线性代数课件-第二章 矩阵及其运算

第二章矩阵及其

运算1第二章矩阵及其

运§1矩阵线性方程组与矩阵的对应关系2§1矩阵线性方程组与矩阵的对应关系233简记为其中数称为的第i行第j列的元素,的(i,j)

元素。4简记为其中数称为的第i行第j列的元素,的(i,同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等。矩阵相等：5同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等。矩阵相等：5一些特殊的矩阵零矩阵(ZeroMatrix):注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.6一些特殊的矩阵零矩阵(ZeroMatrix):注意：不同阶行矩阵(RowMatrix):列矩阵(ColumnMatrix):只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量)7行矩阵(RowMatrix):列矩阵(ColumnMa方阵(SquareMatrix):是3阶方阵.行数与列数都等于n的矩阵，称为n阶方阵(或n阶矩阵),记作An8方阵(SquareMatrix):是3阶方阵.行数与列对角阵(DiagonalMatrix):主对角线以外的元素都为零的方阵。9对角阵(DiagonalMatrix):主对角线以外的元素数量矩阵(ScalarMatrix):主对角元素全为非零常数k，其余元素全为零的方阵。10数量矩阵(ScalarMatrix):主对角元素全为非零单位矩阵(IdentityMatrix):主对角元素全为1，其余元素都为零的方阵。记作:11单位矩阵(IdentityMatrix):主对角元素全为1例3：从变量到变量的线性变换.其中为常数.12例3：从变量到变量的线性变换.其中为常数.12线性变换与矩阵之间的对应关系.恒等变换单位阵13线性变换与矩阵之间的对应关系.恒等变换单位阵13§2矩阵的基本运算一、矩阵的加法设有两个矩阵那末矩阵A与B的和记作A+B，规定为定义214§2矩阵的基本运算一、矩阵的加法设有两个注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.15注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，15负矩阵：称为矩阵A的负矩阵。16负矩阵：称为矩阵A的负矩阵。16矩阵加法满足的运算规律:17矩阵加法满足的运算规律:17二、数与矩阵相乘定义318二、数与矩阵相乘定义3181919数乘矩阵满足的运算规律：矩阵相加与数乘矩阵运算合起来,又称为矩阵的线性运算.设

A,B为m×n矩阵，l,m为数20数乘矩阵满足的运算规律：矩阵相加与数乘矩阵运算合起来,又称为定义4并把此乘积记作C=

AB三、矩阵与矩阵相乘设是一个

m×s矩阵，是一个

s×n矩阵，那末规定矩阵

A与矩阵

B的乘积是一个

m×n矩阵，其中ss21定义4并把此乘积记作C=AB三、矩阵与矩阵相乘设2222例：23例：23242425251.矩阵乘法不满足交换律注意：设A左乘BB右乘A261.矩阵乘法不满足交换律注意：设A左乘BB右乘A2.矩阵乘法不满足消去律设但注意：272.矩阵乘法不满足消去律设但注意：272828矩阵乘法满足的运算规律：29矩阵乘法满足的运算规律：29若A是n阶方阵，则为A的次幂，即方阵的幂：并且30若A是n阶方阵，则为A的次幂，方阵的多项式：31方阵的多项式：31例.

设求32例.设求323333四.矩阵的转置定义:把矩阵

A

的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做

A的转置矩阵，记作.例:34四.矩阵的转置定义:把矩阵A的行换成同序数的列得到的转置矩阵满足的运算规律：35转置矩阵满足的运算规律：35例5：已知36例5：已知36解1：37解1：37解2：38解2：38对称阵的元素以主对角线为对称轴。对称阵:设A为n阶方阵，如果满足，即那末A称为对称阵.39对称阵的元素以主对角线为对称轴。对称阵:设A为n阶方反对称阵:设A为n阶方阵，若满足，即则称A为反对称阵.显然,反对称阵的主对角元都是零。40反对称阵:设A为n阶方阵，若满足例注：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵41例注：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵41五、方阵的行列式定义：由

n阶方阵

A的元素所构成的行列式，叫做方阵

A的行列式，记作|A|或

detA42五、方阵的行列式定义：由n阶方阵A的元素所构成的行列运算规律：注：虽然

但43运算规律：注：虽然但43定义：行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵称为矩阵

A的伴随矩阵.44定义：行列式的各个元素的代数余子式所称为矩阵A4545性质：46性质：46§3逆矩阵定义：设

A是

n阶矩阵，若存在n阶矩阵B使AB=BA=E则称

A是可逆的，并称B是A的逆矩阵，47§3逆矩阵定义：设A是n阶矩阵，若存在n阶矩若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。记A的逆矩阵为48若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。记A的逆矩阵为4定理1:证明：n阶方阵A可逆充要条件是|A|≠

0,且当

A可逆时,

A可逆,存在B,使得

AB=

E

于是|A||B|

=

|E|=1,即|A|≠049定理1:证明：n阶方阵A可逆充要条件是|A|≠0,若|A|＝0,则称A为奇异矩阵(退化矩阵)

若|A|≠0,则称A为非奇异矩阵(非退化矩阵)

|A|≠0,50若|A|＝0,则称A为奇异矩阵(退化矩阵)若|A|推论：证明：5111/17/2022推论：证明：5111/11/2022方阵A的逆矩阵的求法:52方阵A的逆矩阵的求法:52例如,53例如,53例54例54例55例555656可逆矩阵的运算规律:57可逆矩阵的运算规律:57注：58注：585959例：60例：60解61解616262于是63于是63例：解方程64例：解方程64解：方程两端左乘矩阵65解：方程两端左乘矩阵65方程两端右乘矩阵66方程两端右乘矩阵66例：设解方程解：67例：设解方程解：676868例：所以A可逆，且证：69例：所以A可逆，且证：69所以可逆，70所以可逆，70例：设Ax=b,A是n阶可逆阵,71例：设Ax=b,A是n阶可逆阵,71§4矩阵的分块法矩阵的分块法是讨论矩阵时一种有效的手段。具体做法是：将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的一个子块，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.72§4矩阵的分块法矩阵的分块法是讨论矩阵时一种有效例：73例：737474分块矩阵的运算规则75分块矩阵的运算规则75767677777878797980808181(一)分块对角矩阵的行列式具有下述性质:82(一)分块对角矩阵的行列式具有下述性质:82(三)83(三)83例：设84例：设84解:85解:85则86则86又87又87于是88于是88例：设解：89例：设解：899090(1)加法:(2)数乘:(3)乘法:分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似。91(1)加法:(2)数乘:(3)乘法:分块矩92929393第二章矩阵及其

运算94第二章矩阵及其

运§1矩阵线性方程组与矩阵的对应关系95§1矩阵线性方程组与矩阵的对应关系2963简记为其中数称为的第i行第j列的元素,的(i,j)

元素。97简记为其中数称为的第i行第j列的元素,的(i,同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等。矩阵相等：98同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等。矩阵相等：5一些特殊的矩阵零矩阵(ZeroMatrix):注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.99一些特殊的矩阵零矩阵(ZeroMatrix):注意：不同阶行矩阵(RowMatrix):列矩阵(ColumnMatrix):只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量)100行矩阵(RowMatrix):列矩阵(ColumnMa方阵(SquareMatrix):是3阶方阵.行数与列数都等于n的矩阵，称为n阶方阵(或n阶矩阵),记作An101方阵(SquareMatrix):是3阶方阵.行数与列对角阵(DiagonalMatrix):主对角线以外的元素都为零的方阵。102对角阵(DiagonalMatrix):主对角线以外的元素数量矩阵(ScalarMatrix):主对角元素全为非零常数k，其余元素全为零的方阵。103数量矩阵(ScalarMatrix):主对角元素全为非零单位矩阵(IdentityMatrix):主对角元素全为1，其余元素都为零的方阵。记作:104单位矩阵(IdentityMatrix):主对角元素全为1例3：从变量到变量的线性变换.其中为常数.105例3：从变量到变量的线性变换.其中为常数.12线性变换与矩阵之间的对应关系.恒等变换单位阵106线性变换与矩阵之间的对应关系.恒等变换单位阵13§2矩阵的基本运算一、矩阵的加法设有两个矩阵那末矩阵A与B的和记作A+B，规定为定义2107§2矩阵的基本运算一、矩阵的加法设有两个注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.108注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，15负矩阵：称为矩阵A的负矩阵。109负矩阵：称为矩阵A的负矩阵。16矩阵加法满足的运算规律:110矩阵加法满足的运算规律:17二、数与矩阵相乘定义3111二、数与矩阵相乘定义31811219数乘矩阵满足的运算规律：矩阵相加与数乘矩阵运算合起来,又称为矩阵的线性运算.设

A,B为m×n矩阵，l,m为数113数乘矩阵满足的运算规律：矩阵相加与数乘矩阵运算合起来,又称为定义4并把此乘积记作C=

AB三、矩阵与矩阵相乘设是一个

m×s矩阵，是一个

s×n矩阵，那末规定矩阵

A与矩阵

B的乘积是一个

m×n矩阵，其中ss114定义4并把此乘积记作C=AB三、矩阵与矩阵相乘设11522例：116例：2311724118251.矩阵乘法不满足交换律注意：设A左乘BB右乘A1191.矩阵乘法不满足交换律注意：设A左乘BB右乘A2.矩阵乘法不满足消去律设但注意：1202.矩阵乘法不满足消去律设但注意：2712128矩阵乘法满足的运算规律：122矩阵乘法满足的运算规律：29若A是n阶方阵，则为A的次幂，即方阵的幂：并且123若A是n阶方阵，则为A的次幂，方阵的多项式：124方阵的多项式：31例.

设求125例.设求3212633四.矩阵的转置定义:把矩阵

A

的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做

A的转置矩阵，记作.例:127四.矩阵的转置定义:把矩阵A的行换成同序数的列得到的转置矩阵满足的运算规律：128转置矩阵满足的运算规律：35例5：已知129例5：已知36解1：130解1：37解2：131解2：38对称阵的元素以主对角线为对称轴。对称阵:设A为n阶方阵，如果满足，即那末A称为对称阵.132对称阵的元素以主对角线为对称轴。对称阵:设A为n阶方反对称阵:设A为n阶方阵，若满足，即则称A为反对称阵.显然,反对称阵的主对角元都是零。133反对称阵:设A为n阶方阵，若满足例注：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵134例注：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵41五、方阵的行列式定义：由

n阶方阵

A的元素所构成的行列式，叫做方阵

A的行列式，记作|A|或

detA135五、方阵的行列式定义：由n阶方阵A的元素所构成的行列运算规律：注：虽然

但136运算规律：注：虽然但43定义：行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵称为矩阵

A的伴随矩阵.137定义：行列式的各个元素的代数余子式所称为矩阵A13845性质：139性质：46§3逆矩阵定义：设

A是

n阶矩阵，若存在n阶矩阵B使AB=BA=E则称

A是可逆的，并称B是A的逆矩阵，140§3逆矩阵定义：设A是n阶矩阵，若存在n阶矩若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。记A的逆矩阵为141若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。记A的逆矩阵为4定理1:证明：n阶方阵A可逆充要条件是|A|≠

0,且当

A可逆时,

A可逆,存在B,使得

AB=

E

于是|A||B|

=

|E|=1,即|A|≠0142定理1:证明：n阶方阵A可逆充要条件是|A|≠0,若|A|＝0,则称A为奇异矩阵(退化矩阵)

若|A|≠0,则称A为非奇异矩阵(非退化矩阵)

|A|≠0,143若|A|＝0,则称A为奇异矩阵(退化矩阵)若|A|推论：证明：14411/17/2022推论：证明：5111/11/2022方阵A的逆矩阵的求法:145方阵A的逆矩阵的求法:52例如,146例如,53例147例54例148例5514956可逆矩阵的运算规律:150可逆矩阵的运算规律:57注：151