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8.4线性多步法数值分析第八章常微分方程数值解

8.5收敛性与稳定性分析华长生制作1在前面所讨论的方法中,在计算时只用到前一步的信息(单步法)，为提高截断误差的阶，每个时间步必须增加计算右端函数

的次数。当的结构比较复杂时，计算量较大。现在指出另一个提高截断误差阶的办法，即构造这样的方法:在计算公式中,充分利用前几步得到的信息及

，但每进一步，只计算一次的值。这样的方法称为多步方法，若函数值以线性组合的形式出现于公式中，则称方法为线性多步方法。

8.4线性多步法华长生制作2初值问题:-----------(1)称为Euler二步法.华长生制作31.(l步)线性多步法的一般格式为：---------(2)

当

0时，为隐式公;

=0则为显式公式。华长生制作4------(3)华长生制作52.线性多步方法的构造构造多步法有多种途径，常用的有基于Taylor展开的构造方法(待定系数法)和基于数值积分的构造方法。

根据公式具体的精度(p阶),即,确定华长生制作63.几个重要的线性多步法Adams(阿当姆斯)方法,Milne(米纳)方法,Hamming(哈明)方法,Simpson(辛普生)方法.华长生制作7华长生制作8华长生制作9多步方法的特点：(1)、因初始条件只有一个，多步方法的启动要借助高阶的单步方法来开始.(2)、多步方法比较简单，只要在这几个点的函数值的线性组合,而且每步中所用函数值,有些下一步还可使用。华长生制作10

8.5收敛性与稳定性分析用上式的差分方程来逼近微分方程的初值问题是否合理,就要看差分方程的解是否收敛到初值问题的精确解.-----------(1)华长生制作11定义8.5.1华长生制作12华长生制作13华长生制作14我们考虑一种简单情况，即仅初值有误差，而其他计算步骤无误差。设是初值有误差后的计算值，则则对于向前差商公式

可以看出，当初始误差充分小，以后各步的误差也充分小华长生制作15华长生制作16华长生制作17华长生制作18定义华长生制作191.Euler公式华长生制作202.隐式Euler公式华长生制作213.梯形方法华长生制作224.经典Runge-Kutta方法华长生制作23于是,华长生制作24注：对于具体初值问题的绝对稳定性分析时，华长生制作25复习题8.2、8.3、8.4；例题8.2、8.3、8.4(不包括计算机算法)；习题

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