高中数学概率大题

高中数学概率大题（经典二）一．解答题（共10小题）1．某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同．假定每盏灯可否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2．从使用之日起每满年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换．（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p1=，p2=时，求在第二次灯泡更换工作，最少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）．2．已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品．需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设ξ为取出的次数，求ξ的分布列及Eξ．3．某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不相同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；II）求使P（X=m）获取最大值的整数m．4．在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数．（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）和数学希望Eξ；（Ⅱ）求概率P（ξ≥Eξ）．5．A，B，C三个班共有100名学生，为检查他们的体育锻炼情况，经过分层抽样获取了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：A班678B班6789101112C班36912（Ⅰ）试估计C班的学生人数；（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机采用一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据组成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）6．某商场经销某商品，依照过去资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，最少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及希望Eη．7．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，若是两人都猜对，则“星队”得3分；若是只有一个人猜对，则“星队”得1分；若是两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：I）“星队”最少猜对3个成语的概率；II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学希望EX．8．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加会商会．（1）设A为事件“选出的

2人参加义工活动次数之和为

4”，求事件A发生的概率；2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学希望．9．购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司缴纳保费

a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则能够获取10000元的赔偿金．假设在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人可否出险互相独立．已知保险公司在一年度内最少支付赔偿金10000元的概率为1﹣．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；（Ⅱ）设保险公司创立该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的希望不小于0，求每位投保人应缴纳的最低保费（单位：元）．10．某公司为认识用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机检查了20个用户，获取用户对产品的满意度评分以下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：73836251914653736482934865817456547665791）依照两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并经过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分别程度（不要求计算出详尽值，给出结论即可）；（2）依照用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意特别满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的议论结果互相独立，依照所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的频率，求C的概率．11．某商场举行有奖促销活动，顾客购买必然金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；2）若某顾客有3次抽奖机遇，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学希望．12．端午节吃粽子是我国的传统民俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完好相同，从中任意采用3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学希望．13．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛赞同不相同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学希望．14．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要经过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品也许检测出件正品时检测结束．（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要花销100元，设X表示直到检测出2件次品也许检测出3件正品时所需要的检测花销（单位：元），求X的分布列和均值（数学希望）15．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码试一试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是能够确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行试一试．若密码正确，则结束试一试；否则连续试一试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡试一试密码次数为X，求X的分布列和数学希望．16．若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递加数”（如137，359，567等）．在某次数学兴趣活动中，每位参加者需从所有的“三位递加数”中随机抽取1个数，且只好抽取一次，得分规则以下：若抽取的“三位递加数”的三个数字之积不能够被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能够被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递加数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学希望EX．17．设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为，，，，各人可否需使用设备互相独立．（Ⅰ）求同一工作日最少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于，求k的最小值．18．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．19．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其他7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机采用3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学希望．20．一家面包房依照过去某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，以以下图．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量互相独立．（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，希望E（X）及方差D（X）．参照答案与试题剖析一．解答题（共10小题）1．（2005?湖北）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同．假设每盏灯可否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2．从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换．（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p1=，p2=时，求在第二次灯泡更换工作，最少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）．【解答】解：由于该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2．因此寿命为1～2年的概率应为p1﹣p2．其分布列为：寿命0～11～22～P1﹣P1P1﹣P2P2I）一只灯泡需要不需要换，能够看做一个独立重复试验，依照公式获取5在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为p1，需要更换2只灯泡的概率为C52p13（1﹣p1）2；II）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡是两个独立事件的和事件：①在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1﹣p1）2；②在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p1﹣p2．故所求的概率为p3=（1﹣p1）2+p1﹣p2．III）由（II）当p1=，p2=时，在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡的概率p3=（1﹣p1）2+p1（p1p2）=．在第二次灯泡更换工作，最少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况：①换5只的概率为p35==；②换4只的概率为C51p34（1﹣p3）=5×（1﹣）=，故最少换4只灯泡的概率为：p4=+=．即满两年最少需要换4只灯泡的概率为．2．（2004?安徽）已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品．需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设ξ为取出的次数，求ξ的分布列及Eξ．【解答】解：由题意知每次取1件产品，∴最少需2次，即ξ最小为2，有2件次品，当前2次获取的都是次品时，ξ=4，∴ξ能够取2，3，4当变量是2时，表示第一次取出正品，第二次取出也是正品，依照互相独立事件同时发生的概率公式获取P（ξ=2）=×=；P（ξ=3）=××+××=；P（ξ=4）=1﹣﹣=．∴ξ的分布列以下：ξ234PEξ=2×P（ξ=2）+3×P（ξ=3）+4×P（ξ=4）=．3．（2013?安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；II）求使P（X=m）获取最大值的整数m．【解答】解：（I）由于事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是互相独立事件，因此与互相独立，由于P（A）=P（B）==，故P（）=P（）=1﹣，因此学生甲收到活动信息的概率是1﹣（1﹣）2=II）当k=n时，m只好取n，此时有P（X=m）=P（X=n）=1当k＜n时，整数m满足k≤m≤t，其中t是2k和n中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给k位”所包括2的基本事件总数为（），当X=m时，同时收到两位老师所发信息的学生人数为2k﹣m，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为P（X=m）==当k≤m＜t时，P（X=M）＜P（X=M+1）?（m﹣k+1）2≤（n﹣m）（2k﹣m）?m≤2k﹣若是k≤2k﹣＜t成立，则当（k+1）2能被n+2整除时，k≤2k﹣

＜2k+1﹣＜t

，故

P（X=M）在

m=2k﹣

和m=2k+1﹣

处达到最大值；当（k+1）2不能够被n+2整除时，P（X=M）在m=2k﹣[大值（注：[x]表示不高出x的最大整数），下面证明k≤2k﹣＜t由于1≤k＜n，因此2k﹣﹣k=≥≥0而2k﹣﹣n=＜0，故2k﹣

]处达到最=＜n，显然2k﹣＜2k因此k≤2k﹣

＜t综上得，吻合条件的

m=2k﹣[

]4．（2007?安徽）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数．（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）和数学希望Eξ；（Ⅱ）求概率P（ξ≥Eξ）．【解答】解：（Ⅰ）由题意知以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数，ξ的可能取值是0，1，2，3，4，5，6获取ξ的分布列为：ξ0123456P∴数学希望为Eξ=（1×6+2×5+3×4）=2．（II）所求的概率为P（ξ≥Eξ）=P（ξ≥2）=．5．（2016?北京）A，B，C三个班共有100名学生，为检查他们的体育锻炼情况，经过分层抽样获取了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：A班678B班6789101112C班36912（Ⅰ）试估计C班的学生人数；（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机采用一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据组成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）【解答】解：（I）由题意得：三个班共抽取20个学生，其中C班抽取8个，故抽样比K==，故C班有学生8÷=40人，（Ⅱ）从从A班和C班抽出的学生中，各随机采用一个人，共有5×8=40种情况，而且这些情况是等可能发生的，当甲锻炼时间为6时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有2种情况；当甲锻炼时间为时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有当甲锻炼时间为7时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有当甲锻炼时间为时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有当甲锻炼时间为8时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有故周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P=（Ⅲ）μ0＞μ1．

3种情况；3种情况；3种情况；4种情况；=；6．（2016?东城区模拟）某商场经销某商品，依照过去资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，最少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及希望Eη．【解答】解：（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中最少有1位采用1期付款的对峙事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，设A表示事件“购买该商品的3位顾客中最少有1位采用1期付款”．知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，∴．（Ⅱ）依照顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．获取变量对应的事件的概率P（η=200）=P（ξ=1）=，P（η=250）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=+=，P（η=300）=1﹣P（η=200）﹣P（η=250）=1﹣﹣=．∴η的分布列为η200250300P∴Eη=200×+250×+300×=240（元）．7．（2016?山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，若是两人都猜对，则“星队”得3分；若是只有一个人猜对，则“星队”得1分；若是两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：I）“星队”最少猜对3个成语的概率；II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学希望EX．【解答】解：（I）“星队”最少猜对3个成语包括“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对个”三个基本事件，故概率P=++=++=，（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，则P（X=0）==，P（X=1）=2×[+]=，P

（

X=2

）=

+

++

=，P（X=3）=2×=，P（X=4）=2×[+]=P（X=6）==故X的分布列以以下图所示：X012346P∴数学希望EX=0×+1×+2×+3×+4×+6×==8．（2016?天津）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加会商会．（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学希望．【解答】解：（1）从10人中选出2人的选法共有=45种，事件A：参加次数的和为4，情况有：①1人参加1次，另1人参加3次，②2人都参加2次；共有+=15种，∴事件A发生概率：P==．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．P（X=0）==P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：X012PEX=0×+1×+2×=1．9．（2015?鄂州校级模拟）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司缴纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则能够获得10000元的赔偿金．假设在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人可否出险互相独立．已知保险公司在一年度内最少支付赔偿金10000元的概率为1﹣．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；（Ⅱ）设保险公司创立该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的希望不小于0，求每位投保人应缴纳的最低保费（单位：元）．【解答】解：由题意知各投保人可否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10000人中出险的人数为ξ，由题意知ξ～B（104，p）．（Ⅰ）记A表示事件：保险公司为该险种最少支付10000元赔偿金，则发生当且仅当ξ=0，=1﹣P（ξ=0）=1﹣（1﹣p）104，又P（A）=1﹣，故p=．（Ⅱ）该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总数与成本的和．支出10000ξ+50000，盈利η=10000a﹣（10000ξ+50000），盈