导数与三角函数的结合

导数与三角函数的结合导数与三角函数的结合导数与三角函数的结合xxx公司导数与三角函数的结合文件编号：文件日期：修订次数：第1.0次更改批准审核制定方案设计，管理制度----导数与三角函数的结合1.（导数与三角函数结合）已知函数，其中为参数，且.（1）当时，判断函数是否有极值；（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间（2a－1,a）内都是增函数，求实数a的取值范围.【分析】定义域上的可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在两侧异号.【解析】（1）当时，，则函数在（－∞，＋∞）内是增函数，故无极值.（2）,令，得.由及（1）,只考虑的情况.当x变化时，的符号及的变化情况如下表：（－∞，0）0＋0－0＋极大值极小值因此，函数在处取得极小值，且.要使＞0,必有，可得，所以.（3）由（2）知，函数在区间（－∞，0）与内都是增函数.由题设，函数在（2a－1,a）内都是增函数，则a需满足不等式组，由（2）,参数时，，要使不等式关于参数恒成立，必有.综上，解得a≤0或，所以a的取值范围是（－∞，0］∪［，1）.2.已知函数f(x)＝axsinx－eq\f(3,2)(a∈R)，且在[0，eq\f(π,2)]上的最大值为eq\f(π－3,2).(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．【思路点拨】(1)分a＝0、a＜0和a＞0三种情况求函数f(x)的最大值；(2)先用零点存在性定理判断有无零点，再根据函数的单调性判断零点的个数．【规范解答】(1)由已知得f′(x)＝a(sinx＋xcosx)，对于任意x∈(0，eq\f(π,2))，有sinx＋xcosx>0.当a＝0时，f(x)＝－eq\f(3,2)，不合题意．当a<0，x∈(0，eq\f(π,2))时，f′(x)<0，从而f(x)在(0，eq\f(π,2))内单调递减．又f(x)在[0，eq\f(π,2)]上的图象是连续不断的，故f(x)在[0，eq\f(π,2)]上的最大值为f(0)＝－eq\f(3,2)，不合题意；当a>0，x∈(0，eq\f(π,2))时，f′(x)>0，从而f(x)在(0，eq\f(π,2))内单调递增，又f(x)在[0，eq\f(π,2)]上的图象是连续不断的，故f(x)在[0，eq\f(π,2)]上的最大值为f(eq\f(π,2))，即eq\f(π,2)a－eq\f(3,2)＝eq\f(π－3,2)，解得a＝1.综上所述，函数f(x)的解析式f(x)＝xsinx－eq\f(3,2).(2)f(x)在(0，π)内有且只有两个零点．证明如下：由(1)知，f(x)＝xsinx－eq\f(3,2)，从而有f(0)＝－eq\f(3,2)<0，f(eq\f(π,2))＝eq\f(π－3,2)>0.又f(x)在[0，eq\f(π,2)]上的图象是连续不断的，所以f(x)在(0，eq\f(π,2))内至少存在一个零点．又由(1)知f(x)在[0，eq\f(π,2)]上单调递增，故f(x)在(0，eq\f(π,2))内有且仅有一个零点．当x∈[eq\f(π,2)，π]时，令g(x)＝f′(x)＝sinx＋xcosx.由g(eq\f(π,2))＝1>0，g(π)＝－π<0，且g(x)在[eq\f(π,2)，π]上的图象是连续不断的，故存在m∈(eq\f(π,2)，π)，使得g(m)＝0.由g′(x)＝2cosx－xsinx，知x∈(eq\f(π,2)，π)时，有g′(x)<0，从而g(x)在(eq\f(π,2)，π)内单调递减．当x∈(eq\f(π,2)，m)时，g(x)>g(m)＝0，即f′(x)>0，从而f(x)在(eq\f(π,2)，m)内单调递增，故当x∈[eq\f(π,2)，m]时，f(x)≥f(eq\f(π,2))＝eq\f(π－3,2)>0，故f(x)在[eq\f(π,2)，m]上无零点；当x∈(m，π)时，有g(x)<g(m)＝0，即f′(x)<0，从而f(