工数-第三章复变函数积分

第三章 复变函数的积分第1节

积分的概念01有向曲线在复变函数积分时，将要用到有向曲线的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向是这样规定的：(1)

如果曲线L是开口弧段，若规定它的端点P为起点，Q为终点，则沿曲线L

从P到Q

的方向为曲线L的正方向（简称正向），把正向曲线记为L或L+.

而由Q到P的方向称为L的负方向（简称负向），负向曲线记为L

.02(2)如果向为正方向，顺时针方向为负方向．L是简单闭曲线，通常总规定逆时针方L是复平面上某一个复连通域的边界曲(3)如果线，则L的正方向这样规定：当人沿曲线

行L走时，区域总保持在人的左侧，因此外部边界部分取逆时针方向，而边界曲线取顺时针为正方向．03复变函数的积分设在复平面C上有一条连接z0及z两点的简单曲线C。设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上的连续函数。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部.把曲线C用分点z0,z1

,zn-1,…,zn=z分成n个更小的弧，在这里分点zk

(k

0,1,2,...,n)是在曲线C上按从z0到z的次序排列的。到zk

1

的弧上任意一点，那么考zk如果

k

是虑和式lim

n1f

(

k

)zkk

0

0都存在且唯一，则称此极限为函数f

(z

)沿曲线弧C的积分.Cf

(z)d

z记作04z1z0kzkzk

1zn

Zzn1C05

iyk

,将各函数代数化设

zk

xk

iyk,zk

zk

zk

1

xk

iyk

(

xk

1

iyk

1

)n06

(

xk

xk

1

)

i(

yk

yk

1

)

xk

k

k

ik

,f

(

k

)

u(k

,k

)

iv(k

,k

)Sn

f

(

k

)

zkk

1n

[u(k

,k

)

i

v(k

,k

)](xkk

1

iyk

)nk

1

Sn

[u(k

,k

)xk

v(k

,k

)yk

]n

i[v(k

,k

)xk

u(k

,k

)yk

]k

1(2)求极限f

(z)

u(x,y)

i

v(x,y)在C上连续,

u(x,y)和v(x,y)在C上连续,当n

无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,不论对C

的分法任何,点(k

,k

)的取法如何,下式两端极限存在,07nnnk

1k

1

i[v(k

,k

)xk

u(k

,k

)yk

]

f

(

k

)zk

[u(k

,k

)xk

v(k

,k

)yk

]k

108Cf

(z)dzCCvdx

udyudx

vdy

i在形式上可以看成是f

(z)

u

iv

与dz

dx

idy

相乘后求积分得到:Cf

(z)dz(u

iv

)(dx

idy)Cudx

ivdx

iudy

vdyC

C

udx

vdy

i

C

vdx

udy.

C

f

(z)dz

C

C

vdx

udyudx

vdy

i如果C是简单光滑曲线：x

(t),y

(t)(t0

t

T

)，并且

t0及T相应于，z0那及么Z上式右边的积分可以写成积分的形式，因此，有Tt0u(,

)

'(t)dtf

(z)dz

tC0,)]['(t)

i'(t)]dt[u(,)

iv(0T

Tv(,)

'(t)dtt0tTu(,)

'(t)dt0v(,)

'(t)dtTt090可以看到，把dz形式地换成微分，就直接得到上式，因此有TC

tf

(z)dz

f

(z(t))z

'(t)dt

(3.1)

010011复变函数的积分的性质：复变函数积分的基本性质：设f(z)及g(z)在简单曲线C上连续，则有C

f

(z)dz

C

f

(z)dz,其中是一个复常数C

[

f

(z)

g(z)]dz

C

f

(z)dz

C

g(z)dz;C

f

(z)dz

C

f

(z)dz

C

f

(z)dz

...

C

f

(z)dz1

2

n其中曲线C是由光滑的曲线C1,C2

,..连.,Cn接而成；（4）Cf

(z)dz

C

f

(z)dz,积分是在相反的方向上取的。012如果C是一条简单闭曲线，那么可取C上任意一点作为取积分的起点，而且积分当沿C取积分的方向改变时，所得积分相应变号。（5）如果在C上，|f(z)|<M，而L是曲线C的长度，其中M及L都是有限的正数，那么有，|

C

f

(z)dz

|

ML证明：因为k

1

k

1两边取极限即可得结论。n1

n1|

f

(

k

)(zk

1

zk)

|

M

|

zk

1

zk

|

ML例1

计算

C

zdz,

C

:

从原点到点3

4i

的直线段.解C的参数方程为:

z

(3

4i)t,

0

t

1dz

(3

4i)dt,12

zdz

C

0tdt102(3

4i)

tdt

(3

4i)2

2013

(3

4i)2

7=

-

i12.C

zdz

C

xdx

ydy

i

C

ydx

xdy这两个积分都与路线C

无关所以不论C

是怎样从原点连接到点3

4i

的曲线,(3

4i)2C

zdz

27014

-

i12.2又因为C

zdz

C

(x

iy)(dx

idy)例2

计算

C

Re

zdz,

其中C

为:从原点到点1

i

的直线段;抛物线y

x2

上从原点到点1

i

的弧段;从原点沿x

轴到点1

再到1

i

的折线.解(1)

积分路径的参数方程为(0

t

1),dz

(1

i)dt,z(t

)

t

it于是Re

z

t,CRe

zdz

1021t(1

i)dt

(1

i);xyo1

i1i015(2)积分路径的参数方程为z(t

)

t

it

2

(0

t

1),于是

Re

z

t, dz

(1

2ti

)dt,xyo1

i1iy

x2

1C

0Re

zdz

t(1

2it

)dt

1

2

32i

t

2

t

3

01

22

3016

i;xyo1ix21

iy

(3)

积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为z(t

)

t于是

Re

z

t, dz

dt,(0

t

1),1到1+i直线段的参数方程为z(t

)

1

it

(0

t

1),于是

Re

z

1, dz

idt,C01

10

Re

zdz

tdt

1

idt2017

1

i.例3解

积分路径的参数方程为计算

C

z

dz,

其中C

为:

圆周z

2.(0

2π

),z

2eiCz

dz

2π0i2

2ie

ddz

2iei

d(

因为

z

2

)018

4i

0.2π0(cos

i

sin

)d例4

求径的正向圆周,

n

为整数.解

积分路径的参数方程为dz

,

C

为以z

为中心,

r

为半10n1(z

z

)Cz0yxorz0(0

2π

),iz

z0

reC(z

z

)n1dz10rn1ei

(

n1)

d2π0irei0019n

2πein

d

,r

izxyorz0n1(z

z0

)Cdz当n

0

时,1

i2π0d

2i;当n

0

时,C(z

z

)n1100rdz

in

2π(cos

n

i

sin

n

)d

0;z

z

r01(z

z

)n10所以n

0,0,

n

0.dz

2i,重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.020第2节

积分基本定理通过前面的例题 发现，例1中的被积函数，它沿连接起点及终点的任何路径的积分值都相同，换句话说，积分与路径无关．例2中的被积函数积分与路径是有关的．自然要问：函数在什么条件下，积分仅与起点和终点有关，而与积分路径无关呢？可以证明下列定理:021zf

(

)d定理定理3.1设f(z)是单连通区域D的解析函数，设C是D内任一条简单闭曲线，那么C

f

(z)dz

0其中，沿曲线C的积分是按反时针方向取的。C是在D内连接z0及z两点的任一条简单曲线，那么沿C从z0到z的积分值由z0及z所确定，而不依赖于曲线C，这时，积分记为.z022L

f

(z)dz

L

udx

vdy

i

Lvdx

udy23(DD )dxdy

i(

)dxdyx

y

v

u

u

vx

y定理3.2解析函数积分与路径无关如果函数f

(z)在单连通l域D

内处处解析，则积分

f

(z)dz与连接起点及终点的路径无关．LDlPQMN或者：

设C是一条简单闭曲线，函数f图(z3)3在以C为边界的有界闭区域D上解析，那么C

f

(z)dz

02425定理3.3设f(z)是单连通区域D的解析函数，那么在D内有函数,其导数为f(z)。证明：取定z0

D,任取z

D

，由定理3.1，得0zzf

(

)dF

(z)

是在D内确定的一个函数。取

D,

0,

0,00zzF

(z)

F

(

)

f

(

)d

z

f

(

)d当z

DU(,

)时,f

(z)

f

(

)

26D中两个积分看作沿两条简单曲线取的，而其中一条是另一条曲线与连接α及z的线段的并集。于是有这里积分是沿α及z的联线取的，F

(z)

F

(

)

(z

)

f

(

)

z

)]d[

f

(

)

f

(F

(z)

F

(

)

(z

)

f

(

)

)]d[

f

(

)

f

(z

z

F(z)

F

(

)

(z

)

f

(

)

27z

F

(

)于是即证毕。28【另证】令则z0F

(z)

f

(

)dz0

00

0(

x,

y

)(

x,

y

)(

x

,

y

)(

x

,

y)dy

ivdx

udyudx

v(

x,

y)(

x0

,

y0

)P(x,

y)

udx

vdy(

x0

,

y0

)(

x,

y)Q(x,

y)

vdx

udyF

(z)

P(x,

y)

iQ(x,

y)因为P(x,

y)

和Q(x,

y)是与路径无关的，因此故F

(z)

是D内的一个解析函数，且F

(z)

P

i

Q

u

iv

f

(z).x

xP

Q

,29P

Q

.x

y

y

x可见,

F

(z)

P(x,

y)

iQ(x,

y)的实部和虚部可微且满足C-R条件，30设f(z)及F(z)是区域D内确定的函数，F(z)是D内的一个解析函数，并且在D内，原函数，则有有

F

'(z)

f，(z)那么函数F(z)称为f(z)在区域是D内的一个不定积分或原函数；除去可能相差一个常数外，原函数是唯一确定的。即f(z)的任意两个不定积分或原函数的差是一个常数。事实上，设F(z)及G(z)都是f(z)在区域是D内的[F

(z)

G(z)]'

031引理1

设f(z)单连通区域D内处处解析，并且在D内有原函数G(z)。如果

z0

,

z1

D

，并且C是D连接

z0

,

z1

的一条曲线，那么C

f

(z)dz

G(z1

)

G(z0

)320zzG(z)

F

(z)

C

，所以

F(z)f

(

)d

G(z)

C

．因此0当z

z0

时，得G(z0

)

C

0

，推出C

G(z0

).zzf

(

)d

G(z)

G(z0

)令z

z1

，得到0z1f(z)dz

G(z1

)

G(z0

)zz0F

(z)

f

(

)d

是zf(【证明】注意到函数的一个原函数，故典型应用实例【解】

函数z

sin

z2

在

z

平面上解析，

易知

1

cos

z2

为它的一个原函数，根2据复积分的

－

公式有2

212z

sin

z

dz

cos

z2

1

cos

a2

cos

b2bbaa例

4

计算积分2z

sin

z

dzba33例5

计算积分因而积分与路径无关，可用分部积分法得i0z

sin

zdz【解】由于z

sin

zi

i3400i00

z(cos

z)

i

(cos

z)dzz

sin

zdz

zd(

cos

z)

i

co

i(cosi

isin

i)

ie在复平面内处处解析，定理3.5复DC1,C2

,,CnL,C1,C2

,,Cnf

(z)L为闭复D

内的 单闭曲且彼此既不全含于闭区域

D明有成立.这里

为方向（将复连通

f

(z)dz

0k35C

(k

1,

2,...n)kC

按顺时针方向L1C

DC

2kC36knf

(z)dzk

1(2)

L

f

(z)dz

C成立，其中L

以及Ck

都取逆时针方向．不失一般性，取n＝1进行证明.有下述定理：37定理3.6

设

L和C1为复连通区域内的两条简单闭曲线，如图3.5所示，C1

在L

且彼此不相交，以

C1

和L为边界所围成的闭区域

D1

全含于D．则对于区域D内的解析函数

f(

有1LCf

(z)dz

01LCf

(z)dzf

(z)dz

38L391ABC

1DD定理3.6闭路变形原理在区域D

内的一个解析函数沿闭曲线的积分不因闭曲线在D

内作连续变形而改变积分的值,只要在变形的过程中曲线不经过函数f

(z)不解析的z0点.L40L例如本章例3中，当L为以z0为中心的正向圆周，根据闭路变形原理，对成立．0时：L

z

z于包含

z0

的任何一条简单闭曲线

l

,都有L

z

z0l

z

z0