对微分流形的初步认识

对微分流形的初步认识微分流形，也称为光滑流形，是拓扑学和几何学中一类重要的空间，是带有微分结构的拓扑流形。微分流形是微分几何与微分拓扑的主要研究对象，是三维欧式空间中曲线和曲面概念的推广，可以有更高的维数，而不必有距离和度量的概念。一.微分流形§1.n维欧式空间粗略的说，几何学的发展史就似乎空间概念的发展史.“空间”的重要性在于它是数学延伸发展的平台：随着一种新空间观念的出现与成熟，就近的数学就会在这个空间中展开和发展.微分流形的概念首先是由黎曼提出的，他把n个变量看作n维空间中动点的坐标.此时，坐标本身不再具有特殊的几何意义，人们关心的是那些能够用坐标表达、然而与坐标系选择无关的量.因此我们可以考虑这样的空间，它没有适用于整个空间的坐标系，而在没一点的邻域内存在局部使用的坐标系，但是我们仍然能够研究在空间中大范闱定义的量,即与局部坐标系选择无关的量.微分流形概念的产生和精确化是当代数学的一大成就，微分流形是大范闱分析和整体微分几何演出的舞台，同时微分流形的拓扑是重要的研究课题.n维欧式空间是n维微分流形最简单的例子和模型.微分流形的概念和构造是从欧式空间的概念和有关构造脱胎而出的.因此，了解n维欧式空间是十分必要的.定义1.1设V是11维向量空间.若在V上给定一个对称的，正定的双线性函数〈，〉：VxVt口，既满足下列条件：⑴何，巧〉=〈巧,¥）；⑵何+v,,v）=（^,v）+（vj,v）⑶—何,巧）=（网,巧〉;⑷〈y，%〉=0旦等号只在v=0时成立.其中巧,ve口，贝ij称（V,（，〉）为口维欧氏向量空间.满足上述条件的双线性函数称为欧氏内积，通常记为¥%=〈¥，为）•定义1.2设是11维向量空间.A是一个非空集合，A中元素称为点.若存在一个映射t:AxAtV,它把A中的任意一对有序点P、Q映成V中的一个向量PQgV,且满足下列条件：⑴PQ=O,VPgA.(2)VPgAVvgV,存在惟一的点QcA,使得PQ=v.(3)VP,Q,SeA,成立恒等式PQ+QS=PS.则称A是n维仿射空间，且称V是与仿射空间A伴随的向量空间.定义1.3设(V,〈，〉)是11维欧氏向量空间，则以V为伴随向量空间的仿射空间称为n维欧氏空间，记为E，E11中任意两点P、Q间的距离定义为d(P,Q)=7?^：或.En^Dn；设E11为11维欧氏空间.若在E"中取定一个单位正交标架｛0;玄｝之后，也就是在E11中建立一个直角坐标系侯，E11便等同于ivi.今后为简便起见，常把n维欧氏空间记为］R?.§2.微分流形的定义微分流形是现代数学的重要分支，它溶分析、拓扑、几何、代数等多种知识于一体，形成了近代物理学、力学、工程技术、近代社会科学的重要数学基础.近代科技的发展，越来越显示出微分流形的重要性.接下来就介绍一下流形的定义.定义2.1设M是一个Hausdorff拓扑空间.若M的每一点P都有一个开邻域UGM,使得U和n维欧氏空间口"中的一个开子集是同胚的，则称M是一个n维(拓扑)流形.定义2.2设同胚°:UT0(U)uE|n,其中°(U)是口"中的开集，则称(U,0)为流形M的一个坐标卡.x1(p)=(^(p))1,称(U’x1)为流形M的一个局部坐标系.11维拓扑流形就是在它的每一点的一个邻域内可以建立n维局部坐标系的Hausdorff空间.定义2.3设M是一个n维拓扑流形，(U,伊)与(V,j)是它的两个坐标卡，若UAV^0,。。甲，甲。(P都是c，的，则称(u,°)与(v,L)c，相关；uAv=0时，对任意1•相关.流形是一种局部相似于欧氏空间口n的拓扑空间，如口3中的球面、环面等，即二维流形的典型例子.流形的特点是它一般只能局部地同胚于欧氏空间的开子集，一般不一定能整体地同胚于欧氏空间.因此流形一般无全局坐标而只有局部坐标，这是它的一个重要特征.定义2.4设M是n维拓扑流形.假定是M坐标卡的一个集合,且满足d)(Ua:ael｝构成流形M的一个开覆盖.⑵属于*的任意两个坐标卡都是C，相关的.⑶星是C，极大的：即若(U,伊)是M的一个坐标卡，且(U,伊)与0中每个成员都是C，相关的，则(U#)必属于此时称坐标卡集M为流形M上的一个C/微分结构.r=co时，*称为M上的一个光滑结构；r=④时，山，称为M上的一个解析结构.定义2.5设M是个n维拓扑流形，若在M上指定一个C，微分结构，则称(M,K)为一个n维C，微分流形.属于M的坐标卡(U,°)为该微分流形的容许坐标卡.r=co时，称(M,JZ)为光滑流形；r=④时，称(M,K)为解析流形.微分流形的基本思想是要在流形上引入一种局部结构以保能在流形上进行微分运算,从而在流形上建立的分析学.B.Riemann大概是第一个使用“流形”一词的人.他在1854年提交的著名论文“论几何学的基本假设”中，有“流形”(Mannigfaltigkeit)的提法.无疑地，在他脑海中流形的概念是清楚的.他把一组变量看作某个广义空间中的点的坐标，他们允许作变换.因此坐标本身不再具有特殊的几何含义.§3光滑映射定义3.1设f是定义在光滑流形M上的连续函数.若在点xeM,3M的一个容许坐标卡(U#),使得xcU,且foQ-i：0(U)T口是在点Q(x)处光滑的函数，则称函数f在点X处是光滑的.若f在每一点X6M都是光滑的，则称f为流形M上的光滑函数.我们把定义在点x£M的邻域内旦在点X处光滑的函数的集合记作C；.定义3.2设M,N分别是m,n维光滑流形，f:M—N是连续映射.设xgM,如果存在M在点x处的容许坐标卡(U,0)及N在点f(x)处的容许坐标卡(V,y/)，使得伊。fM=0(unfT(V))(U口m)T*(V)(un'是在点0(x)处的光滑映射，则称映射f在点X处是光滑的.若映射f在M上是处处光滑的，则称f是从M到N的光滑映射.定义3.3设M,N是两个n维光滑流形，f:M—N是同胚，若f:MTN和它的逆映射fT：NtM都是光滑映射，则称f为光滑同胚.定义3.4设f:Mt口是流形上的连续函数，所谓f的支撑集是指f取非零值的点的集合的闭包，记作Suppf,即Suppf={peM：f(p)oO}.定义3.5设为M的子集的一个集合，M中每一点都有一个邻域，它仅与中有限多个成员相交，则称子集族是局部有限的.定义3.6设邳,飞是M的两个开覆盖.若对于狱中任意一个成员U,必能在％中找到一成员V，使得UuV,则称邳是开覆盖&的加细.§4.单位分解定理单位分解定理是积分理论中的一个极其重要的工具.直观地说，单位分解定理往往起着粘合或拼接的作用，可以通过它把局部性拼接起来而得到整体性.下面引入一系列引理为单位分解定理做铺垫.引理4.1设M满足第二可数公理，故M的任意一个开覆盖必定含有一个可数的子覆盖.引理4.2设M是局部紧致的、满足第二可数公理的拓扑空间，则存在可数多个紧致CO子集｛KJ,使得且它们构成M的覆盖，即M=|jKnn=l引理4.3设M是局部紧致的、满足第二可数公理的拓扑空间，则M的任何一个开覆盖Z=（Ua:ael｝必定是一个可数的、局部有限的加细开覆盖.流形的实质就是在局部上可坐标化的拓扑空间，我们的研究对象是整个空间，而是着眼点却是局部坐标域.因此，在局部上所定义的对象扩展成全局定义的对象是十分重要的步骤.引理4.4设B（ij）,B（i\）是口11中以原点为中心的两个同心球，且1[<&,则有函数FGCw（Qn），使得F|b"，Fk危。.引理4.5设U,V是光滑流形M的两个开子集.可是紧致的，旦f7nW=0，则存在光滑函数feC8（M）,使得4三1,f|v=o.引理4.6设U是光滑流形M的一个开子集，?eCro（U）,则在任意一点peU,必有点P的一个邻域VuU以及光滑函数eCro（M）,使得虬=%定理4.1（单位分解定理）：设M是满足第二可数公理的维光滑流形，Z=｛Ua:ael｝是M的任意一个开覆盖，则£必有一个可数的局部有限的加细开覆盖Zo=｛Y：lW，以及定义在M上的一族光滑函数｛££甘（1^）:1§<8｝，使得0<^<1,Suppf；是包含在V内的紧致子集，并旦交£=1.光滑函数族1=1｛£EC8（M）:1Vi<8｝称为从属覆盖的单位分解.二.切向量与张量§1.切向■和切空间在欧氏空间口n中，切向量就是指经过一点的光滑曲线在该点的切向量.实际上它可以是从一点引出的任意一个向量，或是从一点出发的任意一条有向线段.这种在直观上容易理解的概念依赖于欧氏空IUJ□n本身所固有的线性结构没不能够直接搬到微分流形上来，所以我们需要给出切向量的另一种等价定义一一就是把欧氏空间中的切向量进一步描述成作用在光滑函数上的方向导数，它遵循对函数求导的法则，且切向量与沿该切向量的方向导数是一一对应的.这样，我们就能将切向量的概念代到微分流形上来.设f:(a,b)TEn是欧氏空间E"中一条光滑曲线.P=f(to),to£(a,b),VgeC；则g。f是定义在点t°的邻域内的光滑函数.根据复合求导法则，我们有”=牛仙(".,典))=文易普

出t=todttqx=i次映)dt其中g(x1,•••,x11)是g在给定的直角坐标系｛0;易下对应的n元实函数.令Vg(f(t0))=tv有，i=lCQCf(q)则Vg(f(to))是在点f(t°)处的一个切向量，与单位正交标架｛0;易的选取无关.称Vg(f(to))为光滑函数g在点f(t°)处的梯度向量.竺U=〈Vg(f(t°)),v)6t=to其中v二文型振有是f在七=■处的切向量.(Vg(f(t0)),v)称为geC；g在点i=idtP=f(t0)处沿向量v的方向导数，记作D,.g.定义1.1设M是一个m维光滑流形，xgM.所谓光滑流形M在点x的切向量v是指满足下列条件的一个映射:⑴线性性：Vf,ggC~,V2gD,有v(—f)=4v(f),v(f+g)=v(f)+v(g)；(2)Leibniz法则：Vf,gGC~,有V(f•g)=f(X)•V(g)+g(x)•V(f)；切空间是微分流形上十分重要的构造.它是微分结构的产物，在拓扑流形上不能定义切向量和切空间的概念.由于在微分流形的每一点都有切空间这样的线性结构，线性代数就成为研究微分流形的重要代数工具.定义1.2设M是m维光滑流形，XoeM.用表示M在点*的全体切向量的集合，则在VM中有自然的线性结构，使得成为m维向量空间.向量空间孔M称为光滑流形M在点存处的切空间.同时任意一个切向量能用m个切向量g,l<i<m线性表示，即Um»是的一个基底，=m.我们还称]W[为切空间&M在局部坐标系(u；X1)下的自然基底.在线性结构中我们知道若V是一线性空间，则V上所有的线性函数也构成一线性空间,通常记为，称为V的对偶空间.如果T：Y—¥是线性空间V］到乂的线性映射，则对于映射是V］上的线性函数，因此aoTey*.这样我们得到了一个线性映射T*:%一丫*,。taoT,称为线性映射T：YtY的对偶映射.而在光滑流形间的光滑映括，自然地诱导出在对应点的切空间之间的线性映射.定义1.3切空间孔M的对偶空间称为光滑流形M在点冷的余切空间，记作KM.余切空间的元素称为光滑流形M在点相处的余切向量.定义1.4设M,N是光滑流形，0：MtN是光滑映射.对于Vxo^M,9诱导出从到C；的映射/，定义为^（g）=g。。，VgeC；^对于任意切向量可定义映射务」tLI,使得对于VgeC^（,有

冬（v）（g）=v（—g）=v（g。?）很明显，他、是N在0（*）处的一个切向量.故我们将线性映射%:［Mt乌qN，称为光滑映射0在点冷所诱导的切映射.定义1.5切映射化、所诱导的余切空间之间的线性映射（P:T*NtT*M称为余切映射.♦pl4§2.张量张量的概念是G.Ricci在19世纪末提出的.G.Ricci研究张量的目的是为几何性质和物理规律的表达寻求一种在坐标变换卜不变的形式.他所考虑的张量是如同向量的分量那样的数组，要求它们在坐标变换下服从某种线性变换的规律.近代的理论己经把张量叙述成向量空间及其对偶空间上的多重线性函数，但是用分量表示张量仍有它的重要性，尤其是涉及张量的计算时更是如此.定义2.1设丫,…,Y是1•个向量空间.若r元函数f：Yx...xV一口对于每个自变量都是线性的，即对于任意的指标a,l<a<r及向量有f（...，1妇+琅，...）=f（...，Ua，・•.）+?（.••，琅，..•），f（…，加a，…）"，f（・・，Ua，…），其中人£口，则称f是"X...XY上的r重线性函数.YX...XY上的1•重线性函数的集合，记为玄（％•••，¥；□）•特别的，幺（V;EI）=V*.定义2.2设V是向量空间，V*是它的对偶向量空间，（p,q）是一对非负整数.y*x・jxV*xyx・；xYJ^J—4、p+q重线性函数称为V上的一个（p,q）型张量.其中pp个q个是反变阶数，q是协变阶数.全体V上的（p,q）型张量集合记作％P,或g（y*x・：・xV：xVx・・・xV;［ZI）・

P个q个特别地，（1,0）型张量就是向量空间V中元素：（0,1）型张量就是对偶空间V*中的元素，即V上的线性函数：（0,0）型张量就是实数.定义2.3设V,W是两个向量空间，aN,Z?eW*.则a和0的张量积。®0是积空间V®W上的2重线性函数，定义为a®"（v,W=a（v）P（w）,VvgV,VwgW.一般地，设y---vp,可…哩是p+q个向量空间，。£“何,…,Vp；［］）,,则张量枳a®pgx,•qp'Mx…小a上的p+q重线性函数，定义为a®/7（4，・・・\4，川，・・・,叫）=Q（y,••“）/（w，…,叫）其中x,1<r<p,w,1<s<q.下面简单介绍一下张量枳的运算定律.定理2.1张量积运算®服从分配律和结合律：⑴若%,%€幺何,..〜；［］）,…,％口），则⑵若<ze^（Y，.-，X；D）,幺㈣,…，驼;口），曾互气佑，…,乙;口），则定义2.4设V,W是两个向量空间，如形如张量积v®w的元素所生成的向量空间称为V和W的张量积，记作V®W张量积运算的结果是从低阶张量出发得到高阶张量.还有一种运算叫缩并，它把高阶张量变成低阶张量.定义2.5设V,W分别是m,n维向量空间，则它们的张量积V®W是m・n维向量空间.任取两个指标t、S,使得1MrUp,l<s<q,则从任意一个(p,q)型张量兴丑出发可构造(p-l,q-l)型张量C；沽)如下：(c：(月)(矶•••*-)%•••&])=交&("，…qi,矣，/,•••,qpt,*...,耳_]0,凡，i=l其中位｝为V的一个基底，伊｝是v的对偶基底.映射c；：&pt&T称为缩并.定义2.6欧氏内枳〈，〉：VxVt口是对称、正定的双线性函数，因而是V上的对称、正定的2阶协变张量，也称为欧氏向量空间的度量张量或基本张量，记作g.§3.切向■场和张景场1.光滑切向量场设M是一个m维光滑流形，用TM[表示流形M在各点的切空间的并集，IM=U^M,即IM是光滑流形M上全体切向量的集合.xeM定义3.1光滑流形M上的一个切向量场V是指在流形的每一点X,都指定了一个向量v(x)eTM.换言之，切向量v是一个映射v:MtTM，使得v(X)eTM.简单地说，光滑流形M的一个切向量场是分布在M上的一“场”切向量.定义3.2设V是光滑流形M上的一个切向量场.若在点XqEM,有局部坐标系(U;】)，使得当切向量场V在U上的限制用自由基底|线性表示成时，分量V’是在点*的C'函数(0<r<<^),则称切向量场v在点存是C'的.如果切向量场V在光滑流形M上处处是C，的，则称是M上的C，切向量场.光滑流形M上全体光滑切向量场的集合记作/(M).进一步还能定义光滑切向量场和和光滑函数的乘枳•设ue^(M),fgCot(M),则在任意一点xgM,令(fu)(x)=f(x)i】(x)易见f芝(M).

定义4.1光滑流形M上的一个(p,q)型张量场是指在每一点xgM都指定了一个(p,q)型张量r(x)el；p(x).若在每一点xgM都有一个局部坐标系(U;】)，使得(p,q)型张量场T有局部坐标表达式Aarl=i*—®---®—®dx31®---®dxJ,lu瑟爵其中分量?ln31eCro(U),则称2■是流形M上的一个光滑的(p,q)型张量场.光滑切向量场就是光滑的(1,0)型张量场：光滑的(0,1)型张量场称为一次微分式.M上全体一次微分式的集合记作d(M).定义4.2光滑流形M上任意一个对称、正定的光滑2阶协变张量场称为M上的黎曼结构.若在M上指定一个黎曼结构g,贝0(M,g)称是一个黎曼流形.此时g称为黎曼流形M上的基本张量场或度量张量场三.外微分式和Stokes§1.外代数定义1.1设夺是V上的q阶协变张量，即；Vx...xVt□是V上的q重线性函数.若任意交换两个自变量的位置，§的值不变，则称#为对称q阶协变张量；若任意交换两个自变量的位置彳的值只改变符号，则称f是反对称q阶协变张量.用歹(q)表示q个不同元素的置换群.设,则彳是对称张量的充要条件是的分量关于各个指标是对称的，即必_(q)；彳是反对称张量的充要条件是的分量关于各个指标是反对称的，即5、弘「•*瑚印(分4,Vcre^(q)：其中sign(b)=sign(b)=1，若b是偶置换1，若b是奇置换定义1.2设&£可，令Sq(M)=£Eb(M)

q・tT5q|A(^)=AEsign(cr)o■睹)*9"q)则Sq(g)为对称的q阶协变张量；\(g)为反对称的q阶协变张量.称Sq为对称化算子，称4为反对称化算子.定义1.3向量空间V上的反对称t阶协变张量，即V上的反对称r重线性函数，称为V上的1•次外形式，简称1•-外形式.V上全体次外形式集合记作/VV*定义1.4设aeArV*,/7gAsV*.令r!s!则af\p是r+s次外形式，称为外形式。和0的外枳.外积运算服从以下运算律：设a,q,%c/VV*,。，肽,0或NV*,/eAfV*,则有⑴分配律(%+%)A0=o\/\p+%A们af\(0[+妇=af\px+af\p2:⑵反交换律=(—l)%Aa；⑶结合律(«A/?)A/=aA(/?A/).定义1.5设f:V—W是从向量空间V到向量空间W的一个线性映射，则f诱导出外形式空间之间的线性映射f*:ArW*—A'V*,其定义为对于任意aeArW*及u1?-,ureV,有(广以叫,.•.，乌)=Q(f(巧f(Ur))f*称为f的诱导映射.§2.外微分式在上一节，我们己经把向量空间V上的反对称1•重线性函数，即反对称1•阶协变张量称为V上的r次外形式.作为外微分式就是指光滑的外形式场.定义2.1设M是m维光滑流形.M上一个光滑的反对称r阶协变张量场称为M上的一个1•次外微分式.M上全体1•次外微分式的集合记作Af(M).m定理2.1设M是m维光滑流形，设A(M)=®A(M).则在A(M)中有加法、数乘1=0法和外枳等运算，它们具有分配律、结合律和反交换律，因而使A(M)称为一个外代数.一般来说，A(M)是一个无限维的外代数.m外微分式的空间以M)=®A(M)中的代数运算：加法、数乘法和外积，使它成为r=0一个结合代数.下面要介绍在外微分式上的最主要的运算一一外微分.定理2.2设M是m维光滑流形，则存在唯一的一个映射d:A(M)—A(M)，使得d(A(M))uA^(M),并且满足以下条件：⑴对任意的A(M)有d(a+/J)=da+d/J；(2)设a是r次外微分式，则d(aA^)=d"d/7+(-l)'aAd们⑶对于任意的fe贸(M)(即Cro(M)),df是f的微分⑷对任意的aeA(M),d(dtz)=O.映射d称为外微分.定理2.2表明：在光滑流形上，通过外微分能够从一个光滑的反对称协变张量场得到一个光滑的高一阶反对称协变张量场.定理2.3设M,N分别是叽11维光滑流形，且f：M—N是光滑映射，f*:Af(N)tAf(M)是诱导映射(0<r<n),则对于任意的(N)有f*(d69)=d(f*69).§3.可定向微分流形和带边流形1.流形的定向向量空间有定向的概念.例如，在3维欧氏空间中笛卡尔宜角坐标系分为右手系和左手系两种.一般地，设V是n维向量空间，0｝和｛ej是V的两个基底，它们可以互相线性表示.设色=玄码您j=i则det(axJ)^0.我们在V的基底之间引入如下关系u：如果det(a：)>0,则称｛§｝口｛哲｝.自然，u是V的全体基底之间的等价关系.V的基底在关系曰下的等价类称为V的一个定向.向量空间V有两个定向.属于同一等价类的两个基底称为定向是相同的.属于不同等价类的两个基底称为定向相反的.定义3.1设M是m维光滑流形.如果存在M的一个容许的坐标卡集乌={9”构)}，使得构成M的开覆盖，并且当UaAU.0时，坐标变换MrP%。".G(Ua仆叫)nu.)的Jacobi行列式l爆J则称M是可定向的m维光滑流形.满足以上条件的两个坐标卡(U/，%)和Wq%)称为定向相符的•所以，可定向光滑流形就是有一个由定向相符的容许坐标卡构成的坐标覆盖的光滑流形.定义3.2对于可定向光滑流形M,由定向相符的容许坐标卡组成的极大坐标卡集称为M的一个定向.2.带边流形用H”表示中的半空间Hn={(xl,-.-,xn)GDn:xn>0},在Hn±赋予从诱导的拓扑；并且记cHn={(x1,-.,x11)GDn:xn=O},称为H"的边界，其元素称为H11的边界点，令IiitHn=Hn\oHn,称为H"的内部，其元素称为H11的内点.定义3.3所谓CT带边流形M是一个Hausdorff拓扑空间，并旦在M上指定一个微分结构jZ=((Ua,^):<zel),其中IT,是M的开子集，心是从Uq到H"的开子集的同胚，并且满足下列条件：⑴(U/是M的覆盖.⑵若则当UaAU^0时，和是的开子集^(uanup和cp冬nu>之间的光滑同胚・⑶是极大的，即：若(U,。是M的一个坐标卡，旦与属于厘，的任意一个坐标卡满足上面的条件⑵，则必有定义3.4在坐标映射下，映入H11的边界的点的性质与坐标卡的选取法无关的点称为M的边界点.M的边界点的集合记作8M,即=(peM:存在坐标卡使得pcU,5Hn｝称为M的边界,IntM=M\5M称为M的内部，它是通常意义下的C8流形.特别是当=0时，M=hitM.§4.外微分式的积分和Stokes定理积分是把流形的局部性质和整体性质联系起来的有力手段，同时Stokes定理起着关键的作用.假定M是满足第二可数公理的m维有向光滑流形.设tveA(M),刃的支撑集定义为Suppco=｛p6M:刎p).0｝.M上全体有紧致支撑集的r次外微分式的集合记作玲’(M).我们要定义的枳分J是M指线性映射M设V(M)-取M的定向相符的坐标卡集｛(U”物)｝，使得｛U/构成M的局部有限开覆盖，在Ua上由饱决定的局部坐标系为0C｝，设=aadxa1A--A(b^m,其中aaeCco(Ua).根据单位分解定理，在M上由从属于①疽的单位分解｛奴｝，其中SupplycUa,1^gCot(M),1电20,£农=1,因此a切=初£1农=£(1电刃),aa其中V(M),并旦SlippQ效-69)=Suppl^nSupp69(3UanSupp69.利用映射J的线性性质，令MJ(妃劫咽方遢…也"(4.1).MMaama%(UQ我们可以证明出(4.1)式右端的值与光滑流形M的定向相符的局部有限坐标覆盖｛(U”绥)｝的选取无关，与从属于｛U/的单位分解(h