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2求二次函在闭区间上最值轴定区间2一知识点一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情.设

fxax

2

(a

，

fx)在，]

上最值最值分析：将

f(x)

4ac配方，得顶点为，称为aa

b2当时它的图是开口向上的抛物线，数形结合可得[m，上

f(x)

的最值：（1）当

a

时，

f(x)

的最小值是

f

b2

ac，f()4a

的最大值是f(m)、f(n

中的较大者。（2当

a

若

a

，()在

f(x)

的最小值是

f(m)

，最大值是

f()若

a

，由

f(x)在

f(x)

的最大值是

f(m)

，最小值是

f()当a时可类比得结论。【题析类----正型是指已知二次函数和定义域区间其最值称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：）轴定，区间定；）定，区间变；（）轴变，区间定；（）轴变，区间变。二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值例如函数

f(x)

2

定义在区间

x)

的最小值。解：函数

f(x)(

，其对称轴方程为

，顶点坐标为（1象口向上。如图所示，若顶点横坐标在区间

，时当

x

时，函数取得最小值

fx()

min

()2

。第页（共页）

tt，即，tt，即，2图如图所示，若顶点横坐标在区

，即

01

。当

时，函数取得最小值

fx

min

(1)

。图如图所示顶点横坐标在区

t

t

时，函数取得最小值

fx()

min

(

2

1综上讨论，

f(x)

min

2t02t图例已

f()

x

，当

，tt)

时，求

f()

的最大值．解：由已知可求对称轴为．f

ft)tf(xft（1当时，max

2

．（2当

t≤≤t≤t≤1

时根据对称性若

t2

即

≤t≤

时，

f(x)f()max

2

t

．若

t11≤f()f(即时

2

．第页（共页）

tmintminmin（3当即时

f()f(t)max

2

．综上，

f()

1tt2t2tt

观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。对次数区最结函图总如：当0时f()

1fm()()2f(如2)2

bf()2af)((如)af(m如)2a当时f()

bf(如

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