2023学年度教案-对数与对数函数

一、填空题1．×log2eq\f(1,8)＋2lg(eq\r(3＋\r(5))＋eq\r(3－\r(5)))的结果为________．解析：原式＝9－3×(－3)＋lg(eq\r(3＋\r(5))＋eq\r(3－\r(5)))2＝18＋lg10＝19.答案：192．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝log3(1＋x)，则f(－2)＝________.解析：由题意得，f(－2)＝－f(2)＝－log3(1＋2)＝－1.答案：－13．设a＝log32，b＝ln2，则a，b，c的大小关系为________．解析：a＝log32＝eq\f(ln2,ln3)<ln2＝b，又eq\f(1,2)＝eq\f(1,\r(5))<eq\f(1,2)，a＝log32>log3eq\r(3)＝eq\f(1,2)，因此c<a<b.答案：c<a<b4．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8x－8，x≤1，,0，x>1，))g(x)＝log2x，则f(x)与g(x)两函数图象的交点个数为________．解析：如图，函数g(x)的图象与函数f(x)的图象交于两点，且均在函数y＝8x－8(x≤1)的图象上．答案：25．设m为常数，如果函数y＝lg(mx2－4x＋m－3)的值域为R，则m的取值范围是________．解析：因为函数值域为R，所以mx2－4x＋m－3能取到所有大于0的数，即满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,Δ＝－42－4mm－3≥0))或m＝0.解得0≤m≤4.答案：[0,4]6．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3xx>0,2xx≤0))，则f(f(eq\f(1,9)))＝________.解析：f(eq\f(1,9))＝log3eq\f(1,9)＝－2，f(f(eq\f(1,9)))＝f(－2)＝2－2＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)7．将函数y＝log3x的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的m(m>0)倍，得到图象C，若将y＝log3x的图象向上平移2个单位，也得到图象C，则m＝________.解析：将y＝log3x的图象向上平移2个单位，得到y＝2＋log3x＝log3(9x)的图象，∴m＝eq\f(1,9).答案：eq\f(1,9)8．设f(x)＝lg(eq\f(2,1－x)＋a)是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________．解析：由f(x)是奇函数得f(－x)＋f(x)＝0，即lgeq\f(2＋a＋ax,1＋x)＋lgeq\f(2＋a－ax,1－x)＝0，(2＋a＋ax)(2＋a－ax)＝(1＋x)(1－x)，(2＋a)2－a2x2＝1－x2，因此(2＋a)2＝1且a2＝1，故a＝－1，f(x)＝lgeq\f(1＋x,1－x)，令f(x)＝lgeq\f(1＋x,1－x)<0，则有0<eq\f(1＋x,1－x)<1，即－1<x<0，因此使f(x)<0的x的取值范围是(－1,0)．答案：(－1,0)9．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2x－1，x≤1，,logax，x>1.))若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2>0，,a>1，,loga1≥a－2·1－1，))解得2<a≤3.答案：(2,3]二、解答题10．对于正实数a，函数y＝x＋eq\f(a,x)在(eq\f(3,4)，＋∞)上为增函数，求函数f(x)＝loga(3x2－4x)的单调递减区间．解析：∵y＝x＋eq\f(a,x)在(eq\f(3,4)，＋∞)上为增函数，∴eq\f(3,4)<x1<x2时，y1<y2，即x1＋eq\f(a,x1)－x2－eq\f(a,x2)＝eq\f(x1－x2x1x2－a,x1x2)<0⇒x1x2－a>0⇒a<x1x2，∴a≤eq\f(9,16)恒成立，f(x)＝loga(3x2－4x)的定义域为(－∞，0)∪(eq\f(4,3)，＋∞)，而0<a≤eq\f(9,16)<1.∴f(x)与g(x)＝3x2－4x在(－∞，0)，(eq\f(4,3)，＋∞)上的单调性相反．∴f(x)的单调递减区间为(eq\f(4,3)，＋∞)．11．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋2kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)若方程f(x)＝m有解，求m的取值范围．解析：(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，∴log4(4x＋1)＋2kx＝log4(4－x＋1)－2kx，即log4eq\f(4x＋1,4－x＋1)＝－4kx，∴log44x＝－4kx，∴x＝－4kx，即(1＋4k)x＝0，对一切x∈R恒成立，∴k＝－eq\f(1,4).(2)由m＝f(x)＝log4(4x＋1)－eq\f(1,2)x＝log4eq\f(4x＋1,2x)＝log4(2x＋eq\f(1,2x))，∵2x＋eq\f(1,2x)≥2，∴m≥log42＝eq\f(1,2).故要使方程f(x)＝m有解，m的取值范围为[eq\f(1,2)，＋∞)．12．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.(1)求a的值及f(x)的定义域．(2)求f(x)在区间[0，eq\f(3,2)]上的最大值．解析：∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)，∴a＝2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x>0，,3－x>0，))得x∈(－1,3)，∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．(2)f(x)＝