【教学课件】环节一 函数的单调性

函数的基本性质环节一函数的单调性整体概览问题1

阅读课本第76页节引言的内容，回答下列问题：

整体概览（1）为什么要研究函数的性质？（2）什么叫函数的性质？（3）函数的性质主要有哪些？（4）如何发现函数的性质？通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律；变化中的不变性就是性质，变化中的规律性也是性质；比如随着自变量的增大函数值是增大还是减小，有没有最大值或最小值，函数图象的对称性等；的特征，可以发现函数的一些性质．先画出函数图象，通过观察和分析图象

问题2

观察图1、图2、图3中的函数图象，你能说说图1与图2（或图3）的区别吗？图1图2图3图1的特点是：从左至右始终保持上升；图2与图3的特点是：从左至右有升也有降．问题导入

问题3

你能用函数的观点叙述图象从左至右上升（下降）吗？用函数的观点看，就是函数值随着自变量的增大而增大（减小）．新知探究结论：函数值随着自变量的增大而增大（减小）的性质

就是函数的单调性．

问题4

如何用符号语言准确刻画函数值随自变量的增大而增大（减小）呢？追问1

你能说说函数f（x）＝x2的单调性吗？画出它的图象，如图，由图可知：当x＜0时，y随着x的增大而减小，就说f（x）＝x2在区间（－∞，0]上是单调递减的；当x＞0时，y随着x的增大而增大，就说f（x）＝x2在区间[0，＋∞）上是单调递增的．新知探究

追问2

如何用数量关系精确刻画“在区间[0，＋∞）上，f（x）＝x2的函数值随自变量的增大而增大”？借助软件，在y轴右侧任意改变A，B的位置，只要点A的横坐标大于点B的横坐标，就会有点A的纵坐标大于点B的纵坐标．将图象上的规律用函数的解析式表示出来，就可以得到函数f（x）＝x2在区间[0，＋∞）上满足：若x1，x2∈[0，＋∞）且x1＜x2，就有f（x1）＜f（x2）．新知探究

追问3

虽然上述改变A，B的位置是随意的，但我们不能穷举所有的点，为了确保结论f（x1）＜f（x2）的正确性，你能尝试着给出它的证明吗？∀x1，x2∈[0，＋∞）且x1＜x2，f（x1）＝x12，f（x2）＝x22，根据不等式的性质7就可以得到f（x1）＜f（x2）．新知探究

追问4

你能类似地描述f（x）＝x2在区间（－∞，0]上是减函数并证明吗？答案：若x1，x2∈[0，＋∞）且x1＜x2，就有f（x1）＞f（x2）．证明：∀x1，x2∈（－∞，0]且x1＜x2，f（x1）＝x12，f（x2）＝x22，根据不等式的性质4和性质7就可以得到f（x1）＞f（x2）．新知探究

追问5

函数f（x）＝|x|，f（x）＝－x2各有怎样的单调性？f（x）＝|x|在区间（－∞，0]上单调递减，在区间[0，＋∞）上单调递增；f（x）＝－x2在区间（－∞，0]上单调递增，在区间[0，＋∞）上是单调递减．新知探究问题4

如何用符号语言准确刻画函数值随自变量的增大而增大（减小）呢？图1图2如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），f（x）在区间D上单调递增（如图1）．如果∀x1，x2∈D，都有f（x1）＞f（x2），那么就称函数f（x）在区间D上单调递减（如那么就称函数当x1＜x2时，图2）．新知探究如果函数y＝f（x）在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．当函数f（x）在它的定义域上单调递增（减）时，我们称它为增（减）函数．单调性定义：新知探究问题5

（1）设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且∀x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），我们能说函数f（x）在区间D上单调递增吗？你能举例说明吗？（2）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？新知探究问题5

（1）设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且∀x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），我们能说函数f（x）在区间D上单调递增吗？你能举例说明吗？（1）不能，比如函数f（x）＝x2，当A＝{－1，2，3}，D＝[－1，3]时，符合∀x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），但f（x）在区间D上不是单调递增的．新知探究问题5

（2）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？（2）f（x）＝x在整个定义域上单调递增；f（x）＝（x－1）2在区间（－∞，1]上单调递减，在区间[1，＋∞）上单调递增．新知探究

例1

根据定义，研究函数f（x）＝kx＋b（k≠0）的单调性．解：函数f（x）＝kx＋b（k≠0）的定义域是R．∀x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝（kx＋b）－（kx＋b）＝k（x1－x2）．由x1＜x2，得x1－x2＜0．于是f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．这时，f（x）＝kx＋b（k≠0）是增函数．所以，①当k＞0时，k（x1－x2）＜0．新知探究

解：②当k＜0时，k（x1－x2）＞0．于是f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．这时，f（x）＝kx＋b（k≠0）是减函数．例1

根据定义，研究函数f（x）＝kx＋b（k≠0）的单调性．新知探究例2

物理学中得玻意耳定律p＝（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大．试对此用函数的单调性证明．证明：任取V1，V2∈（0，＋∞），且V1＜V2，由V1，V2∈（0，＋∞），得V1V2＞0，由V1＜V2，得V2－V1＞0，则p1－p2＝＝，新知探究证明：又k＞0，所以p1－p2＞0，即p1＞p2，也就是说，当体积V减小时，压强p将增大．所以函数p＝（k为正常数）在区间（0，＋∞）上单调递减．例2

物理学中得玻意耳定律p＝（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大．试对此用函数的单调性证明．新知探究

追问你能总结用定义证明函数f（x）在区间D上的单调性的步骤吗？第一步：在区间D上任取两个自变量的值x1，x2∈D，在区间[1，＋∞）上单调递增．第二步：计算f（x1）－f（x2），将f（x1）－f（x2）分解为若干可以直接确定符号的式子，简记为“作差、变形”；新知探究

追问你能总结用定义证明函数f（x）在区间D上的单调性的步骤吗？第三步：确定f（x1）－f（x2）的符号．若f（x1）－f（x2）＜0，则函数在区间D上单调递增；若f（x1）－f（x2）＞0，则函数在区间D上单调递减．简记为“断号、定论”．新知探究例3

根据定义证明函数y＝x＋在区间（1，＋∞）上的单调递增．证明：∀x1，x2∈（1，＋∞），且x1＜x2，则y1－y2＝（x1＋）－（x2＋）＝（x1－x2）＋（－）＝（x1－x2）＋＝（x1－x2）（1－－）＝（x1－x2）（）新知探究证明：由x1，x2∈（1，＋∞），得x1＞1，x2＞1，所以x1x2＞1，x1x2－1＞0．由x1＜x2，得x1－x2＜0，于是（x1－x2）（）＜0，即y1＜y2．所以，函数y＝x＋在区间（1，＋∞）上的单调递增．例3

根据定义证明函数y＝x＋在区间（1，＋∞）上的单调递增．新知探究

追问你能用单调性定义探究y＝x＋在整个定义域内的单调性吗？x1－x2＜0，x1x2＞0，所以当x1，x2∈（0，1）时，x1x2－1＜0，则y1－y2＞0，即y1＞y2，y＝x＋的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）．当x1，x2∈（0，＋∞）时，在y1－y2＝（x1－x2）（）中，所以y＝x＋在区间（0，1）上单调递减．新知探究

追问你能用单调性定义探究y＝x＋在整个定义域内的单调性吗？同理可得，函数y＝x＋在区间（－∞，－1）上单调递增，在区间（－