第四章线性系统时域分析法-去背景

时域法是自动控制系统最基本的分析方法,是学习复域法、频域法的基础;时域法可以直接在时间域中对系统进行分析校正，具有直观，准确的特点；时域法可以提供系统时间响应的全部信息；时域法是基于解析法求解系统的输出，所以比较烦琐。*章提要4.1

时间响应性能指标4.1.1典型输入信号典型输入信号单位阶跃信号、单位斜坡信号、单位脉冲信号、单位加速度信号、正弦信号。对应的输出分别被称为单位阶跃响应、单位斜坡响应、单位脉冲响应、单位加速度响应。A=1时称为单位阶跃函数,其数学表达式为t

01

t

0r(t)

1(t)

0一．阶跃函数Ar(t)

0t

0

R(s)

At

0

sr(t)AtoA=1时称为单位斜坡函数,其数学表达式为t

0t t

0r(t)

02sR(s)

1二．斜坡函数t

0At t

0r(t)

0s2R(s)

Atr(t)oA=1/2时称为单位抛物线函数,其数学表达式为0t

0t

0r(t)

1

2

t31R(s)

s2At

t

0r(t)

0s32

AR(s)

三．抛物线函数（加速度）r(t)t

0to

(t)dt

1r(t)

(t)

0A=1时称为单位脉冲函数,其数学表达式为t

0及t

0t

0R(s)

1四．脉冲函数

r(t)

A0

t

0及t

0

t

R(s)

AAtr(t)o五．正弦函数r(t)

0t

0Asin

t

t

0S

2

2R(s)

四种典型单位输入信号r(r(r(r(r4.1.2

控制系统的时域性能指标时间响应由动态过程、稳态过程两部分组成。动态过程；

（瞬态过程、过渡过程）指系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。稳态过程：当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现形式。性能指标：

包含动态指标和稳态指标说明稳：(

基本要求)

系统响应要收敛；准:

(

稳态要求）稳态输出与给定信号间的误差(稳态误差)要小快:

(

动态要求)

过渡过程要平稳，迅速。阶跃响应性能指标动态性能py(t)

trtptd0.501tst稳态误差延迟时间t：曲线第一次达d到终值一半所需时间。上升时间tr：从终值10%上升到终值90%所需时间；有振荡系统定义为从零第一次上升到终值所需时间。峰值时间tp：响应到达第一个峰值所需时间。调节时间ts：到达并保持在终值5％误差带内所需的最短时间超调量%：最大偏离量c(tp)与终值c(∞)之差的百分比，即

%

c(tp

)

c()

100%c()稳态性能：由稳态误差ess描述。c(t)t动态性能指标定义1c(t)t峰值时间tpAB超调量σ%=BA

100%上升时间tr调节时间ts+0.05-0.05c(t)t上升时间tr调节时间ts动态性能指标定义20.950.05tAB动态性能指标定义3c(t)trtptsσ%=BA

100%0.054.2.1

一阶系统的数学模型R(s)C(s)E(s)-1/Ts结构图(a)dt微分方程：T

dc(t)

c(t)

r(t)传递函数:C(s)

1R(s)

Ts

1式子中T的含义随系统的不同而不同。4.2

一阶系统的时域分析R(s)C(s)11

Ts结构图(b)j0P=-1/Ts平面零极点图：4.2.2一阶系统的单位阶跃响应(无零点)单位阶跃响应T2T3T010.632输入

输出

C(s)

Ts

1

1

1

Ts

1

s

s1Tc(t)

1

e1/Tt

0

1

tTc(T)=0.632c(∞)c(2T)=0.865c(∞)c(3T)=0.95c(∞)c(4T)=0.982c(∞)由此特点判别系统是否为一阶环节输出响应Tedt

Tdc(t)

1|t

0

T

1

t|t

0

1性能指标：c(t)=50

%，td=0.69Tc(t)=10%和c(t)=90%c(t)=95%

(允许误差5%)

(t=3T)tr=2.20T；ts=3T单位阶跃响应的斜率:0.6320.8650.950.982c(t)

初始斜率为1/Tc(t)=1-e-t/T0tT2T3T

4T1一阶系统特点可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；初始斜率为1/T；无超调；稳态误差ess=0。

1

tT输出响应c(t)

1

et

01T4.2.3一阶系统的单位脉冲响应单位脉冲响应c(0)

1TT

2c(0)

1无零点的一阶系统Φ(s)=Ts+11,

T时间常数Ts

1输入

R(s)

1

输出c(s)

1

c(t)=1Te-tT输出响应T4.2.4一阶系统的单位斜坡响应单位斜坡响应T0Ts2输入R(s)

1位置误差随时间增大,最后为常值T无零点的一阶系统Φ(s)=1Ts+121

1输出c(s)Ts

1

s输出响应c(t)=t-T+Te-t/TtTdc(t)

dt1

e输出速度4.2.5

一阶系统的单位加速度响应误差：e(t)=r(t)-c(t)=Tt-T2(1-e-t/T)随时间推移而增长，直至无穷。因此一阶系统不能

加速度函数。1

1Ts

1

s3输入R(s)

1

输出

c(s)

s32输出响应c(t)

1

t

2

Tt

T

2

(1

et

/T

)1无零点的一阶系统Φ(s)

=

Ts+1线性定常系统的特性单位脉冲信号r(t)

(t)R(s)

11

1

tc(t)

e

TT单位阶跃信号r(t)

1

1

tc(t)

1

e

T单位斜坡信号r(t)

tR(s)

1s2

1

tc(t)

t

T

Te

T单位加速度信号r(t)

t

22R(s)

1

s3c(t)

1

t

2

Tt

T

2

(1

et

T

)2线性系统输入信号微分的响应，等于系统对输入信号响应的微分,系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响应的积分，这一特性适用于任何阶线性定常连续系统，非线性系统及线性时变系统不具有这种特性。例4.1

如图示,（1）求Kh=0.1时的ts,KhC(s)R(s)100/sE(s)(-)解题关键：化闭环传递函数为标准形式。与标准形式对比得：T=1/10=0.1，ts=3T=0.3

(s),G(s)

100

/

s(s)

100

10

10

1

G(s)H

(s)

1

(100

/

s)Kh

s

10

1

s

/10

1

Ts（2）要求ts=0.1s,求Kh

.解:(1)100

/

s

1

/

Kh1

Kh

100

/

s

1

s

/

100

Kh(s)

(2)

1

0.1100

Kh

3hK

0.3要求ts=0.1

(s),

，即3T=0.1(s),Tss

1110KH10KO110KH0.210KO0.2s

110KH0.2s

10.2s

11

10KHKOG(S

)1

KH

G(s)要求0.1T

0.2,K

1010KO(s)

OKHK

100.9对应的时间常数

T

0.1T

0.2

，K

K

10

求K0,KHR

s例4.2要求(s)

C

s系统增益10K0

K

10

110KH0.2

T

0.02110KH1、3个图各如何求T？2、调节时间ts=？3、r(t)=vt时，ess=？4、求导关系小结5、k≠1时c(t)=Tr(t)=

δ(t)1e-

tTr(t)=1(t)c(t)=1-e-t/Tr(t)=

tc(t)=t-T+Te-t/TTs

1(s)

k

时的一系列问题2s

3G(s)

4s

5c(0)

1TT

2c(0)

1c(T)=0.632c(∞)c(3T)=0.95c(∞)c(2T)=0.865c(∞)c(4T)=0.982c(∞)c(0)

1T例4.3

r(t)

1分子分母同阶的一阶系统(s)

s

2s

3c(0)

1,

c()

0.673

3c(t)

2

1

e3ts如何求t

?s令2

1

e3t＝0.6865

解得t3

3s

2(s)

s

5c(0)

1,

c()

2.5c(t)

2.5

1.5e2t

2.425st

1.4978661s

3(s)

1

T

13s

2(s)

1

3

T

12ts

3T

1sts

3T

1.5s由TS的定义,(1-0.67)0.05=0.01650.0165+0.67=0.6865对应求ts4.3.1

二阶系统的数学模型可以用二阶微分方程描述的系统为二阶系统。已知RLC电路的微分方程：d

2c(t)

dc(t)dt2

dt

RC

c(t)

r(t)LCLCi(t)

Rur(t)uc(t)为线性二阶微分方程，所以图示为二阶系统。求拉氏变换，得二阶系统的传递函数4.3二阶系统的时域分析LCs2

RCs

11R(s)(s)

C(s)

(s)

R(s)

LCs2

RC(s)R(s)n

2s

2

2

n

s

n

2(s)

LCn

1

——为自然频率，单位rad/s；R

C

2L

——二阶系统的阻尼比，无纲量典型二阶系统的闭环传递函数标准形式R(s)C(s)(-)2

n

s(s

2n

)2nns(s

2

)G(s)

开环传递函数

结构图令闭环传递函数分母多项式为零，得闭环系统的特征方程2

02nns

2

s

22

0nns

2

s

n

n1、2s

j

1

2s1、2

jns1、2

n

2

11、2s

n

n欠阻尼：0<

<1无阻尼：=0临界阻尼：=1过阻尼：>1闭环系统的特征方程闭环特征方程根（闭环极点）1、2s

2

1n

n这一节重点是各种输入时，不同特征根的状况，即输入为单位阶跃信号

r(t)

1sR(s)

11

1nnnn2ns

2n

2

s

s

s

s2

2

s

21

2

22nnns

n输出C(s)s2整理C(s)

1

snn(s

)2

1

2

(s

)

令：

d

n

1

22

2(s

n

dC(s)

1

s

(s

)

n

e

sin

t

1cos

t

c(t)

1

eent

t1

2

1

2sin

t

arctg

dd

td

ndnn拉氏反变换，输出阶跃响应为1,2n

nn

d

j1

2

j1.欠阻尼

(0<

<

1)

s4.3.２二阶系统的单位阶跃响应211

衰减系数：n滞后角

tg由稳态和瞬态两部分组成，稳态部分等于1，表明不存在稳态误差，瞬态部分是阻尼振荡，阻尼的大小由

n(即特征根实部n

=σ

）决定；d为阻尼自然频率,由阻尼比ζ和自然频率n决定；无稳态误差。响应曲线如图1

2

tc(t)

1

e

n

sin(

t

)d(t0)结论阶跃响应2.无阻尼

(ζ

=0)(t0)c(t)

1cosnt输出阶跃响应响应曲线：无阻尼的等幅振荡n

自然频率R(s)s1,2C(s)n

n

2s2

2

s

2

n

传递函数

jn一对相等的纯虚根s1

j0s2响应曲线：单调上升，无振荡、无超调、无稳态误差。3.临界阻尼

(ζ=1)R(s)C(s)n

n

2s2

2

s

2

n

系统传递函数输出阶跃响应

c(t)

1

ent

(1

t)n(t0)s1,2

n一对相等的负实根：jS

,1

202R(s)C(s)n

ns2

2

2

s

n

响应曲线：单调上升，无振荡，过渡过程时间长，无稳态误差。4

过阻尼

(ζ

>

1)传递函数

2

1)

tne(

2

1)

te(

c(t)

1

2

2

2

2121)1(

21)1(

1一对不相等的负实根阶跃响应

1

T2

/T1

1

T1

/T2

1et

/

T1

et

/

T2

2s1,2

n

n

1j0S2S11)1

2

(

1T

n12n

(

1)式中T2

（T1＞T2）响应曲线：振荡发散响应曲线：单调发散222C(s)nnn

s

R(s)

s

25.

负阻尼

(ζ

<0)传递函数极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。动画

21,21

n

n一对相等的纯虚根

sj0S1

S2S1S2二阶系统单位阶跃响应定性分析Φ(s)

=

s2+2ξωns+ωn2n

ω

2tj0j0j0j0T11T21ξ＞1ξ＝10＜ξ＜1ξ＝0c

过阻尼

临界阻尼零阻尼欠阻尼（动画）阻尼比决定了系统的振荡特性：<0时，响应发散，系统不稳定；

=0时，等幅振荡；0<

<1时，有振荡，

愈小，振荡愈严重，但响应

，

≥1时，无振荡、无超调。除不允许产生振荡的系统，通常采用欠阻尼状态，阻尼比选择在0.4~0.8之间，保证系统有好的运动动态。

一定时，ωn越大，瞬态分量衰减越快，系统能更快达到稳态值，系统的快速性越好。结论4.3.3欠阻尼二阶系统的动态过程分析阻尼比希望值为（0.4～0.8）动态指标：tr

、tp

、

p

%、ts欠阻尼二阶系统的特征参量0ωns1=cos-ns2j

jdr（1）上升时间t

c(t)

1sin(

t

)1

2e

ntd

1

2nd211

tg因为1

2

0n

re

td

r

t

k，有sin(d

tr

)

0(k

0,1,

2

)即依定义，令c(t)=1，c(tr

)

1sin(dtr1

2

)

1entrξ一定时，ωn越大，tr越小ωn一定时，ξ越大，tr越大2d

cos1

n

1

取k=1,得

tr

（2）峰值时间tp1

2c(t)

1sin(d

t

)(t

0)entξ一定时，ωn越大，tp越小；ωn一定时，ξ越大，tp越大。|

0dc(t)t

t

pdt依定义，令上求导式为零。得d

p

t

0,

,2

...即1

2

n

sin(d

t

p

)

0

e

nt

p所以d

p有

sin

t

0

entp

n

01

2因为pdt

1

2npt

是阻尼振荡周期的一半得0ωns1=cos-ns2j

jdpdn

1

2依定义将

t

代入上式c(t)

1sin(d

t

)1

2(t

0)ent1

21p得

c(t

)

1ep

1

2c(t

)

c()

%

100%

e

100%pc()最大超调量百分比为

p

%仅与阻尼比ξ有关。ξ越大，

p%越小，系统的平稳性越好.ξ =

0.4~0.8→

p

%=25.4%~1.5%。（3）超调量

p

%（3）调整时间ts单位阶跃响应进入±误差带的最小时间。依定义(t

ts

)(t

t

s

)c(t)

c()

c()有ensin(dt

)

1

2

t所以entsin(d

t

)

1

2

1

2ent

(t

t

s

)1

2e

nt即(t

0)entc(t)

1

sin(d

t

)1

2c(t)t011

e-

nt1

21e-

nt1

21

nT

包络线s通常用包络线代替实际曲线估算t

，如右图一对包络线包络线1

2n

s

t1

e

1

nts

ln

ln

1

2snt

(=5%)取

≤0.5得3s2121

1

ent1

1

ent12ts2由包络线求调节时间tseddnsin(

t

)

t

1

12中的sin(

t

)

1令(t)

1

cn

ln

ln

1

2ts

1、二阶系统的动态性能由ωn和决定。2、增加→降低振荡，减小超调量

p

%，→系统快速性降低，tr、tp增加；3、一定，ωn越大，系统响应快速性越好，tr、tp、ts越小。4、

p

%仅与有关，而tr、tp、ts与

、ωn有关，通常根据允许的最大超调量来确定

。一般选择在0.4~0.8之间，然后再调整ωn以获得合适的瞬态响应时间。小

结Ks(Tm

s

1)R(s)(-)C(s)1

2

%

e100%

16.3%2

0.73秒

d

n

1

ptrt

0.486秒sndt

3

1.4秒s(Tms

1)

KK1

G(s)G(s)(s)

解：闭环传递函数为有

2n=1/Tm=5,得

n=5,

ζ=0.5n2=K/Tm=25例4.4

图中Tm=0.2，K=5，求单位阶跃响应指标。化为标准形式nnm

ms2

s2K

/

T

2

2

s

2

s

/

T

K

/

T(s)

m

n

K

K

/Ts2解：(1)

(s)

Ts2

s

K

s

/T

K

/T2nK

T

1

T

2

n与典型二阶系统比较，得n

K

T

1

2

KT

0.25特征参数与实际参数的关系为n

8（2）K=16，T=0.25，得drt

0.24(s)dpt

0.41(s)1

2

/

p

%

e100%

44%t

3.

1.75(s)(

0.05)sn将n

、代入动态性能指标公式得例4.5

如图示，（1）求特征参数与实际参数的关系；（2）K=16，T=0.25，计算动态性能指标。C(s)ks(Ts

1)R(s)-例4.6单位反馈的二阶系统响应曲线如图示，求开环传递函数。解：由图示，先确定二阶系统参数，再求传递函数。1

2%

30%

0.3

e

/

100%1

2

ln

e

ln

0.3

1.2

0.36npd

1

2t

1

2n

0.1秒

0.934

31.4

33.6秒131.41

G(s)G(s)s2

24.2s

11301130n

ns2

2

s

22(s)

n

s(s

24.2)1129s(s

2n)1

(s)(s)G(s)

2

n

0t(s)1.310.1c(t)例4.7

系统及阶跃响应曲线如图示,求K1、K2和a。解：由图(b)

得

c()

2R(s)

k1K2s(s

a)C(s)_(a)(b)t(s)C(t)2.1820

0.8c()

lim

sC(s)

K1

(0)2

%

2.18

2

0.09pt

02K1K2s(s2

as

K

)s0得K1=2。是闭环传函在,s=0的值，即系统输出C(s)

(s)

R(s)2n

2

Kn2

a

得K2=24.46

,

a=6.01。阶跃响应的稳态输出值由超调量和峰值时间公式得

2

ln

2

ln

2

0.608

2ln

2

ln

2

0.608

4.3.4

过阻尼二阶系统的动态性能指标()上式是一个

方程,可利用数值解法求不同阻尼比下的无因次时间，制成曲线备用。nect

(1)2

2

1()t

2112()2

2112()

1

1e

1()t2不允许出现超调量时，可采用过阻尼,当又希望响应速度较快时，可采用临界阻尼系统。过阻尼系统响应无峰值时间tp和%,仅上升时间tr和调节时间ts有研究意义。过阻尼系统响应et

/T1

et

/T2

1

T2

/

T1

1

T1

/

T2

1(t

0)j01T2

1T11

1.5

2tr

的关系曲线如图示，图中曲线用下式近似描述：,

（1）上升时间tr根据上升时间tr的定义，过阻尼无因次时间

ts

2

s

2

(s

1

T

)(n

n

12

T1

/

T2

1

(T1

/

T2

)得

和T1/T2的关系2T1T21由于s2（2）调节时间ts知道T1、T2，查图可求出t值。T1＞4T2时，系统等效为一阶系统，ts=3T，T1/T2=1时，由图得ts

4.75T1C(s)Ks(Ts

1)R(s)-例4.8

如图示,T=0.2(s),要求单位阶跃响应无超调，ts≤2(s)，求K、tr值。解：取

1闭环传函ts

4.75T1

1.9(s)得将K=1.25因为ωn2=1/(T1T2)，

1

，所以T1=T2，得T1=T2=0.4(s)。故将T=0.2(s)代入，且

1，得n

2.5n

K

T

5K

s

T

K

Ts2(s)

K

T

1

2.5n

1.4(s)11.5

2tr

n代入式

tr得1

1.5

24.3.5

二阶系统的单位脉冲响应输入r(t)=δ(t)，R(s)=1，输出

C(s)

(s)R(s)

ns2

2

2

s

2n

nR(s)C(s)(-)2

n

s(s

2n

)图示是不同ζ值的一簇单位脉冲响应曲线，横坐标是无因次变量，曲线是ζ的函数。由图，临界阻尼和过阻尼时，c(t)为正值或等于零，（t≥0）过阻尼1

2c(t)

nnde

sin

t

tn无阻尼

t临界阻尼c(t)

2tent(e

2

1()

nt

e

2

1()

nt

)

2

12ct()

n欠阻尼t

p

为系统脉冲响应的第一峰值时间；tp

d

d为系统脉冲响应第一峰值的幅值；p(

1

2

)arccos

p

ne从0到tc

的积分(阴影部分）恰好是单位阶跃响应的最大值；而脉冲响应首次过零时间

tc

等于阶跃响应的峰值时间。tcC(t)0tpt

p欠阻尼脉冲响应性能指标定义及数学表达式dct

首次过零时间tc为系统脉冲响应第一次衰减到零的时间；积。p单峰误差积分

为系统脉冲首响应第一峰值的积分面202'

/

11

e

sin

t

1

e

tcd

tnpn4.3.6

二阶系统的单位斜坡响应（）2

)2n

ns2

(s2

2

s

C(s)

(s)R(s)

n

输入

R(s)=1/s2，输出过阻尼：>1nnne

222222

2

1)nt(

2

1)

t11

e(

2

1

2

2n

12

2

1

2

1c(t)

t

（t≥0）临界阻尼：=12

2n

nc(t)

t

2

2

ent

(1

nt

)（t≥0）无阻尼：=0nnc(t)

t

1

sin(

t)（t≥0）欠阻尼：0<

<121

2c(t)

t

nne

ntsin(d

t

2

)

（t≥0）欠阻尼误差响应e(t)

r(t)

ndnd

t

2

1

e

sin(

t

2

)]（t≥0）欠阻尼稳态输出ssc

t

2sin(d

t

2

)cttn

1

2e

nnt欠阻尼瞬态输出单位斜坡时欠阻尼分析

(0

1)大，动态性能

。n

tne(t)

1.0

0.5

0.200.4图是不同

值的无因次误差响应曲线。显然，减小

值，减小

1.0稳态误差及峰值时间，但误差的最大偏离量增2.0tptpsse

n22]1e(t)

nnn

t

([11

t

e2（t≥0）稳态误差和误差响应分别为临界阻尼单位斜坡响应nn

nn

tt)e

c(t)

t

2

21(1

2（t≥0）单位斜坡时临界阻尼分析（

=1）过阻尼

(

1)

情况这里不再

。s0由终值定理求得稳态误差

ess

e()

lim

sE(s)

F

K例4.9

如图，

K和F改变对单位斜坡响应稳态误差的影响。画小K值，中等K值和大K值时典型单位斜坡响应曲线。C(s)Ks(s

F

)R(s)-E(s)2)

F

2n

F

2

Kn

K

增大K或减小F会使ζ减小，导致最大误差偏离量增大，动态性能变坏。结论1)增大K或减小F值，可以减小ess3）K增大一倍，ess减小到原的一半，而ζ值减小到原来数值的0.707倍，这是因为ζ与K值的平方根成反比；若F值减小到原来数值的一半，ess和ζ分别减小到原来数值的一半。因此增大K值比减小F值较为合适。单位斜坡响应在瞬态响应结束而达到稳态时，输出速度与输入速度相同，但是输出量与输入量之间存在一个固定的位置误差ess

F

K

。三种不同K值的典型单位斜坡响应曲线

。R(t)c(t)t0R(t)c(t)大k中等k小kRss

Cs

Fs

Ks2K如图，Td为微分时间常数，比例因子是1，E(s)为误差信号。C(s)R(s)Tds+1Go(s)ω2ns(s

2ωn

)E(s)(-)U(s)K

/

2n

n开环增益2(T

s

1)

(T

s

1)K(T

s

1)C(s)G(s)

n

d

n

d

d

开环传函2

22222C(s)闭环传函(s)

R(s))2nd

nns2E(s)

s(s

2n

)

2

s(s

/

2n

1)

s(s

/

2n

1)

2

2(Td

s

1)

n

s(s

2

)

2

(T

s

1)

n

n

d

2

s

T

s

1

(Td

s

1)

n

s(s

2n

)

n

d

dd

n

ns2n

nTs2

(T

s

1)

2(

)

s

s

z

n

(z

2

s

2阻尼比增大！

d

增加一个闭环零点z

1

Td4.3.7

二阶系统的性能改善比例—微分控制和测速反馈控制是两种常用的改善系统性能的方法。（1）比例—微分控制引入比例-微分控制，阻尼比增加，从而抑制振荡，使超调减弱，改善系统平稳性；闭环零点的出现，即加快系统响应速度，

使上升时间缩短，峰值提前，又削弱了“阻尼”作用。适当选择微分时间常数Ｔd，使系统即况下，有较好的平稳性，又在出现较小超提高快速性。(3)

不影响系统误差，自然频率不变。特点22

221d

n

nd

n

n

2

2C(s)

(s)R(s)

n

n

s(s

2

s

)

z

(s

2

s

)输出量拉氏变换：Tdz

122C(s)R(s)d

nnd

nns22

(1

T

s)2

(z

s)

n

d

n

2

s

z(s2

2

s

)闭环传函：其中1

d

t

)2输出响应为：c(t)

1

re

d

nt

sin(n0

dz2

2

dn

n2式中r

z

1

d21

d

(z

dn

)]

arctan(

1

d

d

)2

2

arctan[n单位阶跃信号作用下的输出响应C(s)R(s)(-)Tds+1Go(s)ω2ns(s

2ωn

)E(s)U(s)100%2

d

t

p

1

d

2

%

r

1

d

e超调量%2

t1

d

t

)

re

d

n

re

d

nt

sin(n调节时间ts:

令

为实际响应与稳态输出之间的差，则下式成立部分性能指标：d

arctan(

1

d

)2d式中2dn

1d

t

对上式求导，令其为零。得

p输出响应峰值时间tp:2

t

)c(t)

1

re

d

nt

sin(

1

n

dd nn

dd

nst

2

21222

)

ln

z

ln(1

)3

1

ln(

z

2取误差带

=0.05,由上式解得G(s)

5(0.38s

1)s(1.67s

1)G(s)1.138s

2.9941

G(s)

s2

1.737s

2.994(s)

比例微分校正

0.173

57.6%

0.5

%

16.3%22t

n

ns2

2

s

(s)

n

闭环传函数n2

Ktn开环增益KK

R(s)Ｅ(s)(-)C(s)ω2

n

s(s

2ζωn

)KtS(-)t

nnt

nns2G(s)

n

K

2

1]

(2

K

2

)s

s[s

/(2

2(2)测速反馈控制图中输出量的速度信号反馈到输入端，与误差信号E(s)比较后，改善系统的动态性能。开环传函K式中

t为阻尼比1R(s)

C(s)-10s

2例4.10分析：1）该系统能否正常工作？2）要求=0.707，系统如何改进？R(s)

1sc(t)

1

cos

10t等幅不衰减振荡，工作不正常

0.7072n

10n

10

0.444(s)10

2nR(s)C(s)-s

210-ss2R(s)

10s

10C(s)

10２）增加测速反馈，闭环传函s2

10C(s)

10解1）R(s)=0

无阻尼两种控制系统比较如下:(1)开环增益K，比例—微分控制不改变开环增益K。（2）n

不变，阻尼比增大

。分别为比例—微分控制提供一个实零点，在相同的阻尼比时，超调量大于速度反馈控制。比例—微分控制对输入噪声有放大作用，输入端高频噪音严重时，不宜选用此方法。测速反馈控制无需设置放大器，适合任何输出可测的控制系统。取Kt=Td，

d

。

tt

nt2

1

K

d

d

n2

1

T

4.3.8

初始条件不为零的二阶系统响应（自学）二阶系统的微分方程a0c(t)

a1c(t)

a2c(t)

b2r(t)拉氏反变换

c(t)

c1(t)

c2

(t)零输入响应取

0

1

c

(t)

1-e-nt

1

sin(

t

)1

1

2

dc2

(t)

e

n

c(0)d

c(0)n

c(0)

sin(d

t

)1

t

2

2d式中

arctan

c(0)dc(0)

n

c(0)2若ζ=0

c2

(

arctan

c(0)n1

c(0)21

)c1

(t),c2

(t)有相同的衰减振荡特性零状态响应4.4高阶系统的时域分析（掌握）三阶系统的暂态响应高阶系统的单位阶跃响应

(

难点)闭环主导极点一阶因子引起的非周期指数衰减二阶因子引起的阻尼振荡11sin(sin(nnndd

2

t

t

t2(1

T

)tc(t)

1

Ae

t

)

A

e

1

Ae

t

)

A

e输出响应s1s2s3n三阶系统的传递函数响应曲线分析当=，为二阶系统；附加一个实数极点（0<<），原二阶系统的单位阶跃响应：超调量

上升时间

峰值时间;３）>1,

呈二阶系统特性；s3距虚远,s1、s2距虚轴近,特性主要取决于s1、s2。４）<1,

呈一阶系统特性；s3距虚轴近,s1、s2距虚轴远,特性主要取决于s3。高阶系统主导极点(s2+2s+5)(s+6)Φ1(s)=

30

(s2+2s+5)2Φ

(s)=

5

σ

%=

19.1%ts=

3.89sσ

%=

20.8%ts=

3.74s增加极点对ζ有何影响？例4.11

分子分母同阶的二阶系统增加零点,削弱阻尼,超调变大,上升时间变短,调节时间不一定小。s2

2s

22(s)

2(s

1)

s2

2s

2(s)

s2

2s

22(s

1)2(s)

123选一组a,b,c使

4

与

2

的ts相同3

与

1

的ts相同4(s)

s2

2s

2as2

bs

c4.4.1高阶系统的阶跃响应闭环传函(s)

C(s)

G(s)R(s)

1

G(s)H

(s)C(s)R(s)

E(s)-G(s）H(s）22mqrk

kkj

1

k

11s

2

s

)K

(s

zi

)i1(s

s

j

)(s输入为单位阶跃函数时，输出为C(s)

(s)R(s)

q个实数极点r对共轭复数极点q+2r=

n无重极点，按部分分式展开rk

k

k

k

k

qjB

s

CAjA2k

1

s2s

j

1

s

sC(s)

0

2

s

nmabA

lim

sC

(s)

s00Aj

lim

(s

s

j

)C(s)ssj、是复数极点kBkCkkk

k1

2

处有关的常系数s

j若闭环极点都位于S平面左侧，t→∞时，指数项和阻尼正弦、余弦项为零，稳态输出为

A0

。极点距虚轴的距离越远，曲线衰减越快；s4s

s13s2s5s3S1,

s2s4,

s5rkk

k

k

k

qjB

s

CAjA2k

1

s2s

j1

s

sC(s)

0

2

s

22cos(jk

kqrskkkk2k

tj

1

k

1k

1c(t)

A

A

e

B

e

1

)t

Bk

kk

e

kkt

sin(1

)tk

1

0

j

k单位阶跃响应为(t≥0)衰减系数

Ck衰减系数衰减系数4.4.2闭环主导极点闭环主导极点主导系统响应的变化过程；距虚轴较近，周围没有其它极点和零点；其实部值与其它极点的实部相比小五倍以上。1,2

j

1

2n

n设高阶系统的主导极点

s(0＜＜1)该式具有二阶系统的响应规律与前述欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应不完全相同基于一对复数主导极点的高阶系统单位阶跃响应近似表达式拉氏反变换，得考虑了闭环零点和非主导极点的影响4.4.3高阶系统性能指标估算

M

(s1

)

]1

1d

pcos[

tnd

d

ps1D

(s1

)s

D

(s)

sin[

t

M

(s1

)

]

对输出式求导，并令其为零，得1mnd

p1

ini(1)

峰值时间tp:d22i1i1i3上式得

t

(

)

(s

z

)

(

)

(s

z

)

(s1

si

)

(s1

si

)i3m

1

[

闭环零点使系统响应加快，闭环零点越接近虚轴，这种作用越显著；闭环非主导极点使系统响应变缓；闭环零、极点彼此接近，对系统响应的影响相互抵消；若不存在闭环非主导极点和闭环零点，tp与典型二阶系统的峰值时间相同.(2)

超调量%故1n

mm

nM

(s

)s1D(s1

)i

1

i

2(si

)(s1

zi

)

i

1

i

1

s1

(zi

)(s1

si

)得1m ni1

i2

nme

nt

p

100%ss1(zi

)(s1

si)(si

)(s1

zi

)

%

2

i1

i1

ds1、s2为共轭极点，有

s1

s2s1

s2

2d21m

n

i

1

i

2n

mzi

s1

si

si

s1

zis

ss

s100%

PQe

nt

p

100%

i

1

i

1

e

nt

p

%

1

2ddtp

1

s1D(s1

)由于式中

sinn

sii3

s1P

i3

mm

zi

zii

1Q

i

1

s1P是闭环非主导极点修正系数，Q是闭环零点修正系数。，使P值减小，阻尼若P=Q=1，与典型二阶系统中的超调量相同。1

i

i从上式知，闭环零点靠近虚轴，使

s

z

z

,Q值加大，阻尼减小，超调量增加；闭环非主导极点距虚较近，s1

si增大，超调量减小；

si若si

Re(s1

)，系统为过阻尼，该si

成为闭环主导极点；21m

ni1

i2nm

zi

s1

si