【教学课件】环节一 对数函数的概念、图象和性质

对数函数环节一对数函数的概念、图象和性质整体概览对于具体的函数，我们一般按照“背景—概念—图象和性质—应用”的路径进行研究．函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具，请大家回忆我们是如何研究指数函数的．你能结合以往研究函数的经验，谈一谈我们是如何研究函数的？引入新课

在4.2.1的问题2中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律是函数（x≥

0）．进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？你能设计一个方案来研究这个问题吗？要判断其是否为函数，首先要从函数的定义进行思考，然后考察其是否符合函数的定义．在考察的时候，一方面可以观察图象上进行定性的分析，另一方面可以依据函数的定义和性质进行定量的推理判断．探究新知

解决这个问题，显然要依据函数的定义．那么依据定义应该怎样进行判断呢？函数的定义：设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．所以要判断死亡时间x是否是碳14的含量y的函数，就要确定，对于任意一个y∈(0，1]，是否都有唯一确定的数x和它对应．探究新知追问2

若已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？如右图，观察

的图象，过y轴正半轴上任意一点(0，y0)（0＜y0≤1）作x轴的平行线，结合指数函数的单调性，这条平行线与

的图象有几个交点？这说明对任意一个y∈(0，1]，都有几个x与其对应？能否将x看成是y的函数？所以要判断死亡时间x是否是碳14的含量y的函数，就要确定，对于任意一个y∈(0，1]，是否都有唯一确定的数x和它对应．探究新知从图象上看，这条平行于x轴的直线，与

的图象至少有一个交点(x0，y0)，又因为指数函数

为减函数，所以这个交点是唯一的交点．这个交点的意义是，已知死亡生物体内碳14的含量为y0，则可以找到与其对应的唯一的一个死亡时间x0．这说明对任意一个y∈(0，1]，在[0，＋∞)上都有唯一确定的数x和它对应．所以x也是y的函数．探究新知追问3

能否求出生物死亡年数随体内碳14含量变化的函数解析式？根据指数与对数的运算关系，可以将

这种对应关系，改写为

．习惯上用x表示自变量，用y表示函数值，于是就得到函数

，它刻画了时间y随碳14含量x的衰减而变化的规律．探究新知对一般的指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，根据指数与对数的运算关系，转换成x＝logay(a＞0，且a≠1)，能否将x看成是y的函数？根据指数函数的性质，当0＜a＜1时，y＝ax单调递减；当a＞1时，y＝ax单调递增．所以考虑一般的指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，对任意一个y∈(0，＋∞)，都有唯一确定的数x和它对应．因此，x也是y的函数．通常，我们用x表示自变量，y表示函数．为此，可将x＝logay(a＞0，且a≠1)改写为：y＝logax(a＞0，且a≠1)．这就是对数函数．探究新知追问：如果用解析式法表示一个函数，除了要确定其解析式，还要确定其定义域，才能确定下来这个函数．现在我们已经确定了一般的对数函数的解析式为y＝logax(a＞0，且a≠1)，那么通过与指数函数对比，你能给出一般的对数函数的定义域吗？根据指数函数的定义域可知，在对数函数中，自变量x的取值范围是(0，＋∞)．于是就得到了：探究新知定义：一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数（logarithmicfunction），其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．探究新知按照问题1的设计，接下来需要研究对数函数的图象和性质，你能说说研究的具体内容和思路吗？类比研究指数函数的图象和性质的过程和方法，首先要作出对数函数的图象，其次再根据图象概括函数的性质，最后还可以由性质进一步分析函数的图象．探究新知按照函数研究的一般过程，需要研究对数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性．另外，由于对数函数和指数函数密切相关，而指数函数过定点（0，1），所以对数函数也可能会过某个定点．最后，我们还需要考察对数函数与指数函数是否有什么特殊的关系．探究新知问题4

首先画出对数函数的图象，我们先从简单的函数y＝log2x开始．描点法画图的步骤是什么？请同学们利用计算器完成x，y的对应值表，并用描点法画出函数y＝log2x的图象．描点法的步骤：列表——描点xy0.5-110214262.683123.6164——画图．探究新知追问在4.2.2中研究指数函数的图象和性质时，我们知道了底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．那么对于底数互为倒数的两个对数函数，比如

和

，它们的图象是否也有某种对称关系呢？用同样的方法，在同一直角坐标系内画出函数

的图象，并与函数

的图象进行比较，它们有什么关系？能否利用函数

的图象，画出函数

的图象？探究新知利用换底公式，可以得到

．因为点(x，y)与点(x，－y)关于x轴对称，所以

图象上任意一点P(x，y)关于x轴的对称点P1(x，－y)都在函数

的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称．根据这种对称性，就可以利用

的图象画出

的图象．如右图所示．探究新知追问为了得到对数函数(a＞0，且a≠1)的性质，我们还需要画出更多具体对数函数的图象进行观察．选取底数a(a＞0，且a≠1)的若干个不同的值，例如a＝3，a＝4，a＝

，a＝

，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？对数函数是否也像指数函数一样，过某个定点？根据你所概括出的结论，自己设计一个表格，写出对数函数(a＞0，且a≠1)的定义域、值域、单调性、奇偶性，等等．探究新知选取底数a的若干值，例如

a＝3，a＝4，a＝

，a＝

，利用信息技术画出图象，如下图．探究新知发现对数函数

的图象按底数a的取值，可分为0＜a＜1和a＞1两种类型．因此对数函数的性质也可以分0＜a＜1和a＞1两种情况进行研究，设计的表格如右表．

0<a<1a>1图象定义域(0，+∞)值域R性质（1）过定点(1，0)，即x＝1时，y=0（2）减函数（2）增函数（3）非奇非偶函数，即无奇偶性探究新知

前面根据指数与对数间的关系，由(x≥0)得到(0＜y≤1)．由函数定义可知

，y∈(0，1]是一个函数．通常我们x表示自变量，y表示函数，为此可以把

改写成

，x∈(0，1]．这样，由指数函数，x∈[0，＋∞)可得到对数函数，x∈(0，1]．研究这两个函数的相关性，从函数的三要素：定义域、对应关系、值域来考虑，你能发现它们有什么特殊关系吗？探究新知从定义域和值域来看，对数函数

的定义域(0，1]、值域[0，＋∞)分别是指数函数

的值域和定义域．函数的对应关系，实际上是对定义域中的数进行某种代数运算变化，变成值域中的数．所以从对应关系来看，对数函数

进行的是底数为

的对数运算，指数函数

进行的是底数也为

的指数幂运算，这两种运算变化互为逆运算．探究新知像指数函数，x∈[0，＋∞)和对数函数

，x∈(0，1]这样，根据运算性质可以由一个推导出另外一个，并且一个函数的定义域和值域分别是另外一个函数的值域和定义域的，我们就称它们互为反函数．这样，对数函数

，x∈(0，1]是指数函数

，x∈[0，＋∞)的反函数．同时，指数函数

，x∈[0，＋∞)也是对数函数，x∈(0，1]的反函数，它们的定义域与值域正好互换．从定义上，互为反函数的两个函数的定义域与值域正好互换，运算变化过程正好互逆，这是一种对称性．探究新知*（选学）追问：对于一般的指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)，我们知道，它们互为反函数．那么它们的图象间有什么关系？在同一直角坐标系中，任意选取某个a(a＞0，且a≠1)，画出指数函数y＝ax及其反函数y＝logax的图象．这两个函数的图象有什么对称关系？它们是关于什么对称的．根据前面关于指数函数和对数函数的图象和性质的研究，应当分为0＜a＜1和a＞1的情况讨论．分别选