高数集合与映射课件

高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（1）第一讲集合与映射授课教师：易学军高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学1第一章集合与函数本章学习要求：正确理解函数概念，能熟练求出函数的定义域。掌握函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性的分析表示和图形特征。正确理解初等函数、复合函数概念，能正确将复合函数进行分解。会求函数（包括分段函数）的反函数。了解“取整函数”和“符号函数”。能对常见的实际问题进行分析，建立函数关系。第一章集合与函数本章学习要求：2第一节集合与映射一、集合的基本概念二、集合的基本运算三、映射的基本概念四、实数、区间、邻域第一节集合与映射一、集合的基本概念3康托尔将集合定义为：所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间有明确区别的那些对象（这些对象称为元素）作为一个整体来考虑的结果。1.集合一、集合的基本概念康托尔将集合定义为：1.集合一、集合的基本概念4高数集合与映射课件52.集合的表示法列举法：将集合A的所有元素一一列举出来，并用花括号括上。表示集合的方法有两种:注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得重复出现。（唯一，互异，无序）2.集合的表示法列举法：将集合A的所有元素一一列举出来，63.子集、集合相等规定：空集是不含任何元素的集合，记为。空集是任何一个集合的子集：3.子集、集合相等规定：空集是不含任何元素的集合，记为74.有限集、无限集：含有有限个元素的集合称为有限集；含有无限个元素的集合成为无限集。4.有限集、无限集：含有有限个元素的集合称为有限集；8二、集合的基本运算在wen图中，用矩形表示全集。1.集合运算的概念二、集合的基本运算在wen图中，用矩形表示全集。1.集合9高数集合与映射课件10一般说来,AB一般说来,AB11交换律结合律分配律对偶律2.集合的运算性质幂等律吸收律交换律结合律分配律对偶律2.集合的运算性质幂等律吸收律121.实数集与数轴实数集为有理数集与无理数集的并.实数具有稠密性和连续性.aR，必n

Z，使n

a

<

n+1.实数与数轴上的点一一对应.三、实数、区间、邻域1.实数集与数轴实数集为有理数集与无理数集的并.实数具有稠132.绝对值、距离任一实数a

的绝对值|a|

定义为：数轴上任意两点a，b

之间的距离为d=|ab|。2.绝对值、距离任一实数a的绝对值|a|定义为143.区间(1)闭区间[a,b]={x|a

x

b}ab(2)开区间(a,b)={x|a

<x

<

b}ab。。[]()3.区间(1)闭区间[a,b]={x|15(a,b]={x|a

<

x

b}

(称为左开右闭区间)[a,b)={x|a

x

<

b}

(称为右开左闭区间)(3)半开闭区间ab。[)(a,b]={x|a<xb}16(4)无穷区间[a,+)={x|xa},(a,+)={x|x>a},(

,b]={x|x

b},(

,b)={x|x<

b},(

,+)={x|

<x<

+}={x|xR}a(+)[[a,+)(4)无穷区间[a,+)={x|xa17(5)区间长度有限区间的长度=右端点值－左端点值不论是闭区间、开区间、半开闭区间，其长度计算均按此式进行。所有无穷区间的长度=+∞(5)区间长度有限区间的长度=右端点值－左端点值18U(x0,)={x||x

x0|<,xR,>0}x0+()x0

x04.邻域U(x0,)={x||xx019Û(x0,)={x|0<|x

x0|<,xR,>0}x0+()x0

x0Û(x0,)={x|0<|x20点的某邻域，记为U(x0).点

的某去心邻域，记为Û(x0).点的某邻域，点的某去心邻域，21点x0=3的=0.1邻域为点x0=3的去心=0.1邻域为例1点x0=3的=0.1邻域为点x0=322四、映射的基本概念1.映射四、映射的基本概念1.映射23注意：1)映射是集合间的一种对应关系.集合X、Y中所含的元素不一定是数，可以是其它的一些对象(或事物)。2)对每一个xX，只有唯一的一个yY

值与之对应关系不一定就是映射。对应，这一点很重要，它说明集合间元素的注意：1)映射是集合间的一种对应关系.集合X、Y中243)映射的定义不排除几个不同的x

值与同一个y值对应。RfXYfy2x1x2x3y1.....3)映射的定义不排除几个不同的x值与同一个y值对应。25设f

为集X

到集Y

的一个映射。如果xX，存在唯一的y=f(x)Y

与之对应；反过来,若y

Y,

存在唯一的x

X

使得y=f(x),则称f

是X

到Y

的一一对应。2.一一对应设f为集X到集Y的一个映射。如果xX26第二、三节函数一、函数的基本概念二、函数的基本性质三、基本初等函数四、初等函数第二、三节函数一、函数的基本概念27一、函数的基本概念1.函数的定义一、函数的基本概念1.函数的定义28高数集合与映射课件292.函数的表示法解析法表格法图示法自己看书！2.函数的表示法解析法表格法图示法自己看书！303.求函数定义域举例数学分析的主要研究对象是函数，确定函数的定义域是一件十分重要的事情。通常依据：分式的分母不能为零；负数不能开偶次方；已知的一些函数的定义域；物理意义；几何意义等来确定函数的定义域。3.求函数定义域举例数学分析的主要研究对31例1例132例2求的定义域。例2求的定义域。33将x

表示为:函数y=[x]=“整数”称为取整函数，它是一个分段函数。例3“整数”+

“正的小数”或“零”将x表示为:函数y=[x]=“整数”称为取整34想想取整函数的图形是什么样子？想想取整函数的图形是什么样子？35例4例436定义域与对应规则均相同的两个函数相同。如何判断两个函数是否相同?4.判断函数相同定义域与对应规则均相同的两个函数相同。如何判断两37例6例6385.函数的图形称为函数f(x)

的图形。在平面上建立直角坐标系Oxy，则xy

平面上的点集是否所有的函数均可绘出几何图形？5.函数的图形称为函数f(x)的图形。在平面上建立39例7狄利克雷函数就不能作出几何图形.Dirichlet1805—1859狄利克雷是德国数学家，他以出色的数学才能，以及在数论、分析和数学物理方程等领域的杰出成果，成为继高斯之后与雅可比齐名的德国数学界的核心人物之一。例7狄利克雷函数就不能作出几何图形.Dirichlet40单调性有界性奇偶性周期性二、函数的基本性质单调性有界性奇偶性周期性二、函数的基本性质411.单调性在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间I上单调增加,记为。1.单调性在不需要区别上面两种情况时，一般将42在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间I上单调减少,记为。在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数43函数的单调性是一个局部性的性质,它与所讨论的区间I有关.函数的单调性是一个局部性的44画画图就一目了然.例9我们以后将运用微积分的方法研究函数的单调性。画画图就一目了然.例9我们以后将运用微积分的方法研452.有界性有界性有上界有下界有界2.有界性有界性有上界有下界有界46设函数y=f(x)在区间I上有定义。若存在实数A,B,使对一切x

I

恒有A

f(x)

B则称函数y=f(x)在区间I

上有界。否则,称函数y=f(x)在区间I

上无界。函数有界性的定义设函数y=f(x)在区间I上有定义。若存在47y=f(x)xxyyAABBOOy=f(x)函数有界示意图

y=f(x)xxyyAABBOOy=f(x48函数y=f(x)在区间I上有界你能理解吗?函数y=f(x)在区间I上有界你能理解吗?49成立，则称函数y=f(x)在区间I上是上方有界的,简称有上界。设函数y=f(x)在区间I上有定义。若存在实数M(可正，可负)，对一切x

I恒有y=f(x)f(x)≤M成立，则称函数y=f(x)在区间I上是50

f(x)≥m在区间I上是下方有界的,简称有下界。设函数y=f(x)在区间I上有定义。若存在实数m(可正，可负),对一切x

I恒有成立，则称函数y=f(x)y=f(x)f(x)≥m在区间I上是下方有界的,简称有下界51

函数y=f(x)有界f(x)既有上界又有下界.在区间I上:xyABO函数y=f(x)有界f(x)既有上界52无穷多个下界，所有下界中最大者称为函数在区在区间I上有下界，则必有若函数间I上的下确界，记为无穷多个上界，所有上界中最小者称为函数在区在区间I上有上界，则必有若函数间I上的上确界，记为有上(下)界的函数是否必有上(下)确界？可以证明：有上(下)界的函数必有上(下)确界.无穷多个下界，所有下界中最大者称为函数在区在区间I上有下53如何证明或判断函数无界？提一个问题：如何证明或判断函数无界？提一个问题：54证明或判断无界，通常依据:函数y=f(x)在区间I

上无界，则不论M>

0的值取得多么大，总使得|f(x0

)|>M

成立。证明或判断无界，通常依据:函数y=f(x)在区间55易知：例10解在其定义域内是无界的。

故函数在任何一个有限区间内有界。易知：例10解在其定义域内是无界的。故函数在任何一个有限区563.奇偶性若xDf,有f(x)=f(x)成立，则称f(x)为偶函数。偶函数的图形关于y

轴对称。若xDf,有f(x)=

f(x)成立，则称f(x)为奇函数。奇函数的图形关于坐标原点对称。设函数y=f(x)的定义域Df

关于坐标原点对称。3.奇偶性若xDf,有f(x)=57三、基本初等函数大家在中学就已熟悉它们了！三、基本初等函数大家在中学就已熟悉它们了！58以下六种简单函数称为基本初等函数1.常值函数

y=C

(C

为常数)2.幂函数y=x

(

R为常数)3.指数函数y=ax

(a>0,a1)以下六种简单函数1.常值函数y=C594.对数函数y=logax

(a>0,a1)5.三角函数

y=sinx

y=cosx

y=tanx

y=cotx

y=secx

y=cscx6.反三角函数y=arcsinx

y=arccosx

y=arctanx

y=arccotx

y=arcsecx

y=arccscx详情见书4.对数函数y=logax5.三60四、复合函数、反函数·····？如何描述四、复合函数、反函数·····？如何描述611.复合函数设有映射及的每一个x

所对应的u

值，都属于f(u)的定义域Df，如果对于映射的定义域(或定义域的一部分)中那么，将代入消去u

后,就有其中，u

称为中间变量。与称之为函数复合而成的复合函数。1.复合函数设有映射及的每一个x所对应的u值，都属于62由函数可构成复合函数函数复合后一般应重新验证它的定义域例13由函数可构成复合函数函数复合后一般应重新验证它的定义域例1363函数复合而成?它是由以下几个函数复合而成:例14解复合函数分解到什么时候为止？以上过程称为对复合函数的分解分解到基本初等函数或基本初等函数的四则运算为止.函数复合而成?它是由以下几个函数复合而成:例14解复合函数64是一一对应(即映射f是一一对应),称f的

f的反函数.只有在一一对应的前提下才能有反函数.与互为反函数.2。反函数的定义是一一对应(即映射f是一一对应),称f65例16例1666反函数的图形将函数y=f(x)的反函数写成x=f

1(y)时，函数与其反函数的图形相同.将函数y=f(x)的反函数记为y=f

1(x)时，函数y=f(x)与其反函数y=f

1(x)的图形关于第Ⅰ、Ⅲ象限的角平分线y=x对称。反函数的图形将函数y=f(x)的反67反函数的图形反函数的图形68例16得由由得由得解综上所述，所求反函数为例16得由由得由得解综上所述，所求反函数为69故所求反函数为求分段函数的反函数是：先求出各段上函数的反函数，然后综合起来，得出原分段函数的反函数。故所求反函数为求分段函数的反函数是：70增加的.定理减少减少增加的.定理减少减少71五、初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算而成的函数,称为初等函数。五、初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算而成的72例如都是初等函数.例如都是初等函数.73一般说来,分段函数不是初等函数.但有个别分段函数例外，例如因为它可以改写为初等函数的形式.一般说来,分段函数不是初等函数.但有个别分段函数例外74幂指函数是否为初等函数？该幂指函数是一个初等函数.例18幂指函数是否为初等函数？该幂指函数是一个初等函数.例1875六、双曲函数反双曲函数学习双曲函数时,注意与中学学习过的三角函数进行比较,找出它们之间有关定义及计算公式的相同处和不同处。六、双曲函数反双曲函数学习双曲函数时76双曲函数双曲正弦双曲余弦双曲正切双曲余切双曲正割双曲余割双曲函数双曲正弦双曲余弦双曲正切双曲余切双曲正割双曲余割77作业：P171.7.8；P261（3），4(4),5(4)，9（4）作业：78高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（1）第一讲集合与映射授课教师：易学军高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学79第一章集合与函数本章学习要求：正确理解函数概念，能熟练求出函数的定义域。掌握函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性的分析表示和图形特征。正确理解初等函数、复合函数概念，能正确将复合函数进行分解。会求函数（包括分段函数）的反函数。了解“取整函数”和“符号函数”。能对常见的实际问题进行分析，建立函数关系。第一章集合与函数本章学习要求：80第一节集合与映射一、集合的基本概念二、集合的基本运算三、映射的基本概念四、实数、区间、邻域第一节集合与映射一、集合的基本概念81康托尔将集合定义为：所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间有明确区别的那些对象（这些对象称为元素）作为一个整体来考虑的结果。1.集合一、集合的基本概念康托尔将集合定义为：1.集合一、集合的基本概念82高数集合与映射课件832.集合的表示法列举法：将集合A的所有元素一一列举出来，并用花括号括上。表示集合的方法有两种:注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得重复出现。（唯一，互异，无序）2.集合的表示法列举法：将集合A的所有元素一一列举出来，843.子集、集合相等规定：空集是不含任何元素的集合，记为。空集是任何一个集合的子集：3.子集、集合相等规定：空集是不含任何元素的集合，记为854.有限集、无限集：含有有限个元素的集合称为有限集；含有无限个元素的集合成为无限集。4.有限集、无限集：含有有限个元素的集合称为有限集；86二、集合的基本运算在wen图中，用矩形表示全集。1.集合运算的概念二、集合的基本运算在wen图中，用矩形表示全集。1.集合87高数集合与映射课件88一般说来,AB一般说来,AB89交换律结合律分配律对偶律2.集合的运算性质幂等律吸收律交换律结合律分配律对偶律2.集合的运算性质幂等律吸收律901.实数集与数轴实数集为有理数集与无理数集的并.实数具有稠密性和连续性.aR，必n

Z，使n

a

<

n+1.实数与数轴上的点一一对应.三、实数、区间、邻域1.实数集与数轴实数集为有理数集与无理数集的并.实数具有稠912.绝对值、距离任一实数a

的绝对值|a|

定义为：数轴上任意两点a，b

之间的距离为d=|ab|。2.绝对值、距离任一实数a的绝对值|a|定义为923.区间(1)闭区间[a,b]={x|a

x

b}ab(2)开区间(a,b)={x|a

<x

<

b}ab。。[]()3.区间(1)闭区间[a,b]={x|93(a,b]={x|a

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(称为左开右闭区间)[a,b)={x|a

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(称为右开左闭区间)(3)半开闭区间ab。[)(a,b]={x|a<xb}94(4)无穷区间[a,+)={x|xa},(a,+)={x|x>a},(

,b]={x|x

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b},(

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<x<

+}={x|xR}a(+)[[a,+)(4)无穷区间[a,+)={x|xa95(5)区间长度有限区间的长度=右端点值－左端点值不论是闭区间、开区间、半开闭区间，其长度计算均按此式进行。所有无穷区间的长度=+∞(5)区间长度有限区间的长度=右端点值－左端点值96U(x0,)={x||x

x0|<,xR,>0}x0+()x0

x04.邻域U(x0,)={x||xx097Û(x0,)={x|0<|x

x0|<,xR,>0}x0+()x0

x0Û(x0,)={x|0<|x98点的某邻域，记为U(x0).点

的某去心邻域，记为Û(x0).点的某邻域，点的某去心邻域，99点x0=3的=0.1邻域为点x0=3的去心=0.1邻域为例1点x0=3的=0.1邻域为点x0=3100四、映射的基本概念1.映射四、映射的基本概念1.映射101注意：1)映射是集合间的一种对应关系.集合X、Y中所含的元素不一定是数，可以是其它的一些对象(或事物)。2)对每一个xX，只有唯一的一个yY

值与之对应关系不一定就是映射。对应，这一点很重要，它说明集合间元素的注意：1)映射是集合间的一种对应关系.集合X、Y中1023)映射的定义不排除几个不同的x

值与同一个y值对应。RfXYfy2x1x2x3y1.....3)映射的定义不排除几个不同的x值与同一个y值对应。103设f

为集X

到集Y

的一个映射。如果xX，存在唯一的y=f(x)Y

与之对应；反过来,若y

Y,

存在唯一的x

X

使得y=f(x),则称f

是X

到Y

的一一对应。2.一一对应设f为集X到集Y的一个映射。如果xX104第二、三节函数一、函数的基本概念二、函数的基本性质三、基本初等函数四、初等函数第二、三节函数一、函数的基本概念105一、函数的基本概念1.函数的定义一、函数的基本概念1.函数的定义106高数集合与映射课件1072.函数的表示法解析法表格法图示法自己看书！2.函数的表示法解析法表格法图示法自己看书！1083.求函数定义域举例数学分析的主要研究对象是函数，确定函数的定义域是一件十分重要的事情。通常依据：分式的分母不能为零；负数不能开偶次方；已知的一些函数的定义域；物理意义；几何意义等来确定函数的定义域。3.求函数定义域举例数学分析的主要研究对109例1例1110例2求的定义域。例2求的定义域。111将x

表示为:函数y=[x]=“整数”称为取整函数，它是一个分段函数。例3“整数”+

“正的小数”或“零”将x表示为:函数y=[x]=“整数”称为取整112想想取整函数的图形是什么样子？想想取整函数的图形是什么样子？113例4例4114定义域与对应规则均相同的两个函数相同。如何判断两个函数是否相同?4.判断函数相同定义域与对应规则均相同的两个函数相同。如何判断两115例6例61165.函数的图形称为函数f(x)

的图形。在平面上建立直角坐标系Oxy，则xy

平面上的点集是否所有的函数均可绘出几何图形？5.函数的图形称为函数f(x)的图形。在平面上建立117例7狄利克雷函数就不能作出几何图形.Dirichlet1805—1859狄利克雷是德国数学家，他以出色的数学才能，以及在数论、分析和数学物理方程等领域的杰出成果，成为继高斯之后与雅可比齐名的德国数学界的核心人物之一。例7狄利克雷函数就不能作出几何图形.Dirichlet118单调性有界性奇偶性周期性二、函数的基本性质单调性有界性奇偶性周期性二、函数的基本性质1191.单调性在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间I上单调增加,记为。1.单调性在不需要区别上面两种情况时，一般将120在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间I上单调减少,记为。在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数121函数的单调性是一个局部性的性质,它与所讨论的区间I有关.函数的单调性是一个局部性的122画画图就一目了然.例9我们以后将运用微积分的方法研究函数的单调性。画画图就一目了然.例9我们以后将运用微积分的方法研1232.有界性有界性有上界有下界有界2.有界性有界性有上界有下界有界124设函数y=f(x)在区间I上有定义。若存在实数A,B,使对一切x

I

恒有A

f(x)

B则称函数y=f(x)在区间I

上有界。否则,称函数y=f(x)在区间I

上无界。函数有界性的定义设函数y=f(x)在区间I上有定义。若存在125y=f(x)xxyyAABBOOy=f(x)函数有界示意图

y=f(x)xxyyAABBOOy=f(x126函数y=f(x)在区间I上有界你能理解吗?函数y=f(x)在区间I上有界你能理解吗?127成立，则称函数y=f(x)在区间I上是上方有界的,简称有上界。设函数y=f(x)在区间I上有定义。若存在实数M(可正，可负)，对一切x

I恒有y=f(x)f(x)≤M成立，则称函数y=f(x)在区间I上是128

f(x)≥m在区间I上是下方有界的,简称有下界。设函数y=f(x)在区间I上有定义。若存在实数m(可正，可负),对一切x

I恒有成立，则称函数y=f(x)y=f(x)f(x)≥m在区间I上是下方有界的,简称有下界129

函数y=f(x)有界f(x)既有上界又有下界.在区间I上:xyABO函数y=f(x)有界f(x)既有上界130无穷多个下界，所有下界中最大者称为函数在区在区间I上有下界，则必有若函数间I上的下确界，记为无穷多个上界，所有上界中最小者称为函数在区在区间I上有上界，则必有若函数间I上的上确界，记为有上(下)界的函数是否必有上(下)确界？可以证明：有上(下)界的函数必有上(下)确界.无穷多个下界，所有下界中最大者称为函数在区在区间I上有下131如何证明或判断函数无界？提一个问题：如何证明或判断函数无界？提一个问题：132证明或判断无界，通常依据:函数y=f(x)在区间I

上无界，则不论M>

0的值取得多么大，总使得|f(x0

)|>M

成立。证明或判断无界，通常依据:函数y=f(x)在区间133易知：例10解在其定义域内是无界的。

故函数在任何一个有限区间内有界。易知：例10解在其定义域内是无界的。故函数在任何一个有限区1343.奇偶性若xDf,有f(x)=f(x)成立，则称f(x)为偶函数。偶函数的图形关于y

轴对称。若xDf,有f(x)=

f(x)成立，则称f(x)为奇函数。奇函数的图形关于坐标原点对称。设函数y=f(x)的定义域Df

关于坐标原点对称。3.奇偶性若xDf,有f(x)=135三、基本初等函数大家在中学就已熟悉它们了！三、基本初等函数大家在中学就已熟悉它们了！136以下六种简单函数称为基本初等函数1.常值函数

y=C

(C

为常数)2.幂函数y=x

(

R为常数)3.指数函数y=ax

(a>0,a1)以下六种简单函数1.常值函数y=C1374.对数函数y=logax

(a>0,a1)5.三角函数

y=sinx

y=cosx

y=tanx

y=cotx

y=secx

y=cscx6.反三角函数y