二次函数平行四边形存在性问题例题

二次函数平行四边形存在性问题例题二次函数平行四边形存在性问题例题二次函数平行四边形存在性问题例题合用标准文案二次函数平行四边形存在性问题例题一．解答题（共9小题）1．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．1）求抛物线的剖析式；2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上可否存在一点N，使以A，C，M，N四点组成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明原由．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点右侧）．1）求抛物线的剖析式及点B坐标；2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；（3）试试究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上可否存在点P，使以M，F，B，P为极点的四边形是平行四边形？若存在，央求出点P的坐标；若不存在，试说明原由．文档合用标准文案3．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的剖析式；2）若（1）中抛物线的极点为D，在直线BC上可否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明原由；（3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N（点F在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上可否存在一点Q，使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，央求出点Q的坐标；若不存在，请说明原由．4．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的剖析式；2）若抛物线的极点为D，在直线BC上可否存在点P，使得四边形ODAP为文档合用标准文案平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明原由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．5．如图，Rt△OAB以下列图放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的地址，一条抛物线正好经过点O，C，A三点．1）求该抛物线的剖析式；2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长可否有最大值？若是有，央求出最值，并写出解答过程；若是没有，请说明原由．（3）若是x轴上有一动点H，在抛物线上可否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点组成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明原由．文档合用标准文案6．如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．1）求抛物线的剖析式；2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，央求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上可否存在点P，使得以P、Q、A、M为极点的四边形是平行四边形？若是存在，请直接写出点P的坐标；若是不存在，请说明原由．7．如图，抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点，其中B（4，0）、C（﹣2，0），连接AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作DE文档合用标准文案x轴，垂足为E，交AB于点F．（1）求此抛物线的剖析式；（2）在DE上作点G，使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；（3）过D点作直线DH∥AC交AB于H，当△DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接写出吻合要求的M、N两点的横坐标．8．已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y=x2订交于B、C两点．1）如图1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的剖析式；2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，可否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为极点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明原由；（3）如图2，设B（m．n）（m＜0），过点E（0．﹣1）的直线l∥x轴，BR⊥l于R，CS⊥l于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明原由．文档合用标准文案9．抛物线y=x2+bx+c经过A（0，2），B（3，2）两点，若两动点D、E同时从原点O分别沿着x轴、y轴正方向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度．（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）若点C为抛物线与x轴的交点，可否存在点D，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明原由；（3）问几秒钟时，B、D、E在同一条直线上？文档合用标准文案2017年05月03日1587830199的初中数学组卷参照答案与试题剖析一．解答题（共9小题）1．（2016?安顺）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．1）求抛物线的剖析式；2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上可否存在一点N，使以A，C，M，N四点组成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明原由．【解答】解：（1）设抛物线的剖析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，∴，文档合用标准文案解得．∴抛物线的剖析式为：y=x2﹣2x﹣；（2）∵抛物线的剖析式为：y=x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，﹣），∴设直线BC的剖析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的剖析式为y=x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）；3）存在．如图2所示，文档合用标准文案①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），∴N1（4，﹣）；②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．x2﹣2x﹣=，解得x=2+或x=2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）．综上所述，吻合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．文档合用标准文案2．（2016?十堰一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．1）求抛物线的剖析式及点B坐标；2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；3）试试究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上可否存在点P，使以M，F，B，P为极点的四边形是平行四边形？若存在，央求出点P的坐标；若不存在，试说明原由．【解答】解：（1）当y=0时，﹣3x﹣3=0，x=﹣1∴A（﹣1，0）当x=0时，y=﹣3，∴C（0，﹣3），文档合用标准文案∴∴，抛物线的剖析式是：y=x2﹣2x﹣3．当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3∴B（3，0）．（2）由（1）知B（3，0），C（0，﹣3）直线BC的剖析式是：y=x﹣3，设M（x，x﹣3）（0≤x≤3），则E（x，x2﹣2x﹣3）∴ME=（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+；∴当x=时，ME的最大值为．（3）答：不存在．由（2）知ME取最大值时ME=，E（，﹣），M（，﹣）∴MF=，BF=OB﹣OF=．设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为极点的四边形是平行四边形，则BP∥MF，BF∥PM．∴P1（0，﹣）或P2（3，﹣）当P1（0，﹣）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=﹣3≠﹣∴P1不在抛物线上．当P2（3，﹣）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=0≠﹣文档合用标准文案∴P2不在抛物线上．综上所述：在x轴下方抛物线上不存在点P，使以P、M、F、B为极点的四边形是平行四边形．3．（2016?义乌市模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的剖析式；（2）若（1）中抛物线的极点为D，在直线BC上可否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明原由；（3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N（点F在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上可否存在一点Q，使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，央求出点Q的坐标；若不存在，请说明原由．【解答】解：（1）连接CH由轴对称得CH⊥AB，BH=BO，CH=CO∴在△CHA中由勾股定理，得AC2=CH2+AH2文档合用标准文案∵直线与x轴、y轴的交点分别为A、B两点∴当x=0时，y=6，当y=0时，x=8∴B（0，6），A（8，0）∴OB=6，OA=8，在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=10设C（a，0），∴OC=a∴CH=a，AH=4，AC=8﹣a，在Rt△AHC中，由勾股定理，得8﹣a）2=a2+42解得a=3C（3，0）设抛物线的剖析式为：y=ax2+bx+c，由题意，得解得：∴抛物线的剖析式为：∴（2）由（1）的结论，得D（）∴DF=文档合用标准文案设BC的剖析式为：y=kx+b，则有解得直线BC的剖析式为：y=﹣2x+6设存在点P使四边形ODAP是平行四边形，P（m，n）作PE⊥OA于E，HD交OA于F．∴∠PEO=∠AFD=90°，PO=DA，PO∥DA∴∠POE=∠DAF∴△OPE≌△ADF∴PE=DF=n=∴×=P（）当x=时，y=﹣2×+6=1≠∴点P不再直线BC上，即直线BC上不存在满足条件的点P．（3）由题意得，平移后的剖析式为：∴对称轴为：x=2，当x=0时，y=﹣当y=0时，0=文档合用标准文案解得：∵F在N的左侧F（，0），E（0，﹣），N（，0）连接EF交x=2于Q，设EF的剖析式为：y=kx+b，则有解得：∴EF的剖析式为：y=﹣x﹣∴解得：∴Q（2，）．文档合用标准文案4．（2016?深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的剖析式；2）若抛物线的极点为D，在直线BC上可否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明原由；3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．文档合用标准文案【解答】解：（1）点C的坐标为（3，0）．（1分）∵点A、B的坐标分别为A（8，0），B（0，6），∴可设过A、B、C三点的抛物线的剖析式为y=a（x﹣3）（x﹣8）．将x=0，y=6代入抛物线的剖析式，得．（2分）∴过A、B、C三点的抛物线的剖析式为．（3分）（2）可得抛物线的对称轴为直线，极点D的坐标为，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G．直线BC的剖析式为y=﹣2x+6.4分）设点P的坐标为（x，﹣2x+6）．解法一：如图，作OP∥AD交直线BC于点P，连接AP，作PM⊥x轴于点M．∵OP∥AD，∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．∴，文档合用标准文案即．解得．经检验是原方程的解．此时点P的坐标为．（5分）但此时，OM＜GA．∵，∴OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，∴直线BC上不存在吻合条件的点P（6分）解法二：如图，取OA的中点E，作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于点N．则∠PEO=∠DEA，PE=DE．可得△PEN≌△DEG．由，可得E点的坐标为（4，0）．NE=EG=，ON=OE﹣NE=，NP=DG=．∴点P的坐标为．（5分）∵x=时，，∴点P不在直线BC上．文档合用标准文案∴直线BC上不存在吻合条件的点P．（6分）（3）|QA﹣QO|的取值范围是．（8分）当Q在OA的垂直均分线上与直线BC的交点时，（如点K处），此时OK=AK，则|QA﹣QO|=0，当Q在AH的延长线与直线BC交点时，此时|QA﹣QO|最大，直线AH的剖析式为：y=﹣x+6，直线BC的剖析式为：y=﹣2x+6，联立可得：交点为（0，6），∴OQ=6，AQ=10，∴|QA﹣QO|=4，∴|QA﹣QO|的取值范围是：0≤|QA﹣QO|≤4．5．（2016?山西模拟）如图，Rt△OAB以下列图放置在平面直角坐标系中，直角文档合用标准文案边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的地址，一条抛物线正好经过点O，C，A三点．1）求该抛物线的剖析式；2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长可否有最大值？若是有，央求出最值，并写出解答过程；若是没有，请说明原由．（3）若是x轴上有一动点H，在抛物线上可否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点组成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明原由．【解答】解：（1）因为OA=4，AB=2，把△AOB绕点O逆时针旋转90°，可以确定点C的坐标为（2，4）；由图可知点A的坐标为（4，0），又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，得，解得所以抛物线的剖析式为y=﹣x2+4x；文档合用标准文案（2）四边形PEFM的周长有最大值，原由以下：由题意，以下列图，设点P的坐标为P（a，﹣a2+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF，∴EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，则矩形PEFM的周长L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10，∴当a=1时，矩形PEFM的周长有最大值，Lmax=10；3）在抛物线上存在点N，使O（原点）、C、H、N四点组成以OC为一边的平行四边形，原由以下：∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4可知极点坐标（2，4），∴知道C点正好是极点坐标，知道C点到x轴的距离为4个单位长度，过点C作x轴的平行线，与x轴没有其他交点，过y=﹣4作x轴的平行线，与抛物线有两个交点，这两个交点为所求的N点坐标所以有﹣x2+4x=﹣4解得x1=2+，x2=2﹣∴N点坐标为N1（2+，﹣4），N2（2﹣，﹣4）．文档合用标准文案6．（2015?葫芦岛）如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．1）求抛物线的剖析式；2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，央求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上可否存在点P，使得以P、Q、A、M为极点的四边形是平行四边形？若是存在，请直接写出点P的坐标；若是不存在，请说明原由．【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，文档合用标准文案∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0），∵抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点，∴解得∴y=﹣x2+x+3．（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，，∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，∴设点E的坐标是（x，﹣x2+x+3），则点M的坐标是（x，﹣x+3），∴EM=﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+x，∴S△BEC=S△BEM+S△MEC=×（﹣x2+x）×4﹣x2+3x文档合用标准文案﹣（x﹣2）2+3，∴当x=2时，即点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3．（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为极点的四边形是平行四边形．①如图2，，由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线y=﹣x+3上，∴点M的坐标是（2，），又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM==，∴AM所在的直线的斜率是：；∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），则文档合用标准文案解得或，∵x＜0，∴点P的坐标是（﹣3，﹣）．②如图3，，由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线y=﹣x+3上，∴点M的坐标是（2，），又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM==，∴AM所在的直线的斜率是：；∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），文档合用标准文案则解得或，∵x＞0，∴点P的坐标是（5，﹣）．③如图4，，由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线y=﹣x+3上，∴点M的坐标是（2，），又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM==，∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），文档合用标准文案则解得，∴点P的坐标是（﹣1，）．综上，可得在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为极点的四边形是平行四边形，点P的坐标是（﹣3，﹣）、（5，﹣）、（﹣1，）．7．（2015?梧州）如图，抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点，其中B（4，0）、C（﹣2，0），连接AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作DE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F．1）求此抛物线的剖析式；2）在DE上作点G，使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；3）过D点作直线DH∥AC交AB于H，当△DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接写出吻合要求的M、N两点的横坐标．文档合用标准文案【解答】解：（1）∵B，C两点在抛物线y=ax2+bx+2上，∴，解得：．∴所求的抛物线为：y=．（2）抛物线y=，则点A的坐标为（0，2），设直线AB的剖析式为y=kx+b，∴，解得：．∴直线AB的剖析式为y=﹣x+2，设F点的坐标为（x，x+2），则D点的坐标为（x，），∵G点与D点关于F点对称，∴G点的坐标为（x，），若以G为圆心，GD为半径作圆，使得⊙G与其中一条坐标轴相切，①若⊙G与x轴相切则必定由DG=GE，即﹣x2+x+2﹣（）=，解得：x=，x=4（舍去）；②若⊙G与y轴相切则必定由DG=OE，即解得：x=2，x=0（舍去）．综上，以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G与其中一条坐标轴相切时，G点的文档合用标准文案横坐标为2或．（3）M点的横坐标为2±2，N点的横坐标为±2．8．（2015?资阳）已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y=x2订交于B、C两点．1）如图1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的剖析式；2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，可否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为极点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明原由；（3）如图2，设B（m．n）（m＜0），过点E（0．﹣1）的直线l∥x轴，BR⊥于R，CS⊥l于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明原由．【解答】解：（1）因为点C在抛物线上，所以C（1，），又∵直线BC过C、F两点，故得方程组：文档合用标准文案解之，得，所以直线BC的剖析式为：y=﹣x+1；（2）要使以M、D、O、F为极点的四边形为平行四边形，则MD=OF，如图1所示，设M（x，﹣x+1），则D（x，x2），∵MD∥y轴，∴MD=﹣x+1﹣x2，由MD=OF，可得|﹣x+1﹣x2|=1，①当﹣x+1