2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)选修4-5-不等式选讲

====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====选修4－5 不等式选讲1．两个实数大小关系的基本事实a>b⇔ ；a＝b⇔ ；a<b⇔ 2．不等式的基本性质(1)对称性：如果a>b，那；如，那么a>b.即a>b⇔ (2)传递性：如果a>b，b>c，那．可加性：如果a>b，那．可乘性：如果a>b，c>0，那；如果a>b，c<0，那(5)乘方：如果a>b>0，那么an bn(n∈N，n>1)．n n(6)开方：如果a>b>0，那么a b(n∈N，n>1)．3．绝对值三角不等式(1)性质1：|a＋b|≤ .(2)性质2：|a|－|b|≤ 性质≤|a－b|≤ 4．绝对值不等式的解法|x|<a与|x|>a的解集不等式|x|<a|x|>a

a>0 a＝0 a<0|ax＋b|≤c(c>0)和(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔ ；②|ax＋b|≥c⇔ .|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．源-于-网-络-收-集====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====基本不等式a，b∈Ra2＋b2≥2aba＝b时，等号成立．定理(

a＋b

ab，当且仅当

时，等号成立．也可以，那么2表述为：两的算术平它们的几何平均．x，y，①如果它们的和S是定值，则当且仅时，它们的积P取得值；②如果它们的积P是定值，则当且仅时，它们的和S取得值．—几何平均不等式(1)

a＋b＋c 3定理如果a，b，c均为正数，那么 3

abc，当且仅时，等号成立．即三个正数的算术平它们的几何平均．(2)基本不等式的推广

a＋a

＋…＋a对于n个正数a1

，a2

，…，ana

，它们的算术平均 它们的几何平均，即1 2n nnna1a2…a，n当且仅当柯西不等式

时，等号成立．a，b，c，d(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2ad＝bc时等号成立．

b＋ab1 2

n 1 2 3 n

1 2 n 1 2

n 11 22＋…＋abba＝kbnn i i i柯西不等式的向量形式：设|α·β|≤|α||β|β是零向量，或存在实数k，α＝kβ时，等号成立．(1)比较法①求差比较法a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0a>b法．②求商比较法

即可，这种方法称为求差比较由a>b>0 a

a>0，b>0a>b，只要证明

即可，这种方法称为⇔>1b求商比较法．分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的 ，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等源-于-网-络-收-集====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．综合法“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等的假设；成立．放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地 ，以利于化简，并使它与不等式的一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立．数学归纳法n 1 0 k1 设{P}是一个与自然数相关的命题集合，如果证明起始命题P(或P成立在假设P成立的提下，推出P 也成立，那么可以断n 1 0 k1 1．不等|2x－1|－|x－2|<0的解集．2．不等式1<|x＋1|<3的解集．3 13．(2013·|x－2|<a(a∈NA2∈A，2

A.则a的值．4、bma<

a a＋m ．b，M＝N＝ MN的大小关系是b b＋m5．设a＝3－2，b＝6－5，c＝7－6，则a，b，c的大小关系.题型一含绝对值的不等式的解法例1 (2012·课标全)已知函数(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2若≤－4的解集包含[1,]求a的取值范围．思维升华解绝对值不等式的基本方法：利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；源-于-网-络-收-集====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．已知函数f(x)＝|x－a|.f(x)≤3{x|－1≤x≤5}a的值；在(1)f(x)＋f(x＋5)≥mxm的取值范围．题型二柯西不等式的应用例2 已知3x2＋2y2≤6，求证11.思维升华使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，二维形式的柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值．题型三不等式的证明方法例3 已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，源-于-网-络-收-集求证：

1 1 1

====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====(1)(a－1)·(b－1)·(c－1)≥8；(2) a＋b＋c≤3.思维升华用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．a，b，c>0ab＋bc＋ca＝1.求证：(1)a＋b＋c≥3；(2)

abc＋

bac＋

cab≥3( a＋b＋c)．绝对值不等式的解法典例：(10分)解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.思维启迪|x－a|＋|x－b|≥c(分类)讨论法和图象法．规范解答1 解方法一A，BA，B2，因此[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在AA，到对应数x1 源-于-网-络-收-集====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====[4分]2∴－1－x＋1－x＝3，得x＝－3.21 同理设B点右侧有一点B到A，B两点距离之和为3，B对应数轴上的x，∴x－1＋x－(－1)＝3.∴x1 32.1 1 1 从数轴上可看到，点A，B之间的点到A，B的距离之和都大于3；点A的左边或点B的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3.[8分1 1 1 所以原不等式的解集是－∞，－3∪3，＋∞.[10分] 2 2 方法二当x≤－1时，原不等式可化为.[3－(x＋1)－(x－1)≥3，解得：.[32当－1<x<1时，原不等式可以化为x＋1－(x－1)≥3，即2≥3.不成立，无解．[6分]当x≥1时，原不等式可以化为3x＋1＋x－1≥x≥2.[9分]3综上，可知原不等式的解集 3或x|x≤－2 2.[10] 方法三将原不等式转化为|x＋1|＋|x－1|－3≥0.构造函数y＝|x＋1|＋|x－1|－3，－23，≤1；即y＝－1，－1<x<1；

[3分]2x－3，x≥1.作出函数的图象，如图所示：源-于-网-络-收-集====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====..2 2从图象可知，当x≤－3或x≥3时，y≥0，[8分]2 2即|x＋1|＋|x－1|－3≥0.所以原不等式的解集为－∞，－3∪3，＋∞.[10分] 2 2 温馨提醒这三种方法是解|x＋a|＋|x＋b|≥c型不等式常用的方法，方法一中关键是找到特殊点，方法二中的分类讨论要遵循“不重不漏”的原则，方法三则要准确画出函数图象，并准确找出零点.方法与技巧1．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x－a|＋|x－b|＞m或|x－a|＋|x－b|＜m(m为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．2．不等式的证明方法灵活，要注意体会，要根据具体情况选择证明方法．3．柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法，教材中的参数配方法(或判别式法)等，参数配方法解方程等．应用时，通过拆常数，重新排序、添项，改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式．失误与防范理解绝对值不等式的几何意义．掌握分类讨论的标准，做到不重不漏．””，使其符合几个著名不等式的特征．.A组专项基础训练源-于-网-络-收-集====Word行业资料分享====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====源源-于-网-络-收-集1．已知集合＝∈R|x＋3＋－49，B＝R＝4 1 ∈(，＋)，求集合AB.t＋t－2．(2013·江苏)已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.＋2， 3， π π 3．若ac均为实数，且a－y ＝－2＋ ＝22x 求证bc＋2， 3，

1 a2 b2 c2 1.b＋c＋a≥|2x－1|<1(1)M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．6．(2013·辽宁f(x)＝|x－a|a＞1.(1)a＝2f(x)≥4－|x－4|(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．B组专项能力提升nn＋1 n＋12nS1．n∈N*，S＝nS

1×2＋2×3＋…＋nn＋1，求证： 2

< < .2n2(1)a＝－2f(x)<g(x)的解集； a 1(2)设a>－1，且当x∈－2，2时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．3．(2012·福建)已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m的值；a 2a 2b

1 1 1若ab，R，且＋＋m2b3≥9.4 1 1 1．设a，b，c为正实数，求证：＋＋＋abc≥2 3.a3 b3 c3====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====答案要点梳理1．a－b>0 a－b＝0 a－b<02．(1)b<a b<a b<a (2)a>c (3)a＋c>b＋c (4)ac>bc ac<bc (5)> 3．(1)|a|＋|b| (2)|a＋b| |a|－|b| |a|＋|b|4．(1){x|－a<x<a} {x|x>a或x<－a}{x|x∈R且x≠0} R5．(2)≥a＝b 正数不小(即大于或等)(3)①x＝y 大②x＝y 小6．(1)≥a＝b＝c 不小于1 2 (2)不小于≥a＝a＝…＝1 2 8．(1)①a－b>0 a

充分条件②>1 (2)b(4)相反(5)放大或缩小夯基释疑1．{x|－1<x<1} 2.(－4，－2)∪(0,2)3．1 4.M<N 5.a>b>c题型分类·深度剖析－25，≤，例1 解(1)当a＝－3时，f(x)＝1，2<x<3，2x－5，x≥3.x≤2f(x)≥3得－2x＋5≥3x≤1；2<x<3时，f(x)≥3无解；x≥3f(x)≥32x－5≥3x≥4.所以f(x)≥3{x|x≤1或x≥4}．(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．源-于-网-络-收-集====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====跟踪训练1 解方法一(1)由f(x)≤3得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集{x|－1≤x≤5}，－3＝，所 解得a＝2.＋35，(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，－，<3，于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝5，－3≤x≤2，2x＋1，x>2.x<－3时，g(x)>5；当－3≤x≤2x>2时，g(x)>5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．方法二(1)同方法一．(2)a＝2g(x)＝f(x)＋f(x＋5)．由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(g(x)5.f(x)＋f(x＋5)≥mxm(－∞，5]．例2 证明由于2x＋y＝

( 3x)＋

( 2y)，由柯西不等式(a

3 2b＋ab)2≤(a2＋a2)(b2＋b2)得11 22 1 2 1 2(2x＋y)2≤[(

)2＋(

)2](3x2＋2y2)23 22≤4＋1 11(3 2)×6＝6∴|2x＋y|≤11，∴2x＋y≤11.25跟踪训练2 解由柯西不等(32＋42)·(x2＋y2)≥(3x＋4y)2，①得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥4.25源-于-网-络-收-集====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====不等式①中当且仅当x＝y时等号成立，x2＋y2取得最小值，3 43＋4＝，

x＝6，由方程组x＝y，

解 25 83 4

y＝25.2 2 因此当x＝6，y＝8时，x＋y取得最小值，最小值为425 25 2 2 例3 证明(1)∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴a＋b≥2 ab，b＋c≥2 bc，c＋a≥2 ca，(1－1)·(1－1)·(1－1)(a b cb＋ca＋ca＋b＝abc2 bc·2 ac·2 ab＝8.≥ abc(2)∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴a＋b≥2 ab，b＋c≥2 bc，c＋a≥2 ca，2(a＋b＋c)≥2 ab＋2 bc＋2 a＋b＋c得3(a＋b＋c)≥a＋b＋c＋2 ab＋2 bc＋2 ca＝( a＋b＋ c)2.又a＋b＋c＝1，∴( a＋ b＋c)2≤3，∴a＋b＋c≤3.跟踪训练3 证明(1)要证a＋b＋c≥3，证即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.源-于-网-络-收-集====Word行业资料分享====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====源源-于-网-络-收-集a2＋b2 b2＋c2 c2＋a2∴原不等式成立．

＋ ＋2 2 2

＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得．(2) a＋

＋ c＝a＋b＋cbacbc ab abc .bac在(1)中已证a＋b＋c≥3.因此要证原不等式成立，只需证明即证a bc＋b ac＋c ab≤1，

1 ≥a b abc＋ 即证a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋ca.＋ 而a

ab＋acab·acab·ac≤2ab＋bc bc＋ac.b ac≤2.

，c ab≤2∴a bc＋b ac＋c ∴原不等式成立．练出高分A组1．解|x＋3|＋|x－4|≤9，当x<－3时，－x－3－(x－4)≤9，即－4≤x<－3；当－3≤x≤4时，x＋3－(x－4)＝7≤9恒成立；当x>4时，x＋3＋x－4≤9，即4<x≤5.t4综上所述，A＝{x|－4≤x≤5}．又t4

3时等号成立)．3∴x≥2

t1－6＝－2，当时取等号t 2∴B＝{x|x≥－2}，∴∩－2≤≤5．2．证明2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.3．证明假设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，所以a＋b＋c≤0.而a＋b＋c＝x2－2y＋π＋ 2y2－2z＋π＋z2－2x＋π 3 6＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.所以a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.4．证明(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，.即ab＋bc＋ca≤1.3因为(2) b c a因为故a2＋b2＋c2＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，b c ab c a≥1.≥1.b c a5．解(1)由|2x－1|<1得－1<2x－1<10<x<1.所以M＝{x|0<x<1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0<a<1,0<b<1.所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0.故ab＋1>a＋b.6．解(1)当a＝2时，－26，≤，f(x)＋|x－4|＝2，2＜x＜4，2x－6，x≥4.当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；当2＜x＜4时，f(x)≥4－|x－4|无解；x≥42x－6≥4x≥5；的解集为{x|x≤1x≥5}．(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，－2a≤，则h(x)＝4x－2a，0＜x＜a，2a，x≥a.由|h(x)|≤2，解a－1 a＋12 ≤x≤2 .又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，a＝1，2

于是a＝3.a＋1＝2，2B组1．证明∵n(n＋1)>n2，nn＋1n∴S>1＋2＋…＋n＝ 2 .nnn＋1又∵ n＋n＋1＝2n＋1nn＋1< 2 2 21 1 ∴Sn<(1＋2)＋(2＋2)＋…＋(n＋2)1 1 ====Word行业资料分享--可编辑版本-