【教学课件】正弦函数、余弦函数的性质（第一课时）参考教学课件

正弦函数、余弦函数的性质第一课时

一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数f（x）的周期；如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期；新知探究问题1

什么叫周期函数？什么叫周期？什么叫最小正周期？如果一个函数是周期函数，那么它满足的代数关系是什么？图象特征是什么？

周期函数的代数关系是f（x＋T）＝f（x）；周期函数的图象每隔一个周期就会重复出现．新知探究问题1

什么叫周期函数？什么叫周期？什么叫最小正周期？如果一个函数是周期函数，那么它满足的代数关系是什么？图象特征是什么？

追问知道了一个函数的周期，对研究它的图象与性质有什么帮助？明确了一个函数的周期，那么我们研究它的图象与性质时，就可以缩小研究范围，只要清楚一个周期内的图象与性质，整体定义内的情况就都清楚了，提高了研究的效率．新知探究

2kπ，其中k∈Z且k≠0，或±2π，±4π，……．利用诱导公式一，即sin（2kπ＋x）＝sinx可以解释猜想的正确性．新知探究问题2

观察单位圆上点的纵坐标这种“周而复始”的变化规律，猜想正弦函数的周期是多少？用代数方法如何解释你的猜想？不是．

追问1

我们知道，自变量的值每增加2kπ（k∈Z）个单位，函数值都用重复出现．那么

是正弦函数y＝sinx的一个周期吗?为什么?从函数值变化的角度解释：为什么可以说2kπ(k∈Z)是正弦函数的周期？比如．根据诱导公式可知，当x取正弦函数定义域内的每一个自变量的值时，新知探究

追问2

在正弦函数的所有正周期中，是否存在一个最小的正数？2π．因此正弦函数的最小正周期是2π．对于任意的t∈（0，2π），都可以找到一个x0，使得sin（x0＋t）≠sinx0．新知探究追问3

在此基础上，你能说出余弦函数的周期吗？2π．

解答：（1）由诱导公式sin（－x）＝－sinx，cos（－x）＝cosx，可知，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数；新知探究问题3

（1）如何证明正弦函数、余弦函数的奇偶性？（2）知道一个函数的奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助？

解答：（2）知道一个函数的奇偶性，同样也可以缩小我们研究函数的范围，因为奇、偶函数的图象分别关于原点、y轴对称，所以只需要搞清楚函数在y轴右侧的图象与性质，那么，整个定义域内的图象与性质就都知道了，可以提高我们研究函数的效率．新知探究问题3

（1）如何证明正弦函数、余弦函数的奇偶性？（2）知道一个函数的奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助？

追问求解的依据是什么？据此求解的步骤是什么？（1）y＝3sinx，x∈R；（2）y＝cos2x，x∈R；（3）y＝．解答完成之后思考，这些函数的周期与解析式中哪些量有关？新知探究例1

求下列函数的周期：

（1）y＝3sinx，x∈R；解：（1）∀x∈R，有3sin（x＋2π）＝3sinx，由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π．新知探究例1

求下列函数的周期：

（2）y＝cos2x，x∈R；解：（2）令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y＝cosz的周期为2π，即cos（z＋2π）＝cosz，新知探究例1

求下列函数的周期：于是cos（2x＋2π）＝cos2x，所以cos2（x＋π）＝cos2x，x∈R．由周期函数的定义可知，原函数的周期为π．解：（3）令

，由x∈R得z∈R，

且y＝2sinz的周期为2π，（3）y＝．由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π．且y＝2sinz的周期为2π，于是，所以

，x∈R．新知探究例1

求下列函数的周期：

第一步，先用换元法转换：比如对于“（2）y＝cos2x，x∈R”，令2x＝t，所以y＝f（x）＝cos2x＝cost；第二步，利用已知的三角函数的周期找关系：由cos（2π＋t）＝cost，代入可得：cos（2π＋2x）＝cos2x；第三步，根据定义变形：变形可得：cos2（π＋x）＝cos2x，于是就有f（x＋π）＝f（x）；新知探究对于周期问题，求解的步骤如下：

对于周期问题，求解的步骤如下：第四步，确定结论：根据定义可知其周期为π．周期与自变量的系数有关．由cos（2π＋t）＝cost，代入可得：cos（2π＋2