高等代数一线性代数

行列式 重点掌 计算方 行列式是数 二阶行列 计算方 三阶行列 行列式性 行列式转置后，其值不 如果有两行（列）的对应元素相等，其值为 若有一行（列）元素全为0，其值为 将其一行（列）的每个元素，同乘以k，其值=k乘以原行列 有两行（列）的对应元素成比例，其值为 某一行（列）的元素为两数之和时，行列式关于该行可分解为两个行列 不 N阶行列 Laplace展 行列式的式 ★代数式(Algebraic 某行乘以另一行的代数式，结果为 特殊行列 对角行列式(Diagonal 上三角行列式(Uppertriangular 下三角行列式(Lowertriangular 常用公 法 例题十二范行列 例题部 例题 例题二解行列式中的未知 例题三证明 例题 例题 例题 例题 例题八加边 例题 例题 例题十 例题十 例题十 例题十 矩阵 重要概 不是数 几种特殊，重要以及辅助的矩 单位矩阵(方阵 行矩 列矩 对角矩阵(方阵 准对角矩 上三角矩 下三角矩 零矩 转置矩阵 方阵的行列 块矩 矩阵的运 加减 数 乘 除 初等变 概 互换变换(Elementary 倍法变 消去变 定 矩阵的 定 定 例 矩阵和行列式的应 加密，计算机图形 经济学的应 例题部 补充知 例题 例题 例题 例题 例题 例题 例题 例题八矩阵多项 例题 例题 例题十 例题十二二阶方阵的 例题十三用块矩阵法求 例题十 例题十 例题十 例题十 例题十 例题十 例题二 例题二十一利用初等变换求 例题二十 例题二十 矢量 定 特殊的矢 行矢 列矢 运 加 数 加法和数乘基本性 例题部 线性相关 定 性质以及推 矢量组内的各个矢量间的线性相关 矢量组的秩 线性组合(Linear 例题部 例题二方程组变为矢量 方程 齐次线性方程 定 非零解的性 例题部 非齐次线性方程 重点掌二阶 21623 badbc 三阶 4

141行列D 3

D1

1D23

如果有两行（列）1 3311 02283 997若有一行（列）0， 9 将其一行（列）的每个元素，同乘以k，其值=k

1

2

2 2 2

有两行（列）某一行（列） 6 83 把行列式的某一行（列）的每个元素乘以同一数然后加到另一行（列）

1R2(1)R1

32C13

N阶行列Laplace展开 行列式的式★代数式(Algebraic 例

的式，代数式分别

为R2C3 (1)23

4为R2C3的代 某行乘以另一行的代数式，结果为0

(35)R

1R(23)R

1

特殊对角行列式(Diagonal30000500008003000050000800007上三角行列式(Uppertriangular3241089600700324108960070006下三角行列式(Lowertriangular常用公

解：D

00023310001020000320 200132x1

00

x2

例题十二范行列式 xx xx xx xx

xn xn xn xn

x2 (xx1)(x2.xn

)...(x

)

xj1x2x1.xx1

x2x2.xx2

.

x2xn.xxn

xjExampleDn

x2x1.xx1xnx1

x2x2.xx2xnx2

.

x2xn.xxnxnxn考虑n+1阶的范行列 xx xx

xn x2xnf(x)

(xx1)(xx2)...(xxn)(xixjxx1xx1xnx1

x2xxx2xnx2

xnxxxnxnxn

xn

n显然行列式D，就是辅助行列式f(x)中元素xn1 式，nDnAn,n1而由fxxn1Mn,n1(x1x2...xn)(xixjDn(x1x2...xn)(xixjExample1x2x1x3Dn x3.xnx1

xx2n xx2nxx2n xx2n xx2n xx2n考虑n+1阶的范行列

1 1

2 2nn

n x2xxnn xnxxn

显然行列式Dn就是辅助行列式g(x)中元素x 式，DnA2,n1Mgx的表达式知，x

(

...

Dn(x2x3...xn...x1x2...xn1)(xixj例题部D

56 1

111111110x11100x1000x

23x例题三证明题

(x aR a CC2C1;C3a0Dn0b

.a0anbn2(1)n2b二阶 ba2 b三阶 0

ba3b3

0a4baDan (a (b (cd (d

(a(b(c(d

2c1 2d Dn.b

b

b.b

a.b

.

(n1)bab.a

a

((n1)ba)

b((n1)ba)

a

((n1)ba)(a

aai0(i1,2,...nDn1.

ab1c1b2c2...

aaa0aaa 0Dn1

n

.

00.

nn

bici例题八加边法

a

a

D

a2

a

a

1an 1

an

.an1

n0(bb...b)(1n

ai

...

i1a1a2...an0a0aa.an0.an.

a

a

1

Dn

a2an21.21

a2

...a2

00

an

an

100 10 01 01 再加

1

a1

(1)*C

1

22 22

3..n2 1

12a112a1...20

11

Ci;C2

1Ci

2j1a12

i3

.

.nn1

(2)naa

2j1a

(2)naa...a[(n2)2

ai1 n2

nn

12

1

ij1a94D 00

......

... ... ... Dn9Dn12121Dn

)4n2

5D)Dn

)5n2

4D)21D5n121

5naaab 01a 001a 0.. .00 ...aab00 aDn(ab)Dn1Da

a

1(ab)2aba2b2ab;1

aDn

)bn222)an222

aD)11bD)11D an1D a aDn1

a157811578111120361234

M

为代数1

1

1 1

1234522211D3124527M41M42M43以及M44M1224150(M41M42M43)2(M44M45) M) M

//某一行乘以另一行的代数式等于0000000000000000000002

矩阵重要概几种特殊，重要以及辅助的单位矩阵(方阵)1 E 1 53 8 0 对角矩阵(方阵) A

0 00404 0

0A0

0

0 0 A 4AA1A2A3 003003

76684000000091 0 0000 000 转置矩阵(Transpose)A0

1 7 0 9AT 9 7(AB)TAT(kA)T(AB)TBT1 3A A2

3AB

ABBAA矩阵ExampleExample2块矩阵

4 7 8 8A11A11A21A22B22(AB)CA(BC)ABAEEA

(BC)ABA(A)B(AB)Example A

1B 122AB320

1124310211 221B 4 324AEEAExampleA22

1

9B83 83

4

7A2ZB66(B

2Z

7

Example3矩阵方程 1 X 设X

x22 1 2

x22

1 2x11x21

2x12x22x 10 0012 1 A

B 1

A

a13

设A

a

a23a

A*1212

A

33

13

33其中A11,A21等为代 逆矩阵(Inverse可逆A1AAA1不可逆(Noninvertible)奇异的(AA1 0

1 AA*00

0AA

A A*A1A*A11(AB)1AT1A1Example 求A

0

1A

020分别计算相应的代数式，可 A*

A1

1 2

2A11*77 A11*77Example2解线性方程组x12x2x3

2x2x3

x2

x1

1 矩阵式

1x2

x

3

xA1C已知A 1 2 x

3 xxExample3块矩阵 0 A 22

0

x12

0Ax

则

22

22 21 2A11x11

x11

A

x121112

4 AxA 121221 221212AxA 2112

22

A21x11 2

0A1

0

2

412121212初等变初等（矩）互换变换(Elementary

7

3 0

0 0 7

3 1212 8 010 010 3131

00500

3131

052000

0 4

1R 12 12

2

任何非奇异方阵都可以用一系列的初等变换化为单位阵对A（列）A（右）E(i)(jEkEk(i)(j非奇异方阵AA1{P...PP} 2(A E)

矩阵的rExample计算A

1

745 r(A)Example1102426202333334

r1104262023333矩阵和行列式的应19

设有字母表及其对应数字为1

...，则单词Action

320 设有可逆矩阵A

22 31 9

则加密为： 2344，

52

220

3167 1

9为：

A A

4 1 1

xnnyn z n1x' 1

0xy1y1

y01 y0

010z'

z1

112 12

x' yy yy

yn00n yn00

z'

n 1112n 12n

x'

xyy yyyy

yn y

...1

n

z'

z

n

n转动变化又可分为绕Z轴转动，绕XY12n绕Z12n12n 12n

x'

0 xyynyyny0y0

yn y

z'

1

z

n

nn1绕Xn111

x'

xyy2 yy2yy

y0n y0

sin

n

z'

z

n

n绕Y12 12

x'

sin

xyy yyyy

yn0n yn0

0

n

z'

cos

z

n

n一张图依次绕X轴转30，绕Y轴转70，绕Z轴转则P'RRRZyP'

0.296Leontief哈佛1973216451442P1P2P3 3 1 P310P2 3P

P 3 煤电运煤0电运0又对社会贡献，一个星期内，煤厂对外提供50000元的煤，电厂对外提供25000元的电，公司则对外提供0元的。求一个星期内，各厂总产值应该多少恰好满足上述需求。矩阵的特征值与特征 设矩阵A1 4 x11

2 21x1

23，x1

1 k k 1 x1

1

是特征2一般AX

其中A annx2 x2(AE)XA

4 3x1 1

1 12 3x1可得

(2)x13x2即x4)x 2 D

41 1 3x2x13x3

即

0，解出1 x1 1153 1

23x13x3 1即x

0，解出21

2 1 A

3,求A3 1x1 0x2x2 3x x 32

3即：

2 11

0

0x

3 1 k10 1 22 2

0x 3即4x1x2x3即4x1x2

1x1 1x

2

k14,x2k1x 0x 3 3 2

1 1

k1 0

k204 A

00210 210 11

30

02

(2)(1)212 k1 1 112

12 2 11AA00

0

0422原式可化为 ， 1

AE30

E2E3A10,E2B1其中

121,3 其中E2B1 2( 44,5例题五几个重要结论已知A12...nX1Ammm...mXX A1的特征值为1,1...

，特征矢为XX1

AAA*A

AA AA

，特征矢为X1

设多项式f(x)CxmCxm1... xC 则矩阵多项式f(A)CAmCAm1... A 的特征值为f(1),f(2)...f(n，特征矢为X1设AA25A6E0，求A设AXX(A25A6E)X(A2X5AX6EX)2X5X6X(256)X(256)12,2设AA2A，证明A1A2A2X2X211,21 1 已知向量Xk，是A 1的A1的特征矢，求 1

解：A

(1)2(4)121,3 11 1 1kkk

21

1

1 2 设X1是A 3的一个特征矢，求a,1

1

21

3

11 1

212051a30a1b 1b例题部(ab)nan (ab)2a22ab(ab)3a33a2b3ab2(ab)4a44a3b6a2b24ab31 设A 0 0

01，求0

n整A 0 0

1EBB00

0 0

B200

0 0

B300

0 0An(E00 0 0

000n 1 1 1 A

1

1，求1

1 1 1

11A2

04E220 0 A3A2A22AA4A2A224EA5A2A3242nAn2n1

nn2k 3A22B2

,,2,3均为三维行矩 3

3又已知A

B

求AAB

四阶矩阵

A

4

B

,,2,3,

均为四已知A

B

求AAB A为n

A*是A

A*

AAA*AAA*AEAn

A为3A*时A的伴随矩阵，且A

3A12，

0求0 (3A)1 B0

26A(3A)1A

26[(3A)1261A1A2A*A261E21E26(2)3 A,B,A+B都是n阶可逆方阵，求A1B1XA1B11，则应该有A1B1X两边左乘以A(A1B1)XAE(AA1AB1)X(EAB1)X(EAB1)X(BB1AB1)X(AB)B1XBAB)1XB(AB)1例题八矩阵多项式已知f(x

13x1，A00

11 11

03

1

02

1

0

0

00 则fA0

130

130

10

0000101010000 0101010000

010 010

x 0已知f(x) x1 1

A 22 3030320 130100101

1

000000设n

A25A4E0。求A3E(A25A4E)(A3E)(A(A3E)(A8E)(A3E)1(A8E设An阶矩阵，且对某正整数m，有Am0]。证明(EA可逆，并求(EA(EA)(EAA2 (EA)1(EAA2...例题十二二阶方阵的逆设A

b， d A a b aA1 adbc

设A,A分别m，n阶可逆针，求 2

X2

A4 0设 X

，X4

E

En

11X

X X4

A2EA42A

A2X3A

A2X4A A4X3 (

AA1

2 1A(A 0

0，A1 A4 A4

A1如果

0，A1 3A 0AA00

1 1 11 11/1/1/1/000001100001100001A1

3/ 000210021005230580460A33 1 A1

4 00 0 02 n0000.0 0 00 0 21 0 5A 00A10

A1 2

n1

A1 A1 2 M2

0

M1.

1/.

1/(n1)0 1/000 0001/. 0.0.0.A100001/(00001/(n0000000300002 0 0 1

101200120

100设2EC1BATC1。求A。其中B 00

3，C

0原式可化为2C1CC1BATC1(2CB)AT

1

21 21 1两边同时左乘C(2CB)AT 1 0 21 1 2132 1201 1

1

1

12CB1 1

1 A

1 1

1 11/ 03阶A，B满足A1BA6ABA，且A 1/ 0，求0000

1

1/7A1B6E(A1B6B00

1 11

1 已知A 1，B 0。且AXBAXA2BA2B，求002001 002001 1

由题目可知

10 10原式可化为AX(BEA2BEX(BE)A(BE)

0

XAA1B(BE)1AA1A1B

2

0 00 00

02 02

0 0

1 A,B满足A*BA2BA8E，且A00

0，求1 1 0 A* 000 00 设A

10，求

1

1 11

52012 1 1252012R(2)

R2R3;R1(1) 2

0 0

1 1

0 0

1 1

1 52520 7200 7200

12 121212 设A

11，求11 E1111100010100100110

11212121412100 100 2 2 1 已知A

2

B 2求ABBA，A2AB 5BAA2

结论：1、ABBA2、A

B

但有可能AB3、ABA2AA，但BA，即消去律不满足。其中A定特殊34运

k(3k,4k,5k,8k,7k

例题一加法与数乘

线性设1,2...ssn0k1k2...ks，使得k11k22...kss0，则称1,2...s为线性相关，如果只有k1k2...ks0，则为线性无关。nnnn维1,2...n

(n)(n+1n向量组1,2...s(S2相关的充要条件是，其中一个向量可由其他向量组合如果

无关，而

相关，则可由

组合，且k11k22...kssk1k2...ks 则2i3 i和j i和j矢量组的秩线性组合(Linear02121

0是12的线性组 0,4,2),11,2,3),2 问能否由123线性组 k11k22 即 0k12k2 k1 即42k13k2k3k223kk k 3 问能否由

k1k20 2 0 7k13k21 0 2 073k

kk 242所以不能由

问能否由123线性组 k11k222 1 3 即1k13k22k321 1 1 1 22k1k2

2kk3k即3k2k2k k 变 1kk

k1k2k3 所以，有无穷多个k2可组k k3解 k11k22k3302k1k20k3k12k2k3

k1k20kk2k k 1,2,3线性无已知向量组线性无关，问,解 k1()k2()k3()(k1k3)(k1k2)(k2k3)k1k3 kk

k1k2kk 3kk例八求秩

(1,1例九求秩将1,2...4(1) 1 A(2) )13 )13

(4

例十求极大无关组1

1

2

2

2 已知

2，0112 1 3 0 2 4

组，1)个数2)秩3 2 2

1 0000

1,2,3是极大无关1,3,51,4,5例十一求极大无关组已知11

13,21

51,3

p求

pp解：A

pp2例题部3x14x2x3xx2x 2x2x4x 4 1 令11,21,32 4 齐次线性方程a11x11a12x12...a1nx1na21x21a22x22...a2nx2naxax...a 31

3232

3n

ax

2n

2

x3

ax

3n4 y1Xy2A1A2 1 2 已知x221x24x x 13 3 12611k11k22...knn12...nx12x2x3x4x2xxxx

x5x 1 2

x2

53 x 04 2 1

1 A 2 1 150000 2 150000 x12x2x3x4即x12x2

x4xx1

0,

1

1

010 2

0

2

101 2

k01110

10200 1 2

011,0

100 x1x2