等价无穷小替换,极限的计算

..无穷小极限的简单计算[教学目的]1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。[教学内容]1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；4、求极限的方法。[重点难点]重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。[教学设计]首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质〔30分钟,在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法〔20分钟。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧〔25分钟,课堂练习〔15分钟。[授课内容]一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了数列的极限、〔、函数的极限、〔、函数的极限这七种趋近方式。下面我们用＊表示上述七种的某一种趋近方式,即＊定义：当在给定的＊下,以零为极限,则称是＊下的无穷小,即。例如,[注意]不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数,任何非零常量都不是无穷小。定义：当在给定的＊下,无限增大,则称是＊下的无穷大,即。显然,时,都是无穷大量,[注意]不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的,在不同的极限形式下,同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大,如,,所以当时为无穷小,当时为无穷大。2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中,如果为无穷大,则为无穷小；反之,如果为无穷小,且,则为无穷大。小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势,因此任何常量都不是无穷大量,任何非零常量都不是无穷小,谈及无穷大量、无穷小量之时,首先应给出自变量的变化趋势。3.无穷小与函数极限的关系:定理1其中是自变量在同一变化过程〔或中的无穷小.证：〔必要性设令则有〔充分性设其中是当时的无穷小,则[意义]〔1将一般极限问题转化为特殊极限问题<无穷小>;〔23.无穷小的运算性质定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.[注意]无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：,,推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如,观察各极限：不可比.极限不同,反映了趋向于零的"快慢"程度不同.1．定义:设是自变量在同一变化过程中的两个无穷小,且例1证：例2解2．常用等价无穷小:〔1～；〔2～；〔3～；〔4～；〔5～；〔6～〔7～〔8～〔9～用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如3．等价无穷小替换定理：证：例3〔1；〔2解:〔1故原极限=8〔2原极限==例4错解:=0正解:故原极限[注意]和、差形式一般不能进行等价无穷小替换,只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。例5解:原式三、极限的简单计算1.代入法：直接将的代入所求极限的函数中去,若存在,即为其极限,例如；若不存在,我们也能知道属于哪种未定式,便于我们选择不同的方法。例如,就代不进去了,但我们看出了这是一个型未定式,我们可以用以下的方法来求解。2.分解因式,消去零因子法例如,。3.分子〔分母有理化法例如,又如,4.化无穷大为无穷小法例如,,实际上就是分子分母同时除以这个无穷大量。由此不难得出又如,,〔分子分母同除。再如,,〔分子分母同除。5.利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限例如,,〔无穷小量乘以有界量。又如,解：商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得再如,等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。6.利用两个重要极限求极限〔例题参见§1.4例3—例57.分段函数、复合函数求极限例如,解:左右极限存在且相等,[启发与讨论]思考题1：解：无界,不是无穷大．结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.思考题2：若,且,问：能否保证有的结论？试举例说明.解：不能保证.例思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？解：不能．例如当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大,故当时和不能比较.[课堂练习]求下列函数的极限〔1；解：原极限=〔2求[分析]""型,拆项。解：原极限===〔3；[分析]"抓大头法",用于型解：原极限==,或原极限〔4；[分析]分子有理化解：原极限===〔5[分析]型,是不定型,四则运算法则无法应用,需先通分,后计算。解：===〔6[分析]""型,是不定型,四则运算法则失效,使用分母有理化消零因子。解：原极限==6〔7解:先变形再求极限.[内容小结]一、无穷小〔大的概念无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:<1>无穷小〔大是变量,不能与很小〔大的数混淆,零是唯一的无穷小的数；〔2无穷多个无穷小的代数和〔乘积未必是无穷小.〔3无界变量未必是无穷大.二、无穷小的比较:1.反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较。高<低>阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶。2.等价无穷小的替换: