一、线弹性体上的外力作功F15.2杆件弹性变形能作用在弹性杆件上的力，其加力点的位移，随着杆3

需要指出的是，上述功的表达式中，力和位移都是广义的。F可以是一个力，也可以是一个力偶；F可以是一对力，也可以是一对力偶；当F是一个力时，对应的位移Δ是线位移，当F是一个力偶时，对应的位移Δ是角位移；当F是一对力时，对应的位移Δ是相对线位移，当F是一对力偶时，对应的位移Δ是相对角位移。

15.2杆件弹性变形能需要指出的是，上述功的表达式中，力和位移都是4二、杆件产生基本变形时的应变能1、轴向拉伸或压缩FllOllFF一般形式15.2杆件弹性变形能二、杆件产生基本变形时的应变能1、轴向拉伸或压缩FllO5（1）轴力分段为常量时

：单位体积内的应变能，又称作比能。15.2杆件弹性变形能讨论：（2）应变能密度vε

（1）轴力分段为常量时：单位体积内的应变能，又称作比能。162、圆截面杆的扭转MelMeOMMe应变能一般形式15.2杆件弹性变形能2、圆截面杆的扭转MelMeOMMe应变能一般形式1573、平面弯曲15.2杆件弹性变形能3、平面弯曲15.2杆件弹性变形能8应变能：一般形式15.2杆件弹性变形能应变能：一般形式15.2杆件弹性变形能915.2杆件弹性变形能4.应变能的普遍表达式：

应变能与加载次序无关；相互独立的力（矢）引起的应变能可以相互叠加。细长杆，剪力引起的应变能可忽略不计。15.2杆件弹性变形能4.应变能的普遍表达式：10三、关于应变能计算的讨论1.以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的应变形能的计算。2.应变能可以通过外力功计算，也可以通过杆件微段上的内力功等于微段的应变能，然后积分求得整个杆件上的应变能。3.应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在应变能计算中一般不能使用。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功时，应变能才可叠加。例如：15.2杆件弹性变形能三、关于应变能计算的讨论1.以上计算公式仅适用于线弹性材114.应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。M(x)

—只产生弯曲转角FN

(x)

—只产生轴向线位移T(x)—只产生扭转角不计FS

产生的应变能15.2杆件弹性变形能4.应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中1215.2杆件弹性变形能例15.1用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。解：外力功等于应变能在应用对称性，得：思考：可否用此法求C截面的转角？CaaAFBw15.2杆件弹性变形能例15.1用能量法求C点的挠度13例15.2试计算图示吊车架的应变能，并应用它求节点A的竖直位移。已知E=200GPa,F

=57.6kN。斜杆AB由两根50505mm等边角钢组成，每根角钢的横截面面积，横杆AC由两根No.10槽钢组成，每根槽钢的横截面面积。设各杆自重可以不计。F30°ACB2m15.2杆件弹性变形能例15.2试计算图示吊车架的应变能，并应用它求节点AF3014解:FA由节点A的平衡条件求得AB杆的内力：AC杆的内力为：杆系的应变能：设节点A的竖直位移为，则由得：15.2杆件弹性变形能AB杆的内力为：解:FA由节点A的平衡条件求得AB杆的内力：AC杆的内力为：15例15.3图示等截面悬臂梁，E,A,I

已知。在自由端受集中力F和集中力偶Me

作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。考虑两种不同的加载次序，略去剪力的影响。解：(1)集中力F和集中力偶Me同时由零开始按比例逐渐增加至最终值。梁自由端的转角为：(方向与Me一致)F

Mel自由端的垂直位移为：梁的应变能15.2杆件弹性变形能例15.3图示等截面悬臂梁，E,A,I已知。在自由端受16(2)先作用F,加载时做功为：再加力偶矩Me，外力所作的功为：梁的总应变能：从这两种不同的加载次序来看，梁的应变能仅与载荷的始态和终态有关，而与加载次序无关。F

Mel15.2杆件弹性变形能(2)先作用F,加载时做功为：再加力偶矩Me，外力所作17(3)AB

梁的应变能也可通过截面上的内力来计算。代入应变能的内力表达式：弯矩方程：F

Mel15.2杆件弹性变形能(3)AB梁的应变能也可通过截面上的内力来计算。代入18从结果中可以看到：第一、三项分别为F和Me单独作用时的应变能，故F、Me同时作用在杆内所引起的应变能不等于各载荷单独作用时所引起的应变能之和。其原因是这两个载荷都使梁产生了同一种弯曲变形，彼此都在对方引起的位移上做了功（结果中的第二项即代表F和Me共同作用时在相互影响下所做的功）。F

Mel15.2杆件弹性变形能从结果中可以看到：第一、三项分别为F和Me单独作用时1915.3莫尔定理求任意点A的位移。一、定理的证明aA图q(x)图b

A=1图c

A=1q(x)15.3莫尔定理求任意点A的位移。一、定理的证明aA图2015.3莫尔定理

莫尔定理(单位力法)--梁上任一点A在外力作用下的挠度。M(x)--外载状态下的弯矩方程。

--单位力状态下的弯矩方程。二、定理的讨论1.上式可以推广到其它变形。拉压变形，桁架，15.3莫尔定理莫尔定理(单位力法)--梁上2115.3莫尔定理组合变形扭转变形

，2.Δ为广义位移，所对应的力为广义力。3.计算结果为正，表示所求位移的方向与单位力的方向一致，反之则相反。三、使用莫尔定理的注意事项1.

所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。15.3莫尔定理组合变形扭转变形，2.Δ为广义位2215.3莫尔定理3.莫尔积分必须遍及整个结构。2.

与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立。例15.4

用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。BAaaCqxBAaaCx解：①建立图示单位力状态②求内力15.3莫尔定理3.莫尔积分必须遍及整个结构。2.2315.3莫尔定理BAaaCqxBAaaCx③计算变形15.3莫尔定理BAaaCqxBAaaCx③计算变形2415.3莫尔定理④求转角，建立图示单位力状态BAaaCqBAaaCx2x115.3莫尔定理④求转角，建立图示单位力状态BAaa2515.3莫尔定理例15.4拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B点的垂直位移。510

20300F=60NBx500Cx1A解：①建立图示单位力状态15.3莫尔定理例15.4拐杆如图，A处为一轴承，2615.3莫尔定理510

20300F=60NBx500x1AC510

20300Bx500CA②计算内力③计算变形15.3莫尔定理51020300F=60NBx500x2715.3莫尔定理15.3莫尔定理28再见再见29第十五章能量法15.1引言15.3莫尔定理15.2杆件弹性变形能第十五章能量法15.1引言15.3莫尔定理1530一、概念3.功能关系：忽略缓慢加载过程中动能和其它形式的能量损失，杆件能量守恒，即杆内所储存的应变能Vε在数量上与外力所作的功W相等。

Vε＝W2.应变能:弹性体在外力作用下产生变形而储存的能量，称为应变能或变形能，用Vε表式。1.能量法:利用功、能关系求解变形固体位移、变形和内力等的方法。15.1引言一、概念3.功能关系：忽略缓慢加载过程中动能和其它形式的能31

作用在弹性杆件上的力，其加力点的位移，随着杆件受力和变形的增加而增加，在这种情形下，力所作的功为变力功。

对于材料满足胡克定律、又在小变形条件下工作的弹性杆件，作用在杆件上的力与位移成线性关系。

这时，力所作的变力功为

FΔOΔF0一、线弹性体上的外力作功F15.2杆件弹性变形能作用在弹性杆件上的力，其加力点的位移，随着杆32

需要指出的是，上述功的表达式中，力和位移都是广义的。F可以是一个力，也可以是一个力偶；F可以是一对力，也可以是一对力偶；当F是一个力时，对应的位移Δ是线位移，当F是一个力偶时，对应的位移Δ是角位移；当F是一对力时，对应的位移Δ是相对线位移，当F是一对力偶时，对应的位移Δ是相对角位移。

15.2杆件弹性变形能需要指出的是，上述功的表达式中，力和位移都是33二、杆件产生基本变形时的应变能1、轴向拉伸或压缩FllOllFF一般形式15.2杆件弹性变形能二、杆件产生基本变形时的应变能1、轴向拉伸或压缩FllO34（1）轴力分段为常量时

：单位体积内的应变能，又称作比能。15.2杆件弹性变形能讨论：（2）应变能密度vε

（1）轴力分段为常量时：单位体积内的应变能，又称作比能。1352、圆截面杆的扭转MelMeOMMe应变能一般形式15.2杆件弹性变形能2、圆截面杆的扭转MelMeOMMe应变能一般形式15363、平面弯曲15.2杆件弹性变形能3、平面弯曲15.2杆件弹性变形能37应变能：一般形式15.2杆件弹性变形能应变能：一般形式15.2杆件弹性变形能3815.2杆件弹性变形能4.应变能的普遍表达式：

应变能与加载次序无关；相互独立的力（矢）引起的应变能可以相互叠加。细长杆，剪力引起的应变能可忽略不计。15.2杆件弹性变形能4.应变能的普遍表达式：39三、关于应变能计算的讨论1.以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的应变形能的计算。2.应变能可以通过外力功计算，也可以通过杆件微段上的内力功等于微段的应变能，然后积分求得整个杆件上的应变能。3.应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在应变能计算中一般不能使用。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功时，应变能才可叠加。例如：15.2杆件弹性变形能三、关于应变能计算的讨论1.以上计算公式仅适用于线弹性材404.应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。M(x)

—只产生弯曲转角FN

(x)

—只产生轴向线位移T(x)—只产生扭转角不计FS

产生的应变能15.2杆件弹性变形能4.应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中4115.2杆件弹性变形能例15.1用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。解：外力功等于应变能在应用对称性，得：思考：可否用此法求C截面的转角？CaaAFBw15.2杆件弹性变形能例15.1用能量法求C点的挠度42例15.2试计算图示吊车架的应变能，并应用它求节点A的竖直位移。已知E=200GPa,F

=57.6kN。斜杆AB由两根50505mm等边角钢组成，每根角钢的横截面面积，横杆AC由两根No.10槽钢组成，每根槽钢的横截面面积。设各杆自重可以不计。F30°ACB2m15.2杆件弹性变形能例15.2试计算图示吊车架的应变能，并应用它求节点AF3043解:FA由节点A的平衡条件求得AB杆的内力：AC杆的内力为：杆系的应变能：设节点A的竖直位移为，则由得：15.2杆件弹性变形能AB杆的内力为：解:FA由节点A的平衡条件求得AB杆的内力：AC杆的内力为：44例15.3图示等截面悬臂梁，E,A,I

已知。在自由端受集中力F和集中力偶Me

作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。考虑两种不同的加载次序，略去剪力的影响。解：(1)集中力F和集中力偶Me同时由零开始按比例逐渐增加至最终值。梁自由端的转角为：(方向与Me一致)F

Mel自由端的垂直位移为：梁的应变能15.2杆件弹性变形能例15.3图示等截面悬臂梁，E,A,I已知。在自由端受45(2)先作用F,加载时做功为：再加力偶矩Me，外力所作的功为：梁的总应变能：从这两种不同的加载次序来看，梁的应变能仅与载荷的始态和终态有关，而与加载次序无关。F

Mel15.2杆件弹性变形能(2)先作用F,加载时做功为：再加力偶矩Me，外力所作46(3)AB

梁的应变能也可通过截面上的内力来计算。代入应变能的内力表达式：弯矩方程：F

Mel15.2杆件弹性变形能(3)AB梁的应变能也可通过截面上的内力来计算。代入47从结果中可以看到：第一、三项分别为F和Me单独作用时的应变能，故F、Me同时作用在杆内所引起的应变能不等于各载荷单独作用时所引起的应变能之和。其原因是这两个载荷都使梁产生了同一种弯曲变形，彼此都在对方引起的位移上做了功（结果中的第二项即代表F和Me共同作用时在相互影响下所做的功）。F

Mel15.2杆件弹性变形能从结果中可以看到：第一、三项分别为F和Me单独作用时4815.3莫尔定理求任意点A的位移。一、定理的证明aA图q(x)图b

A=1图c

A=1q(x)15.3莫尔定理求任意点A的位移。一、定理的证明aA图4915.3莫尔定理

莫尔定理(单位力法)--梁上任一点A在外力作用下的挠度。M(x)--外载状态下的弯矩方程。

--单位力状态下的弯矩方程。二、定理的讨论1.上式可以推广到其它变形。拉压变形，桁架，15.3莫尔定理莫尔定理(单位力法)--梁上5015.3莫尔定理组合变形扭转变形

，2.Δ为广义位移，所对应的力为广义力。3.计算结果