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文档简介
2022年高考数学模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.复数满足为虚数单位),则的虚部为()A. B. C. D.2.已知a>b>0,c>1,则下列各式成立的是()A.sina>sinb B.ca>cb C.ac<bc D.3.已知复数满足(其中为的共轭复数),则的值为()A.1 B.2 C. D.4.函数的图像大致为()A. B.C. D.5.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一,其内容是:一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和,也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的,我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和,则拆成的和式中,加数全部为质数的概率为()A. B. C. D.6.已知复数满足,则()A. B. C. D.7.已知函数是定义在上的偶函数,当时,,则,,的大小关系为()A. B. C. D.8.在中,“”是“”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.集合的真子集的个数为()A.7 B.8 C.31 D.3210.设点是椭圆上的一点,是椭圆的两个焦点,若,则()A. B. C. D.11.半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形为面的多面体,体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体,是由正方体切截而成的,它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示,图中网格是边长为1的正方形,粗线部分是某二十四等边体的三视图,则该几何体的体积为()A. B. C. D.12.函数的图象大致为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知多项式满足,则_________,__________.14.在中,角的对边分别为,且.若为钝角,,则的面积为____________.15.函数与的图象上存在关于轴的对称点,则实数的取值范围为______.16.已知等比数列的前项和为,,且,则__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知等差数列中,,数列的前项和.(1)求;(2)若,求的前项和.18.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为,(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)求的极坐标方程和的直角坐标方程;(Ⅱ)设分别交于两点(与原点不重合),求的最小值.19.(12分)古人云:“腹有诗书气自华.”为响应全民阅读,建设书香中国,校园读书活动的热潮正在兴起.某校为统计学生一周课外读书的时间,从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调査,统计了他们一周课外读书时间(单位:)的数据如下:一周课外读书时间/合计频数46101214244634频率0.020.030.050.060.070.120.250.171(1)根据表格中提供的数据,求,,的值并估算一周课外读书时间的中位数.(2)如果读书时间按,,分组,用分层抽样的方法从名学生中抽取20人.①求每层应抽取的人数;②若从,中抽出的学生中再随机选取2人,求这2人不在同一层的概率.20.(12分)健身馆某项目收费标准为每次60元,现推出会员优惠活动:具体收费标准如下:现随机抽取了100为会员统计它们的消费次数,得到数据如下:假设该项目的成本为每次30元,根据给出的数据回答下列问题:(1)估计1位会员至少消费两次的概率(2)某会员消费4次,求这4次消费获得的平均利润;(3)假设每个会员每星期最多消费4次,以事件发生的频率作为相应事件的概率,从会员中随机抽取两位,记从这两位会员的消费获得的平均利润之差的绝对值为,求的分布列及数学期望21.(12分)过点P(-4,0)的动直线l与抛物线相交于D、E两点,已知当l的斜率为时,.(1)求抛物线C的方程;(2)设的中垂线在轴上的截距为,求的取值范围.22.(10分)已知中心在原点的椭圆的左焦点为,与轴正半轴交点为,且.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.证明:当时,直线过定点.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
,分子分母同乘以分母的共轭复数即可.【详解】由已知,,故的虚部为.故选:C.【点睛】本题考查复数的除法运算,考查学生的基本运算能力,是一道基础题.2.B【解析】
根据函数单调性逐项判断即可【详解】对A,由正弦函数的单调性知sina与sinb大小不确定,故错误;对B,因为y=cx为增函数,且a>b,所以ca>cb,正确对C,因为y=xc为增函数,故,错误;对D,因为在为减函数,故,错误故选B.【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性,属基础题.3.D【解析】
按照复数的运算法则先求出,再写出,进而求出.【详解】,,.故选:D【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模,考查基本运算能力,属于基础题.4.A【解析】
根据排除,,利用极限思想进行排除即可.【详解】解:函数的定义域为,恒成立,排除,,当时,,当,,排除,故选:.【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断,利用函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键,属于基础题.5.A【解析】
列出所有可以表示成和为6的正整数式子,找到加数全部为质数的只有,利用古典概型求解即可.【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),而加数全为质数的有(3,3),根据古典概型知,所求概率为.故选:A.【点睛】本题主要考查了古典概型,基本事件,属于容易题.6.A【解析】
根据复数的运算法则,可得,然后利用复数模的概念,可得结果.【详解】由题可知:由,所以所以故选:A【点睛】本题主要考查复数的运算,考验计算,属基础题.7.C【解析】
根据函数的奇偶性得,再比较的大小,根据函数的单调性可得选项.【详解】依题意得,,当时,,因为,所以在上单调递增,又在上单调递增,所以在上单调递增,,即,故选:C.【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用、幂、指、对的大小比较,以及根据函数的单调性比较大小,属于中档题.8.C【解析】
由余弦函数的单调性找出的等价条件为,再利用大角对大边,结合正弦定理可判断出“”是“”的充分必要条件.【详解】余弦函数在区间上单调递减,且,,由,可得,,由正弦定理可得.因此,“”是“”的充分必要条件.故选:C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定,同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用,考查推理能力,属于中等题.9.A【解析】
计算,再计算真子集个数得到答案.【详解】,故真子集个数为:.故选:.【点睛】本题考查了集合的真子集个数,意在考查学生的计算能力.10.B【解析】∵∵∴∵,∴∴故选B点睛:本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析,既使不画出图形,思考时也要联想到图形,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系.11.D【解析】
根据三视图作出该二十四等边体如下图所示,求出该几何体的棱长,可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的,可求出其体积.【详解】如下图所示,将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中,由三视图可知,该几何体的棱长为,它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的,该几何体的体积为,故选:D.【点睛】本题考查三视图,几何体的体积,对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到,属于中档题.12.A【解析】
用偶函数的图象关于轴对称排除,用排除,用排除.故只能选.【详解】因为,所以函数为偶函数,图象关于轴对称,故可以排除;因为,故排除,因为由图象知,排除.故选:A【点睛】本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】∵多项式满足∴令,得,则∴∴该多项式的一次项系数为∴∴∴令,得故答案为5,7214.【解析】
转化为,利用二倍角公式可求解得,结合余弦定理可得b,再利用面积公式可得解.【详解】因为,所以.又因为,且为锐角,所以.由余弦定理得,即,解得,所以故答案为:【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.15.【解析】
先求得与关于轴对称的函数,将问题转化为与的图象有交点,即方程有解.对分成三种情况进行分类讨论,由此求得实数的取值范围.【详解】因为关于轴对称的函数为,因为函数与的图象上存在关于轴的对称点,所以与的图象有交点,方程有解.时符合题意.时转化为有解,即,的图象有交点,是过定点的直线,其斜率为,若,则函数与的图象必有交点,满足题意;若,设,相切时,切点的坐标为,则,解得,切线斜率为,由图可知,当,即时,,的图象有交点,此时,与的图象有交点,函数与的图象上存在关于轴的对称点,综上可得,实数的取值范围为.故答案为:【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数的零点以及对称性,函数与方程等基础知识,考查学生分析问题,解决问题的能力,推理与运算求解能力,转化与化归思想和应用意识.16.【解析】
由题意知,继而利用等比数列的前项和为的公式代入求值即可.【详解】解:由题意知,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1),;(2).【解析】
(1)由条件得出方程组,可求得的通项,当时,,可得,当时,,得出是以1为首项,2为公比的等比数列,可求得的通项;(2)由(1)可知,,分n为偶数和n为奇数分别求得.【详解】(1)由条件知,,,当时,,即,当时,,是以1为首项,2为公比的等比数列,;(2)由(1)可知,,当n为偶数时,当n为奇数时,综上,【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项的求得,以及其前n项和,注意分n为偶数和n为奇数两种情况分别求得其数列的和,属于中档题.18.(Ⅰ)直线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为,的直角坐标方程为;(Ⅱ)2.【解析】
(Ⅰ)由定义可直接写出直线的极坐标方程,对曲线同乘可得:,转化成直角坐标为;(Ⅱ)分别联立两直线和曲线的方程,由得,由得,则,结合三角函数即可求解;【详解】(Ⅰ)直线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为由曲线的极坐标方程得,所以的直角坐标方程为.(Ⅱ)与的极坐标方程联立得所以.与的极坐标方程联立得所以.所以.所以当时,取最小值2.【点睛】本题考查参数方程与极坐标方程的互化,极坐标方程与直角坐标方程的互化,极坐标中的几何意义,属于中档题19.(1),,,中位数;(2)①三层中抽取的人数分别为2,5,13;②【解析】
(1)根据频率分布直方表的性质,即可求得,得到,,再结合中位数的计算方法,即可求解.(2)①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人,根据抽样比,求得在三层中抽取的人数;②由①知,设内被抽取的学生分别为,内被抽取的学生分别为,利用列举法得到基本事件的总数,利用古典概型的概率计算公式,即可求解.【详解】(1)由题意,可得,所以,.设一周课外读书时间的中位数为小时,则,解得,即一周课外读书时间的中位数约为小时.(2)①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人,抽样比为,又因为,,的频数分别为20,50,130,所以从,,三层中抽取的人数分别为2,5,13.②由①知,在,两层中共抽取7人,设内被抽取的学生分别为,内被抽取的学生分别为,若从这7人中随机抽取2人,则所有情况为,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共有21种,其中2人不在同一层的情况为,,,,,,,,,,共有10种.设事件为“这2人不在同一层”,由古典概型的概率计算公式,可得概率为.【点睛】本题主要考查了频率分布直方表的性质,中位数的求解,以及古典概型的概率计算等知识的综合应用,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.20.(1)(2)22.5(3)见解析,【解析】
(1)根据频数计算频率,得出概率;(2)根据优惠标准计算平均利润;(3)求出各种情况对应的的值和概率,得出分布列,从而计算出数学期望.【详解】解:(1)估计1位会员至少消费两次的概率;(2)第1次消费利润;第2次消费利润;第3次消费利润;第4次消费利润;这4次消费获得的平均利润:(3)1次消费利润是27,概率是;2次消费利润是,概率是;3次消费利润是,概率是;4次消费利润是,概率是;由题意:故分布列为:0期望为:【点睛】本题考查概率、平均利润、离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等
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